練習問題メモ 10（特別な形をした行列式） - データサイエンス関連+αのメモ

10.1¶

ヴァンデルモンドの行列式について、次の問いに答えよ。

行列式

\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right|

をサラスの方法とヴァンデルモンドの行列式を用いる方法の 2 通りで計算せよ。

サラスの方法：

\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right| = 2\times 3^2 + 3 + 2^2 - 2 - 3^2 - 2^2 \times 3\\ = 18 + 3 + 4 - 2 - 9 - 12\\ = 21 + 4 - 2 - 21\\ = 2

ヴァンデルモンド

\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right| = (2 - 1)(3- 1) (3- 2)\\ = 1 \times 2 \times 1\\ = 2

行列式

\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1^2 & 2^2 & 3^2 & \cdots & n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1^{n-1} & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & n^{n-1} \end{array}\right|

を計算せよ

(2-1)(3-1)\times \cdots \times (n-1)\\ \times (3-2)(4-2)\times \cdots \times (n-2)\\ \vdots\\ \times (n-(n-1))

=1 \times 2 \times \cdots \times (n-1)\\ \times 1 \times 2 \times \cdots \times (n-2)\\ \vdots\\ \times 1

= (n-1)! \times (n-2)! \times \cdots \times (n-(n-1))!\\ = 1! \times 2! \times \cdots \times (n-1)!

10.2¶

次の 1～2 の行列式を計算せよ

\left|\begin{array}{cccccc} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right|

第 $n+1$ 列に $a_1$ を掛けて第1列から引く

\left|\begin{array}{cccccc} x-a_1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ 0 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ 0 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\ 0 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right|

第 $n+1$ 列に $a_2$ を掛けて第2列から引く

\left|\begin{array}{cccccc} x-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ 0 & x-a_2 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ 0 & 0 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right|

これを第 $n$ 列まで繰り返し、上三角行列にする

\left|\begin{array}{cccccc} x-a_1 & a_1-a_2 & a_2-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\ 0 & x-a_2 & a_2-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\ 0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right|

三角行列の行列式は対角成分の積であるという性質より、

\prod_{i=1}^n\left(x-a_i\right)

となる

\left|\begin{array}{cccccc} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right|

第i行（ $1 \leq i < n$ ）について、i+1行の-1倍を加えて上三角行列にする

\left|\begin{array}{cccccc} x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n & 0 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right|

$(n-1, n-1)$ にある1を $(1,1)$ まで持っていきたい

第 $n+1$ 列を第1列まで移動する（隣り合った列同士で位置を入れ替える行為を $n-2$ 回繰り返す（ $n-1$ 次の行列なので $n-2$ ））

第 $n+1$ 行を第1行まで移動する（隣り合った行同士で位置を入れ替える行為を $n-2$ 回繰り返す）

（合計 $2(n-2)=2n-4$ 回繰り返した→偶数回→行列式の符号は変わらず）

\left|\begin{array}{cccccc} 1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ 0 & x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n \\ \end{array}\right|

三角行列の行列式は対角成分の積なので

1 \times \left|\begin{array}{cccccc} x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n \\ \end{array}\right| = \prod_{i=1}^n\left(x-a_i\right)

\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & n \end{array}\right|

1行目を2~n行目から差し引いて

\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \end{array}\right|

という上三角行列の形にすれば、三角行列の行列式は対角成分の積で求められるという性質により、答えは

(n-1)!

