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練習問題メモ 14（1次独立と1次従属）

問1

  1. ベクトルx1,x2,…,xmx_1, x_2, \dots , x_mが1次独立、1次従属であることの定義を書け。

あるベクトルを、別のベクトルの定数倍で表現できるとき1次従属

ベクトルx1,…,xnx_1,\dots, x_nについて、係数a1,…,ana_1,\dots,a_nが

a1=⋯=an=0a_1 = \cdots = a_n = 0
(1)

であるとき、またそのときにのみ

a1x1+⋯+anxn=0a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}
(2)

が成り立つとき、x1,…,xn\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_nは 線形独立（linearly independent） であるという。

ベクトルの組が1次独立でないとき、1次従属であるという。すなわち、

a1x1+⋯+anxn=0a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}
(3)

をみたすa1,…,ana_1,\dots,a_nで、そのうち少なくとも1つが0でないものが存在するときにいう。

  1. 次の（ア）、（イ）が1次独立であるか1次従属であるかを調べよ。

（ア）

a1=(211),a2=(121),a3=(112)\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)
(4)

「行列AAについて、det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0ならフルランクであり1次独立になる」という性質を用いて、行列式で判定する

行列A=(a1,a2,a3)A=(a_1,a_2,a_3)とする。

det⁡(A)=23+1+1−2−2−2=10−6=4\det(A) = 2^3 + 1 + 1 - 2 - 2 - 2\\ = 10 - 6 = 4
(5)

でありdet⁡(A)≠0\det(A)\neq 0のためa1,a2,a3a_1,a_2,a_3は1次独立である

（イ）

a1=(0123),a2=(1032),a3=(2301),a4=(3210)\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_4=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)
(6)
∣0123103223013210∣\left|\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right|
(7)

行を入れ替えて

∣1032012323013210∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right|
(8)

1行目を2倍して3行目から引き、 1行目を3倍して4行目から引くと

∣1032012303−6−302−8−6∣=1⋅∣1233−6−32−8−6∣=0\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 3 & -6 & -3\\ 0 & 2 & -8 & -6 \end{array}\right| = 1 \cdot \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & -6 & -3\\ 2 & -8 & -6 \end{array}\right| = 0
(9)

のためランク落ちしており1次従属

問2

a1=(0123),a2=(1032),a3=(−2305)\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)
(10)

が1次独立であるか1次従属であるかを調べよ。

係数をc1,c2,c3c_1,c_2,c_3とする。

{c2−2c3=0c1+3c3=02c1+3c2=03c1+2c2+5c3=0\begin{cases} c_2 - 2 c_3= 0\\ c_1 + 3 c_3= 0\\ 2 c_1 + 3 c_2 = 0\\ 3 c_1 + 2 c_2 + 5 c_3 = 0 \end{cases}
(11)

の連立方程式から

c1=−3c3c2=2c3c3=−13c1c_1 = -3 c_3\\ c_2 = 2 c_3\\ c_3 = - \frac{1}{3} c_1
(12)

が解となるので

仮にc1=3c_1 = 3とすると、c3=−1c_3 = -1、c2=−2c_2 = -2になり

c1a1+c2a2+c3a3=3(0123)−2(1032)−(−2305)=(0369)−(2064)−(−2305)=(0000)c_1 \boldsymbol{a}_1 + c_2 \boldsymbol{a}_2 + c_3 \boldsymbol{a}_3\\ = 3 \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) - 2 \left(\begin{array}{l}1 \\0 \\3 \\2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-2 \\3 \\0 \\5\end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9\end{array}\right) - \left(\begin{array}{l}2 \\0 \\6 \\4\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-2 \\3 \\0 \\5\end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{c}0 \\0 \\0 \\0\end{array}\right)
(13)

なので1次従属である

問3

W1W_1、W2W_2をベクトル空間VVの部分空間とする。

  1. 和空間W1+W2W_1+W_2の定義を書け

ベクトル空間VV の部分集合 W1+W2W_1+W_2 を

W1+W2={x+y∣x∈W1,y∈W2}W_1+W_2=\left\{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x} \in W_1, \boldsymbol{y} \in W_2\right\}
(14)

と定めたものをW1W_1 と W2W_2 の和空間という。

W1W_1、W2W_2をベクトル空間VVの部分空間とする。

  1. W1W_1、W2W_2 がそれぞれ x1,⋯ ,xm,y1,⋯ ,yn∈V\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n \in V を用いて

W1=⟨x1,⋯ ,xm⟩R,W2=⟨y1,⋯ ,yn⟩RW_1=\left\langle\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m\right\rangle_{\mathbb{R}}, \quad W_2=\left\langle\boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n\right\rangle_{\mathbb{R}}
(15)

と表されるとき、

W1+W2=⟨x1,⋯ ,xm,y1,⋯ ,yn⟩RW_1+W_2=\left\langle\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n\right\rangle_{\mathbb{R}}
(16)

を示せ。

w1∈W1w_1 \in W_1とする。

w1=a1x1+⋯+amxm(a1,…,am∈R)w_1 = a_1 x_1 + \cdots + a_m x_m \quad (a_1, \dots, a_m \in \mathbb{R})
(18)

またw2∈W2w_2 \in W_2についても

w2=b1y1+⋯+bnyn(b1,…,bn∈R)w_2 = b_1 y_1 + \cdots + b_n y_n \quad (b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R})
(19)

である。

よって

w1+w2=a1x1+⋯+amxm+b1y1+⋯+bnyn∈⟨x1,⋯ ,xm,y1,⋯ ,yn⟩R=W1+W2w_1 + w_2 = a_1 x_1 + \cdots + a_m x_m + b_1 y_1 + \cdots + b_n y_n \in \langle \boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n \rangle_{\mathbb{R}} = W_1 + W_2
(20)
数学
練習問題メモ 13（ベクトル空間）
数学
練習問題メモ 15（基底と次元）