練習問題メモ 8（行列式） - データサイエンス関連+αのメモ

8.1¶

次の1~3の行列式を計算せよ。

$\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{llll}1 & a & b & c \\ 0 & 2 & d & e \\ 0 & 0 & 3 & f \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|$

\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

(1)

$\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|$

a^3 + 2 - 3a

(2)

$\left|\begin{array}{llll}1 & a & b & c \\ 0 & 2 & d & e \\ 0 & 0 & 3 & f \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$

上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいので

4! = 24

(3)

8.2¶

行列式

\left|\begin{array}{llll} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right|

(4)

の値が 0 となるような $a$ の値を求めよ。

\left|\begin{array}{ll} A & B\\ B & A \end{array}\right| = | A + B | |A - B|

(5)

という性質があるため（行列式 |A B // B A| = |A-B||A+B| の証明 | ばたぱら）、

\left|\begin{array}{llll} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right| = \left| \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right| \left| \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right| \\ = \left| \begin{array}{cc} a+1 & 2 \\ 2 & a+1 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} a - 1 & 0 \\ 0 & a - 1 \end{array} \right| \\ = \{ (a+1)^2 - 4 \} (a-1)^2

(6)

\begin{align} \{ (a+1)^2 - 4 \} (a-1)^2 &= (a+1)^2 (a-1)^2 - 4 (a-1)^2\\ &= (a^2 + 2a + 1)(a^2 - 2a + 1) - 4 (a^2 - 2a + 1)\\ &= a^2 (a^2 - 2a + 1) + 2a (a^2 - 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) - 4 (a^2 - 2a + 1)\\ &= a^4 - 2a^3 + a^2 + 2a^3 - 4a^2 + 2a + a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 8a - 4\\ &= a^4 - 6 a^2 + 8a - 3\\ &= (a - 1)^3 (a + 3) \end{align}

(7)

from sympy import symbols, factor, expand

# 4次方程式の因数分解はわからないのでsympyを使う
a = symbols("a")
f = a ** 4 - 6 * a**2 + 8 * a - 3
factor(f)

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これがゼロとなる $a$ を求めたいので

(a - 1)^3 (a + 3) = 0

(8)

これを満たすのは $a = 1$ と $a = - 3$ のとき

よって $a = 1, -3$

0.0

8.3¶

交代行列について、次の問いに答えよ。

交代行列の定義を書け。
奇数次の交代行列の行列式は 0 であることを示せ。

交代行列の定義を書け。

$n$ 次正方行列であり、その転置が自身の-1倍になるものを交代行列という

奇数次の交代行列の行列式は 0 であることを示せ。

交代行列を $A$ とおく

一般に正方行列に対して $|A| = |A^T|$ であるため

|A| = |A^T|

(9)

交代行列は $A^T=-A$ となるため

|A| = |A^T| = |-A|

(10)

1つの行や列を $c$ 倍すると行列式は $c$ 倍になるため、 $-A$ は行の数だけ-1倍したものと捉えると

|A| = |A^T| = |-A| = (-1)^n |A|

(11)

奇数次の交代行列、すなわち $A$ が $2n-1$ 次の交代行列である場合、 $(-1)^{2n-1} = -1$

よって

|A| = -|A|

(12)

両辺に $+|A|$ して移項すると

2|A| = 0

(13)

よって $|A|=0$

8.4¶

次の問いに答えよ。

正方行列が正則であることの定義を書け。
$A$ を $n$ 次の正方行列、 $P$ を $n$ 次の正則行列とすると、等式

\left|P^{-1} A P\right|=|A|

(14)

が成り立つことを示せ。

正方行列が正則であることの定義を書け。

$n$ 次正方行列 $A$ に対し

AA^{-1} = A^{-1} A = E

(15)

を満たす正方行列 $A^{-1}$ が存在するとき、 $A$ は正則である

$A$ を $n$ 次の正方行列、 $P$ を $n$ 次の正則行列とすると、等式 $\left|P^{-1} A P\right|=|A|$ が成り立つことを示せ。

行列式の積は分解できる（ $|AB| = |A| |B|$ ）ので

\left|P^{-1} A P\right| =|P^{-1}| |A| |P|

(16)

となる

|P^{-1}| |P| = |P^{-1} P| = |E| = 1

(17)

より、

|P^{-1}| |P| = 1 \to |P^{-1}| = \frac{1}{|P|}

(18)

なので、

|P^{-1}| |A| |P| = \frac{1}{|P|} |P| |A| = |A|

(19)

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [0, 4]
])

P = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

P_inv = np.linalg.inv(P)
det = np.linalg.det(P_inv) * np.linalg.det(P)
assert det.round(1) == 1
np.linalg.det(P_inv @ A @ P) == np.linalg.det(A)

True