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練習問題メモ 9（余因子展開）

9.1

第 2 列に関する余因子展開を用いて、行列式 ∣a11a12a21a22∣\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| を計算せよ。

第jj列に関する余因子展開は

a1ja~1j+a2ja~2j+⋯+anja~nj=det⁡(A)a_{1 j} \tilde{a}_{1 j}+ a_{2 j} \tilde{a}_{2 j} +\cdots+a_{n j} \tilde{a}_{n j} = \det(A)
(1)

という形になるので

第2列に関する余因子展開は

a12a~12+a22a~22=∣a11a12a21a22∣a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{22} \tilde{a}_{22} = \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|
(2)

となる。

1次の行列（というかスカラー）の行列式はそのスカラーそのものであるため

a~12=(−1)3a21=−a21a~22=(−1)4a11=a11\tilde{a}_{12} = (-1)^3 a_{21} = -a_{21}\\ \tilde{a}_{22} = (-1)^4 a_{11} = a_{11}\\
(3)

よって

∣a11a12a21a22∣=a12a~12+a22a~22=a12×(−a21)+a22a11=a11a22−a12a21\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{22} \tilde{a}_{22}\\ = a_{12} \times (-a_{21}) + a_{22} a_{11}\\ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}
(4)

9.2

次の 1、2 の行列式を計算せよ。

∣1609127082345674807459065∣\left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right|
(5)
∣100999999100991001001001009910010010010099∣\left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right|
(6)

∣1609127082345674807459065∣ \left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right|

Source
from sympy import Matrix
A = Matrix([
    [1, 6, 0, 9, 1],
    [2, 7, 0, 8, 2],
    [3, 4, 5, 6, 7],
    [4, 8, 0, 7, 4],
    [5, 9, 0, 6, 5],
])
A
Loading...
Source
# 3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
x1 = A[:, 0].copy()
x3 = A[:, 2].copy()
A[:, 0] = x3
A[:, 2] = x1

# 3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
x1 = A[0, :].copy()
x3 = A[2, :].copy()
A[0, :] = x3
A[2, :] = x1

A
Loading...

  1. 3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）

  2. 3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）

という操作をして1列目を(1,1)(1,1)要素以外0にする

定理より、

∣5436707282061910847409565∣=5∣7282619184749565∣\left|\begin{array}{lllll} 5 & 4 & 3 & 6 & 7 \\ 0 & 7 & 2 & 8 & 2 \\ 0 & 6 & 1 & 9 & 1 \\ 0 & 8 & 4 & 7 & 4 \\ 0 & 9 & 5 & 6 & 5 \end{array}\right| = 5 \left|\begin{array}{llll} 7 & 2 & 8 & 2 \\ 6 & 1 & 9 & 1 \\ 8 & 4 & 7 & 4 \\ 9 & 5 & 6 & 5 \end{array}\right|
(7)

2列目と4列目が(2,1,4,5)で同じ値なので、定理より行列式はゼロになる

∣1609127082345674807459065∣=0\left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right| = 0
(8)
Source
# 検算
import numpy as np
A = np.array([
    [1, 6, 0, 9, 1],
    [2, 7, 0, 8, 2],
    [3, 4, 5, 6, 7],
    [4, 8, 0, 7, 4],
    [5, 9, 0, 6, 5],
])
np.linalg.det(A)
0.0

∣100999999100991001001001009910010010010099∣ \left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right|

まず、1列目を2～4列から引く

Source
from sympy import Matrix
A = Matrix([
    [100, 99, 99, 99],
    [100, 99, 100, 100],
    [100, 100, 99, 100],
    [100, 100, 100, 99],
])

A[:, 1] -= A[:, 0]
A[:, 2] -= A[:, 0]
A[:, 3] -= A[:, 0]
A
Loading...

2~4行から1行目を引く

A[1, :] -= A[0, :]
A[2, :] -= A[0, :]
A[3, :] -= A[0, :]
A
Loading...

なので、行列式の性質より

100×∣011101110∣100 \times \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|
(9)

となる

∣011101110∣=(0+1+1)−(0+0+0)=2\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = (0 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0) = 2
(10)

なので

100×∣011101110∣=100×2100 \times \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = 100 \times 2
(11)
∣100999999100991001001001009910010010010099∣=200\left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right| = 200
(12)
Source
# 検算
import numpy as np
A = np.array([
    [100, 99, 99, 99],
    [100, 99, 100, 100],
    [100, 100, 99, 100],
    [100, 100, 100, 99],
])
np.linalg.det(A)
200.0000000000001

9.3

nn を 2 以上の自然数、 A=(aij)n×nA=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} を nn 次の正方行列とする。次の問いに答えよ。

