練習問題メモ 23（正規直交基底） - データサイエンス関連+αのメモ

問1¶

$\mathbb{R}^3$ の基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}$ を

\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)

(1)

により定める。 $\mathbb{R}^3$ の標準内積を考え、グラムーシュミットの直交化法を用いて、基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}$ から正規直交基底 $\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\}$ を求めよ。

(1) $b_1$ を求める

\|a_1 \| = \sqrt{|1|^2 + |1|^2 + |1|^2} = \sqrt{3}

(2)

b_1 = \frac{a_1}{\|a_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}

(3)

(2) $b_2$ を求める

\begin{aligned} c &= \langle a_2, b_1 \rangle\\ &= \frac{1}{\|a_1\|} \langle a_2, a_1 \rangle\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned}

(4)

\begin{aligned} a_2 - c b_1 &= a_2 - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} a_1\\ &= a_2 - \frac{2}{3} a_1\\ &= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

(5)

\begin{aligned} \| a_2 - c b_1 \| &= \sqrt{ |-\frac{2}{3}|^2 + |\frac{1}{3}|^2 + |\frac{1}{3}|^2}\\ &= \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} }\\ &= \sqrt{ \frac{6}{9} }\\ &= \frac{ \sqrt{6} }{3} \end{aligned}

(6)

\begin{aligned} b_2 &= \frac{a_2 - c b_1} { \| a_2 - c b_1 \| }\\ &= \frac{ 3 }{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \\ &= \frac{ 3 }{\sqrt{6}} \frac{ \sqrt{6}}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\ &= \frac{3\sqrt{6}}{6} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

(7)

(3) $b_3$ を求める

c_1 = \langle a_3, b_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}}

(8)

c_2 = \langle a_3, b_2 \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{6}}{6}

(9)

\begin{aligned} a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2) &= a_3 - \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} - \frac{\sqrt{6}}{6} \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix} \\ &= a_3 - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{2}{6}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &= a_3 - \begin{pmatrix} \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{2}{6}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ \frac{3}{6} \\ \frac{3}{6} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}

(10)

\|a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)\| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

(11)

\begin{aligned} b_3 &= \frac{a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)}{\|a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)\|}\\ &= \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

(12)

import sympy as sp

a1 = sp.Matrix([1, 1, 1])
a2 = sp.Matrix([0, 1, 1])
a3 = sp.Matrix([0, 0, 1])

b1 = a1 / a1.norm()
b1

Loading...

c = (a2.T @ b1)[0]
b2 = (a2 - c * b1) / (a2 - c * b1).norm()
b2

Loading...

c1 = (a3.T @ b1)[0]
c2 = (a3.T @ b2)[0]
b3 = (a3 - (c1 * b1 + c2 * b2)) / (a3 - (c1 * b1 + c2 * b2)).norm()
b3

Loading...

sp.GramSchmidt([a1,a2,a3], True)

[Matrix([
 [sqrt(3)/3],
 [sqrt(3)/3],
 [sqrt(3)/3]]),
 Matrix([
 [-sqrt(6)/3],
 [ sqrt(6)/6],
 [ sqrt(6)/6]]),
 Matrix([
 [         0],
 [-sqrt(2)/2],
 [ sqrt(2)/2]])]

sp.GramSchmidt([a1,a2,a3], orthonormal=False)

[Matrix([
 [1],
 [1],
 [1]]),
 Matrix([
 [-2/3],
 [ 1/3],
 [ 1/3]]),
 Matrix([
 [   0],
 [-1/2],
 [ 1/2]])]

問2¶

次の問いに答えよ。

直交行列の定義を書け。
$A, B$ を $n$ 次の直交行列とすると、積 $A B$ も直交行列であることを示せ。
$A$ を直交行列とすると、 $A$ は正則で、逆行列 $A^{-1}$ も直交行列であることを示せ。

補足

$n$ 次の直交行列全体の集合は $\mathrm{O}(n, \mathbb{R})$ または $\mathrm{O}(n)$ と書くことが多い（ $O$ は「直交する」を意味する英単語”orthogonal”の頭文字である。また、ここでは直交行列は実行列としている）。 $A, B, C \in$ $\mathrm{O}(n)$ とすると、問 2 の結果を含め、次の $1 \sim 4$ が成り立つ。

