練習問題メモ 12（行列の指数関数） - データサイエンス関連+αのメモ

https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2012-2016/2012/la1/120627la1.pdf

問1¶

正方行列 $\left(\begin{array}{ll}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)$ の指数関数を求めよ。

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix}

(7)

とする。

数学的帰納法により、

A^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1}\\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}

(8)

であるため

$A$ の指数関数 $e^A$ は

\begin{aligned} e^A &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^n\\ &= I + A + \frac{A^2}{2 !} + \cdots \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} + \frac{1}{2!} \begin{pmatrix} \lambda^2 & 2\lambda\\ 0 & \lambda^2 \end{pmatrix} + \cdots\\ \end{aligned}

(20)

$(1,1)$ 要素と $(2,2)$ 要素は

\begin{align} A_{11} = A_{22} &= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\\ &= e^\lambda \end{align}

(21)

である。

$(1,2)$ 要素もまた

\begin{align} A_{12} &= 0 + 1 + \frac{2\lambda}{2!} + \frac{3\lambda^2}{3!} + \cdots\\ &= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \cdots\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\\ &= e^\lambda \end{align}

(22)

よって

e^A = \begin{pmatrix} e^{\lambda} & e^{\lambda}\\ 0 & e^{\lambda} \end{pmatrix}

(23)

行列指数関数

$n$ 次正方行列 $X$ の指数関数 $e^X$ は以下のように定義される

e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} X^n

(24)

例：

A=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)

(25)

のような対角行列なら

A^k = \begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 4^k \end{pmatrix}

(26)

となるので、

\begin{aligned} e^A & =I+A+\frac{A^2}{2 !}+\cdots \\ & =\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right)+\frac{1}{2 !}\left(\begin{array}{cc} 3^2 & 0 \\ 0 & 4^2 \end{array}\right)+\cdots \\ & =\left(\begin{array}{cc} e^3 & 0 \\ 0 & e^4 \end{array}\right) \end{aligned}

(27)

別解

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2つの $n$ 次正方行列 $A,B$ について、両者が可換ならば

\exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)

(28)

という定理を使う方法。

N= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

(29)

とおいて、

\begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I + N

(30)

として、

\begin{align} \exp \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} &= \exp(\lambda I + N)\\ &= \exp(\lambda I) \exp(N)\quad (\because \lambda IとNは可換)\\ &= (e^\lambda I) (I + N) \quad (\because N^2=O)\\ &= \begin{pmatrix} e^\lambda & e^\lambda\\ 0 & e^\lambda \end{pmatrix} \end{align}

(31)

とする。

問2¶

$A$ が交代行列ならば、 $\exp(A)$ は直交行列であることを示せ。

交代行列： $A^T = -A$
直交行列： $A^T = A^{-1}$

$A$ が交代行列、すなわち $A^T=-A$ であれば

\begin{align} \exp(A)^T &= \exp(A^T) \quad (\because 転置の定理 (AB)^T = B^T A^T より、 (A^n)^T = (A^T)^n )\\ &= \exp(-A) \quad (\because Aが交代行列という仮定) \\ &= \exp(A)^{-1} \quad (\because \exp(A)\exp(-A) = \exp(A-A) = I より \exp(-A) = \exp(A)^{-1}) \end{align}

(32)

(e^A)^T = 0

とはならないのか？

\begin{align} (e^A)^T &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^n \right)^T\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \left( A^n \right)^T\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \left( -A \right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} (-1)^n A^n\\ &= \sum_{n \in \{x \in \mathbb{N}|xは偶数\} } \frac{1}{n !} A^n - \sum_{n \in \{x \in \mathbb{N}|xは奇数\} } \frac{1}{n !} A^n \\ \end{align}

(33)

問3¶

次の文章の $\boxed{ }$ を埋めよ。

$A, B$ を $n$ 次の正方行列とする。トレースについて、次の $1 \sim 3$ が成り立つことを示す。

$\operatorname{tr}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\operatorname{tr} A$
$\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$
$B$ が正則行列のとき、 $\operatorname{tr}\left(B^{-1} A B\right)=\operatorname{tr} A$
$A^{\mathrm{T}}$ の $(i, i)$ 成分は $A$ の $\boxed{1}$ 成分に一致するから、トレースの定義より、 1 が成り立つ。
$A, B$ の $(i, j)$ 成分をそれぞれ $a_{i j}, b_{i j}$ とおくと、

\operatorname{tr}(A B) =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \boxed{ 2 } = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n b_{j i} a_{i j} =\operatorname{tr}(\boxed{3})

(34)

よって、2が成り立つ。

$B$ が正則行列ならば、 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ が存在し、

\operatorname{tr}\left(B^{-1} A B\right) =\operatorname{tr}\left(B^{-1}(A B)\right) =\operatorname{tr}(\boxed{4}) =\operatorname{tr}(\boxed{5})

(35)

よって、3が成り立つ。

$\boxed{1}: (i,i)$
$\boxed{2}: a_{ij} b_{ji}$
$\boxed{3}: BA$
$\boxed{4}: (AB)B^{-1}$
$\boxed{5}: A$