  1. AA の (i,j)(i, j) 余因子の定義を書け。

  2. AA の余因子行列の定義を書け。

  3. n=3n=3 のとき、 AA の余因子行列を AA の余因子を用いて表せ。

  4. A~\tilde{A} を AA 余因子行列とすると、 ∣A~∣=∣A∣n−1|\tilde{A}|=|A|^{n-1} が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。（※穴埋め問題）

  1. AA の (i,j)(i, j) 余因子の定義を書け。

a~ij=(−1)i+j∣Aij∣\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}|
(13)

  1. AA の余因子行列の定義を書け。

(i,j)(i, j)余因子をa~ij\tilde{a}_{ij}とするとき、(i,j)(i, j)成分に余因子a~ij\tilde{a}_{ij}をもつ行列の転置行列

A~=(a~11a~21⋯a~n1a~12a~22⋯a~n2⋮⋮⋮a~1na~2n⋯a~nn)\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n 1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tilde{a}_{1 n} & \tilde{a}_{2 n} & \cdots & \tilde{a}_{n n} \end{array}\right)
(14)

を余因子行列（adjugate matrix）という。

  1. n=3n=3 のとき、 AA の余因子行列を AA の余因子を用いて表せ。

(i,j)(i, j)余因子をa~ij\tilde{a}_{ij}とすると

A~=(a~11a~21a~31a~12a~22a~32a~13a~23a~33)\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31}\\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32}\\ \tilde{a}_{13} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33}\\ \end{array}\right)
(15)

  1. A~\tilde{A} を AA 余因子行列とすると、 ∣A~∣=∣A∣n−1|\tilde{A}|=|A|^{n-1} が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。

（※穴埋め問題）

前提となる定理1: AA を nn 次の正方行列とすると、

AA~=A~A=∣A∣EA \tilde{A}=\tilde{A} A=|A| E
(16)

特に、 ∣A∣≠0|A| \neq 0 ならば、 AA は正則で、

A−1=1∣A∣A~A^{-1}=\frac{1}{|A|} \tilde{A}
(17)

前提となる定理 2:

A,BA, B を nn 次の正方行列とすると、

∣AB∣=∣BA∣=∣A∣∣B∣|A B|=|B A|=|A||B|
(18)

前提となる定理 3:

∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮0an2⋯ann∣=a11∣a22⋯a2n⋮⋱⋮an2⋯ann∣\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|
(19)

証明:

上記の定理 1 より、

AA~=∣A∣E(9.1)A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1}
(20)

∣A∣=0|A|=0 のとき、 9.1 式より、

AA~=O(9.2)A \tilde{A}=O \tag{9.2}
(21)

ここで、 A~\tilde{A} が正則であると仮定する。このとき、 A~\tilde{A} の逆行列 A~−1\tilde{A}^{-1} が存在する。 9.2 式の両辺に右から A~−1\tilde{A}^{-1} を掛けると、

A=OA=O
(22)

なので、AA の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 A~=[1]\tilde{A}=[1] 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 A~\tilde{A} は正則では ないので、 ∣A~∣=[2]|\tilde{A}|=[2] 。したがって、 ∣A~∣=∣A∣n−1=[3]|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=[3] 。

∣A∣≠0|A| \neq 0 のとき、定理 2 より、 ∣AA~∣=∣A∣[4]|A \tilde{A}|=|A| [4] 。一方、 ∣A∣E|A| E は対角成分がすべて ∣A∣|A| の nn 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 ∣∣A∣E∣=∣A∣[5]\big||A|E\big|=|A| [5] 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 ∣A∣[4]=∣A∣[5]|A| [4] = |A| [5] 。

∣A∣≠0|A| \neq 0 なので、

∣A~∣=∣A∣n−1|\tilde{A}|=|A|^{n-1}
(23)

空欄：

[1]=O[1] = O

  • 余因子は全てゼロなら余因子は零行列

[2]=0[2] = 0

[3]=0[3] = 0

  • 正則ではないので∣A~∣=0|\tilde{A}|=0

[4]=∣A~∣[4]=|\tilde{A}|

  • ∣AA~∣=∣A∣∣A~∣|A \tilde{A}| = |A||\tilde{A}|か？

    • ∣A~∣|\tilde{A}|を使うなら[3][3]を代入？

  • それともAA~=∣A∣EA \tilde{A}=|A|Eなので∣∣A∣E∣=∣A∣n−1\big| |A|E \big|=|A|^{n-1}か？

[5]=n[5] = ^n

  • ∣∣A∣E∣=∣A∣n||A| E|=|A|^n

↓空欄を埋めてみたもの

証明：

上記の定理 1 より、

AA~=∣A∣E(9.1)A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1}
(24)