$A B \in \mathrm{O}(n)$
$(A B) C=A(B C)$
$E \in \mathrm{O}(n)$ で、 $E A=A E=A$
$A^{-1} \in \mathrm{O}(n)$ で、 $A^{-1} A=A A^{-1}=E$

一般の集合に対しても、上の $1 \sim 4$ のような性質を持つ積を演算として考えると、群というものを定義することができる。 $\mathrm{O}(n)$ を $n$ 次の 直交群 という。

直交行列の定義を書け。

転置行列と逆行列が等しくなる行列のこと。すなわち、 $A \in M_n(\mathbb{R})$ について

A^T A = A A^T = E

(13)

を満たすような行列のこと

$A, B$ を $n$ 次の直交行列とすると、積 $A B$ も直交行列であることを示せ。

\begin{aligned} (AB)^\top (AB) &= B^\top A^\top AB \quad ( 転置の法則 (AB)^\top = B^\top A^\top より)\\ &= B^\top E B\\ &= B^\top B\\ &= E \end{aligned}

(14)

\begin{aligned} (AB) (AB)^\top &= AB B^\top A^\top \quad ( 転置の法則 (AB)^\top = B^\top A^\top より)\\ &= A E A\\ &= A^\top A\\ &= E \end{aligned}

(15)

より、積 $AB$ も直交行列である

$A$ を直交行列とすると、 $A$ は正則で、逆行列 $A^{-1}$ も直交行列であることを示せ。

$A$ が直交行列であれば、その転置行列 $A^\top$ は逆行列 $A^{-1}$ に等しい。行列 $A$ に逆行列 $A^{-1}$ が存在することと $A$ が正則であることは同値であるため、 $A$ は正則である。

よって

Aは直交行列 \implies Aは正則

(16)

である。

$A$ が直交行列であれば、定義より $A^{-1} = A^\top$ である。

$(A^\top)^\top = A$ のため、

(A^{-1})^\top A^{-1} = A A^\top = E

(17)

よって $A^{-1}$ は直交行列である

問3¶

2 次の直交行列は $0 \leq \theta<2 \pi$ をみたす $\theta$ を用いて、

\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \mp \sin \theta \\ \sin \theta & \pm \cos \theta\end{array}\right) \quad (複合同順)

(18)

と表されることを示せ。

A_1 = \left(\begin{array}{ll} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)

(21)

とおくと、

A_1^{-1} = \frac{1}{ \underbrace{ \cos^2\theta + \sin^2\theta }_{=1} } \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = A_1^T

(22)

のため、 $A_1$ は直交行列である

A_2 = \left(\begin{array}{ll} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{array}\right)

(23)

とおくと

A_2^{-1} = \frac{1}{ \underbrace{ -\cos^2\theta - \sin^2\theta }_{= -1} } \begin{pmatrix} -\cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} = A_2^T

(24)

であるため、 $A_2$ は直交行列である。

よって

\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \mp \sin \theta \\ \sin \theta & \pm \cos \theta\end{array}\right) \quad (複合同順)

(25)

は直交行列である

問4¶

$A \in M_n(\mathbb{R})$ に対して、 $\mathbb{R}^n$ の線形変換 $f_A$ を

f_A(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right)

(26)

により定め、 $\mathbb{R}^n$ の標準内積を考える。以下の定理 23.4 の 2 と 3 の同値性を示せ。

定理 23.4

f_A(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right)

(27)

により定め、 $\mathbb{R}^n$ の標準内積を考える。このとき、次の $1 \sim 3$ は互いに同値である。

$f_A$ は直交変換である。
$A$ は直交行列である。
$A$ の $n$ 個の列ベクトルは $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底である。

info - Unknown Directive

実内積空間 $V$ の線形変換 $f: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}$ に対して、$a,b\in V$が

$$
\langle f(a), f(b) \rangle
= \langle a, b \rangle
$$

を満たすとき、 $f$ を**直交変換**という

$A=\left(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{a}_1^{\prime} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n^{\prime}\end{array}\right)$ をそれぞれ $A$ の列ベクトル表示、行ベクトル表示とする。

2 $\iff$ 3:

\begin{aligned} A \text { は直交行列 } \iff & A^T A = E \\ \iff & \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j = \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_j \rangle =\delta_{i j} \quad(1 \leqq i, j \leqq n) \\ & \left( A^T A \text { の }(i, j) \text { 成分が } \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j \text { であるから }\right) \\ \iff & \boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n \text { は } \mathbb{R}^n \text { の正規直交基底 } \end{aligned}

(28)