練習問題メモ 20（固有値と固有ベクトルその2－一般の線形変換の場合－）

問1¶

写像 $\Psi: \mathbb{R}[t]_2 \rightarrow \mathbb{R}[t]_2$ を

\Psi(f(t))=f(-t)+\frac{d}{d t} f(t) \quad\left(f(t) \in \mathbb{R}[t]_2\right)

(1)

により定めると、 $\Psi$ は $\mathbb{R}[t]_2$ の線形変換を定めることがわかる。 $\mathbb{R}[t]_2$ の基底 $\{1, t, t^2\}$ に関する $\Psi$ の表現行列、 $\Psi$ の固有値、 $\Psi$ の各固有値に対する固有空間を求めよ。

Tip

情報整理

多項式： $\mathbb{R}[t]_2 = \{ a_2 t^2 + a_1 t + a_0 \mid a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}\}$
基底： $\{1, t, t^2\}$ → これらの線形結合で $\mathbb{R}[t]_2$ を生成するため

f(-t)

はどう考えればいいのか？

$\Psi(1)$ のとき、 $\Psi(f(t))$ の $f(t)$ を1とおいている、すなわち $f(t) := 1$ と定義している。 $f(t)$ は $t$ がなんであれ常に1の定数となっていると解釈できる → $f(-t) = 1$

$\Psi(t)$ のとき、同様に $f(t) := t$ とおいている。今度は $f(t)$ は $t$ の関数なので、 $f(-t) = -t$ 。あるいは別の解釈としては、 $f(t)\in\mathbb{R}[t]_2$ は線形関数なので線形性 $\forall k \in \mathbb{R}, f(k\cdot t) = k \cdot f(t)$ により、 $f(-t) = -t$ 。

$\Psi(t^2)$ のとき、 $f(t) := t^2$ → $f(-t) = (-t)^2 = t^2$

$\mathbb{R}[t]_2$ の基底 $\left\{1, t, t^2\right\}$ に関する $\Psi$ の表現行列

表現行列は

\begin{pmatrix} \Psi(1) & \Psi(t) & \Psi(t^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} A

(2)

を満たす行列 $A$ のこと（ややこしいが、 $f(t)$ も $t$ も $\mathbb{R}[t]_2$ の元なので）。

\begin{aligned} \Psi(1) = 1 + \frac{d}{dt}(1) = 1 + 0 = 1\\ \Psi(t) = -t + \frac{d}{dt}(t) = -t + 1\\ \Psi(t^2) = t^2 + \frac{d}{dt}(t^2) = t^2 + 2t\\ \end{aligned}

(3)

より、

\begin{pmatrix} \Psi(1) & \Psi(t) & \Psi(t^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -t + 1 & t^2 + 2t \end{pmatrix}

(4)

なので、あてはまるように $A$ を求める

\begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 = \Psi(1) \\ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -t + 1 = \Psi(t) \\ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = t^2 + 2t = \Psi(t^2)

(5)

なので、表現行列は

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(6)

$\Psi$ の固有値

行列表現の固有値でよさそう？

\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 0 & -1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = -(1 + \lambda)(1-\lambda)^2 =0

(7)

を満たす $\lambda$ は

\lambda = -1, 1

(8)

$\Psi$ の各固有値に対する固有空間

$\lambda = -1$ の場合、

(A - \lambda E) x = 0 \\ = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 0 & -1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

(9)

は

\begin{pmatrix} 1+1 & 1 & 0\\ 0 & -1+1 & 2\\ 0 & 0 & 1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

(10)

より

\begin{cases} 2 x_0 + x_1 = 0\\ 2 x_2 = 0\\ 2 x_2 = 0 \end{cases}

(11)

から、 $x_1 = -2 x_0, x_2 = 0$

固有空間 $V(\lambda)$ は

V(-1) = \left . \left\{ c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \right | c\in \mathbb{R} \right\}

(12)

$\lambda = 1$ の場合、

(A - \lambda E) x = 0

(13)

は

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

(14)

より

\begin{cases} x_1 = 0\\ -2 x_1 + 2 x_2 = 0\\ \end{cases}

(15)

から、 $x_1 = x_2 = 0$ 、情報がない $x_0$ は未知

固有空間 $V(\lambda)$ は

V(1) = \left . \left\{ c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | c\in \mathbb{R} \right\}

(16)

import sympy as sp

# Define the matrix
matrix = sp.Matrix([
    [1, 1, 0],
    [0, -1, 2],
    [0, 0, 1]
])

# Calculate the eigenvalues
eigenvalues = matrix.eigenvals()
print("λ=", eigenvalues.keys())
print("x=", matrix.eigenvects())

λ= dict_keys([1, -1])
x= [(-1, 1, [Matrix([
[-1/2],
[   1],
[   0]])]), (1, 2, [Matrix([
[1],
[0],
[0]])])]