10.3¶

次の $[\quad]$ を埋めよ。

自然数 $n$ に対して、

D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \end{array}\right|

とおく。 $D_n$ の値を $n$ に関する数学的帰納法により求める。

$n=1$ のとき、 $D_1=[1]$ である。

[1] = 1

$n=k(k$ は自然数 $)$ のとき、 $D_k=[2]$ であると仮定する。 $n=k+1$ とすると、

[2] = 1

D_{k+1}=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & k+1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & k \end{array}\right|(\because [3])

[3] = 列基本変形（第1列を-1倍して第2~k+1列に加えた）

$=D_{[4]} (\because [5]$ に関する余因子展開 $)=[6](\because$ 帰納法の仮定 $)$ 。

よって、 $D_n=[7]$ であることが示された。

[4] = k

[5] = 第1行

[6] = 1

[7] = 1

10.4¶

$A=\left(a_{i j}\right)$ を偶数次の交代行列とする。このとき、 $|A|$ は $A$ の成分 $a_{i j}$ の多項式 $P$ を用いて、

|A|=P^2

と表させることがわかる。

2 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。
4 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。

2次の場合¶

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12}\\ -a_{12} & 0 \end{pmatrix}

とすると、サラスの方法だと

|A| = 0 - (-a_{12} \times a_{12}) = a_{12}^2

なので、

|A| = P^2

から

2次の場合のパフィアン $P$ は

P=\pm a_{12}

4次の場合¶

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \\ \end{pmatrix}

とする。

第1行についての余因子展開を使うと

|A| = a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{13} \tilde{a}_{13} + a_{14} \tilde{a}_{14}

で

\tilde{a}_{12} = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc} -a_{12} & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{34} & 0 \\ \end{array}\right| = -1 \times ( a_{13} a_{34} a_{24} - a_{23} a_{34} a_{14} - a_{12} a_{34}^2 )\\ = - a_{13} a_{34} a_{24} + a_{23} a_{34} a_{14} + a_{12} a_{34}^2

\tilde{a}_{13} = (-1)^4 \left|\begin{array}{ccc} -a_{12} & 0 &a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} &a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} &0 \\ \end{array}\right| = a_{13} a_{24}^2 - a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{24} a_{34}

\tilde{a}_{14} = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc} -a_{12} & 0 & a_{23}\\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34}\\ \end{array}\right| = -1 \times ( - a_{12} a_{23} a_{34} + a_{13} a_{23} a_{24} - a_{14} a_{23}^2 )\\ = a_{12} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{23} a_{24} + a_{14} a_{23}^2

なので

\begin{align} |A| &= a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{13} \tilde{a}_{13} + a_{14} \tilde{a}_{14} \\ &= a_{12} (- a_{13} a_{34} a_{24} + a_{23} a_{34} a_{14} + a_{12} a_{34}^2)\\ &\quad + a_{13} (a_{13} a_{24}^2 - a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{24} a_{34})\\ &\quad + a_{14} (a_{12} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{23} a_{24} + a_{14} a_{23}^2) \\ &= - a_{12} a_{13} a_{34} a_{24} + a_{12} a_{14} a_{23} a_{34} + a_{12}^2 a_{34}^2\\ &\quad + a_{13}^2 a_{24}^2 - a_{13} a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{13} a_{24} a_{34}\\ &\quad + a_{12} a_{14} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{14} a_{23} a_{24} + a_{14}^2 a_{23}^2 \\ &= 2(a_{12} a_{14} a_{23} a_{34})\\ &\quad - 2(a_{12} a_{13} a_{24} a_{34})\\ &\quad - 2(a_{13} a_{14} a_{23} a_{24})\\ &\quad + a_{12}^2 a_{34}^2 + a_{13}^2 a_{24}^2 + a_{14}^2 a_{23}^2\\ \\ &= (a_{12} a_{34}-a_{13} a_{24}+a_{14} a_{23})^2 \end{align}

よって、

P = \pm (a_{12} a_{34}-a_{13} a_{24}+a_{14} a_{23})

# 因数分解はsympyを使った
from sympy import symbols, factor, expand
a12, a13, a14, a23, a24, a34 = symbols("a12, a13, a14, a23, a24, a34")

F = 2 * (a12 * a14 * a23 * a34) - 2 * (a12 * a13 * a24 * a34) - 2 * (a13 * a14 * a23 * a24)\
    + a12**2 * a34**2 + a13**2 * a24**2 + a14**2 * a23**2
factor(F)

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