∣A∣=0|A|=0 のとき、

9.1 式より、

AA~=O(9.2)A \tilde{A}=O \tag{9.2}
(25)

ここで、 A~\tilde{A} が正則であると仮定する。このとき、 A~\tilde{A} の逆行列 A~−1\tilde{A}^{-1} が存在する。 9.2 式の両辺に右から A~−1\tilde{A}^{-1} を掛けると、

A=OA=O
(26)

なので、AA の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 A~=O\tilde{A}=O 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 A~\tilde{A} は正則では ないので、 ∣A~∣=0|\tilde{A}|=0 。したがって、 ∣A~∣=∣A∣n−1=0|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=0 。

∣A∣≠0|A| \neq 0 のとき、

定理 2 より、 ∣AA~∣=∣A∣∣A~∣|A \tilde{A}|=|A| |\tilde{A}| 。一方、 ∣A∣E|A| E は対角成分がすべて ∣A∣|A| の nn 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 ∣∣A∣E∣=∣A∣n\big||A|E\big|=|A|^n 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 ∣A∣∣A~∣=∣A∣n|A| |\tilde{A}| = |A| ^n 。

∣A∣≠0|A| \neq 0 なので、

∣A~∣=∣A∣n−1|\tilde{A}|=|A|^{n-1}
(27)

9.4

4 次の正方行列 AA を

A=(a−b−c−dba−dccda−bd−cba)A=\left(\begin{array}{cccc} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{array}\right)
(28)

により定める。

  1. 第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 AA の行列式を求めよ。

  2. ∣A∣≠0|A| \neq 0 のとき、連立 1 次方程式

Ax=(1000)A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)
(29)

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

  1. 第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 AA の行列式を求めよ。

第1行に関する余因子展開: a11a~11+a12a~12+a13a~13+a14a~14=∣A∣a_{1 1} \tilde{a}_{11}+ a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4} = |A|

第1項

a11=aa~11=(−1)1+1∣a−dcda−b−cba∣=a3−bcd+bcd+ac2+ad2+ab2=a(a2+b2+c2+d2)a_{11} = a \\ \tilde{a}_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{ccc} a & -d & c \\ d & a & -b \\ -c & b & a \end{array}\right| = a^3 - bcd + bcd + ac^2 + ad^2 + ab^2\\ = a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(30)

第2項

a12=−ba~12=(−1)1+2∣b−dcca−bdba∣=−(a2b+bd2+bc2−acd+acd+b3)=−b(a2+b2+c2+d2)a_{12} = -b \\ \tilde{a}_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc} b & -d & c \\ c & a & -b \\ d & b & a \end{array}\right| = -(a^2 b + b d^2 + b c^2 - acd + acd + b^3)\\ = -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(31)

第3項

a13=−ca~13=(−1)1+3∣baccd−bd−ca∣=abd−abd−c3−cd2−a2c−b2c=c(−c2−d2−a2−b2)=−c(a2+b2+c2+d2)a_{13} = -c \\ \tilde{a}_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{ccc} b & a & c \\ c & d & -b \\ d & -c & a \end{array}\right| = abd - abd - c^3 -cd^2 - a^2 c - b^2 c\\ = c (- c^2 - d^2 - a^2 - b^2)\\ = -c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(32)

第4項

a14=−da~14=(−1)1+4∣ba−dcdad−cb∣=−(b2d+a2d+c2d+d3−acb+acb)=−d(a2+b2+c2+d2)a_{14} = -d \\ \tilde{a}_{14} = (-1)^{1+4} \left|\begin{array}{ccc} b & a & -d \\ c & d & a \\ d & -c & b \end{array}\right| = -(b^2 d + a^2 d + c^2 d + d^3 -acb + acb)\\ = -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(33)
∣A∣=a11a~11+a12a~12+a13a~13+a14a~14=a2(a2+b2+c2+d2)+b2(a2+b2+c2+d2)+c2(a2+b2+c2+d2)+d2(a2+b2+c2+d2)=(a2+b2+c2+d2)2\begin{align} |A| &= a_{1 1} \tilde{a}_{11} + a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4}\\ &= a^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + b^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + c^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + d^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\\ &= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 \end{align}
(34)

  1. ∣A∣≠0|A| \neq 0 のとき、連立 1 次方程式

Ax=(1000)A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)
(35)

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

A=(a−b−c−dba−dccda−bd−cba)A=\left(\begin{array}{cccc} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{array}\right)
(36)
Δ1=∣1−b−c−d0a−dc0da−b0−cba∣=1×a~11=a(a2+b2+c2+d2)\Delta_1 = \left|\begin{array}{cccc} 1 & -b & -c & -d \\ 0 & a & -d & c \\ 0 & d & a & -b \\ 0 & -c & b & a \end{array}\right| = 1\times \tilde{a}_{11} = a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(37)

列の入れ替えで行列式は-1倍になるはずなので2~4は-1を掛ける

Δ2=−1×a~12=−b(a2+b2+c2+d2)Δ3=−1×a~13=c(a2+b2+c2+d2)Δ4=−1×a~14=−d(a2+b2+c2+d2)\Delta_2 = -1 \times \tilde{a}_{12} = -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \\ \Delta_3 = -1 \times \tilde{a}_{13} = c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \\ \Delta_4 = -1 \times \tilde{a}_{14} = -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
(38)
x1=Δ1∣A∣=a(a2+b2+c2+d2)(a2+b2+c2+d2)2=a(a2+b2+c2+d2)x_1 = \frac{\Delta_1}{|A|} = \frac{a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{a} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
(39)
x2=Δ2∣A∣=−b(a2+b2+c2+d2)(a2+b2+c2+d2)2=−b(a2+b2+c2+d2)x_2 = \frac{\Delta_2}{|A|} = \frac{-b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-b} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
(40)
x3=Δ3∣A∣=−c(a2+b2+c2+d2)(a2+b2+c2+d2)2=−c(a2+b2+c2+d2)x_3 = \frac{\Delta_3}{|A|} = \frac{-c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-c } {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
(41)
x4=Δ4∣A∣=−d(a2+b2+c2+d2)(a2+b2+c2+d2)2=−d(a2+b2+c2+d2)x_4 = \frac{\Delta_4}{|A|} = \frac{-d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-d} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
(42)

9.5

対称行列の余因子行列は対称行列であることを示せ。

nn次対称行列AAからii行jj列を取り除いたn−1n-1次の正方行列をAijA_{ij}と表すことにする。

AijT=AjiA_{ij}^T = A_{ji}
(43)

であるため（要出典）

行列式の性質により∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|であるため

∣Aij∣=∣Aji∣|A_{ij}| = |A_{ji}|
(44)

となる

よって(i,j)(i,j)余因子a~ij\tilde{a}_{ij}と(j,i)(j,i)余因子a~ji\tilde{a}_{ji}について以下が成り立つ

a~ij=(−1)i+j∣Aij∣=(−1)j+i∣Aij∣=a~ij\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}| = (-1)^{j+i} |A_{ij}| = \tilde{a}_{ij}
(45)

よって、対称行列の余因子行列は対称行列になる

回答例

nn を 2 以上の自然数とし、 A=(aij)n×nA=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} を nn 次の対称行列とする。 AA の第 ii 行と 第 jj 行を取り除いて得られる (n−1)(n-1) 次の正方行列を AijA_{i j} とおくと、 AA は対称行列 なので

AijT=Aji(*)A_{i j}^{T}=A_{j i} \tag{*}
(46)

よって、A~\tilde{A} を AA の余因子行列とすると、

(A~の(j,i) 成分 )=(A の (i,j) 余因子 )(∵ 余因子行列の定義 )=(−1)i+j∣Aij∣(∵ 余因子の定義 )=(−1)i+j∣AijT∣(∵A を正方行列とすると、 ∣AT∣=∣A∣ の定理 )=(−1)j+i∣Aji∣(∵(∗))=(A の (j,i) 余因子) (∵ 余因子の定義 )=(A~ の (i,j) 成分 )(∵ 余因子行列の)定義 )\begin{aligned} (\tilde{A} \text{の} (j, i) \text { 成分 }) & =(A \text { の }(i, j) \text { 余因子 })(\because \text { 余因子行列の定義 }) \\ & =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}\right|(\because \text { 余因子の定義 }) \\ & =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}^{\mathrm{T}}\right|\left(\because A \text { を正方行列とすると、 }\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A| \text { の定理 }\right) \\ & =(-1)^{j+i}\left|A_{j i}\right|(\because(*)) \\ & =(A \text { の }(j, i) \text { 余因子) }(\because \text { 余因子の定義 }) \\ & =(\tilde{A} \text { の }(i, j) \text { 成分 })(\because \text { 余因子行列の)定義 }) \end{aligned}
(47)

したがって、

A~T=A~\tilde{A}^T = \tilde{A}
(48)

すなわち、対称行列の余因子行列は対称行列である.

数学
練習問題メモ 8（行列式）
数学
練習問題メモ 10（特別な形をした行列式）