問2¶

$M_2(\mathbb{R})$ の部分集合 $W$ を

W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{array}\right) \in M_2(\mathbb{R}) \right\rvert\, x_1, x_2 \in \mathbb{R}\right\}

(17)

により定める。

$W$ は $M_2(\mathbb{R})$ の部分空間であることを示せ。
$E_1, E_2 \in W$ を

E_1=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad E_2=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)

(18)

により定める。 $\left\{E_1, E_2\right\}$ は $W$ の基底であることを示せ。

$W$ は $M_2(\mathbb{R})$ の部分空間であることを示せ。

(1) $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ はともに0になりうるため、 $O\in W$

(2) $X, Y \in W$ とする。 $X + Y$ の各要素は $\mathbb{R}$ に含まれるため、 $X+Y\in W$

(3) $X \in W, c\in\mathbb{R}$ とする。 $c X$ の各要素は $\mathbb{R}$ に含まれるため、 $cX \in W$

(1)~(3)より、部分空間の定義を満たすため、 $W$ は部分空間である

$\left\{E_1, E_2\right\}$ は $W$ の基底であることを示せ。

$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ とする。

x_1 E_1 + x_2 E_2 = O

(19)

とおくと、

x_1 \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) + x_2 \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{array}\right) = O

(20)

より、

x_1 = x_2 = 0

(21)

となる。よって1次独立である。

また、 $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ について、

c_1 E_1 + c_2 E_2 = \left(\begin{array}{ll} c_1 & 0 \\ 0 & c_1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ll} 0 & c_2 \\ c_2 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} c_1 & c_2 \\ c_2 & c_1 \end{array}\right)

(22)

$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ のため、 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ についての

\left(\begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{array}\right) \in W

(23)

を $E_1,E_2$ の線形結合によって表現できる。よって $E_1,E_2$ は $W$ を生成する。

したがって、 $E_1,E_2$ は $W$ の基底である

問3¶

写像 $\Psi: \mathbb{R}[t]_2 \rightarrow \mathbb{R}[t]_2$ を

\Psi(f(t))=2 f(t)+\int_0^1 f(t) d t \quad\left(f(t) \in \mathbb{R}[t]_2\right)

(24)

により定めると、 $\Psi$ は $\mathbb{R}[t]_2$ の線形変換を定めることがわかる。 $\mathbb{R}[t]_2$ の基底 $\left\{1, t, t^2\right\}$ に関する $\Psi$ の表現行列、 $\Psi$ の固有値を求めよ。

$\mathbb{R}[t]_2$ の基底 $\left\{1, t, t^2\right\}$ に関する $\Psi$ の表現行列

表現行列は

\begin{pmatrix} \Psi(1) & \Psi(t) & \Psi(t^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} A

(25)

を満たす行列 $A$ のこと（ややこしいが、 $f(t)$ も $t$ も $\mathbb{R}[t]_2$ の元なので）。

\Psi(1) = 2 \times 1 + [t]^1_0 = 2 + 1 - 0 = 3\\ \Psi(t) = 2 t + \left[\frac{1}{2} t^2\right]^1_0 = 2t + \frac{1}{2}\\ \Psi(t^2) = 2 t^2 + \left[\frac{1}{3} t^3\right]^1_0 = 2t^2 + \frac{1}{3}\\

(26)

\begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 = \Psi(1) \\ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2t + \frac{1}{2} = \Psi(t) \\ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2t^2 + \frac{1}{3} = \Psi(t^2)

(27)

なので、表現行列は

\begin{pmatrix} 3 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

(28)

$\Psi$ の固有値

固有方程式

\det \begin{pmatrix} 3-\lambda & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ 0 & 2-\lambda & 0\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2(3-\lambda) = 0

(29)

を解くと、 $\lambda = 2, 3$

import sympy as sp

# Define the matrix
matrix = sp.Matrix([
    [3, 1/2, 1/3],
    [0, 2, 0],
    [0, 0, 2]
])

# Calculate the eigenvalues
eigenvalues = matrix.eigenvals()
print("λ=", eigenvalues.keys())
print("x=", matrix.eigenvects())

λ= dict_keys([3.00000000000000, 2.00000000000000])
x= [(3.00000000000000, 1, [Matrix([
[1.0],
[  0],
[  0]])]), (2.00000000000000, 1, [Matrix([
[-0.5],
[ 1.0],
[   0]])]), (2.00000000000000, 1, [Matrix([
[-0.333333333333333],
[                 0],
[               1.0]])])]

問4¶

$f$ をベクトル空間 $V$ の線形変換とし、次の 2 つの命題 $P, Q$ を考える。

$P: f$ は同型写像、すなわち、 $f$ は全単射である。【 $\rightarrow$ 問 17.4】
$Q: f$ は 0 を固有値として持たない。

$P$ と $Q$ は同値であることを次の文章の $\square$ を埋めることにより示せ。

[証明]

線形変換 $f$ の $[1]$ 行列を考えることにより、正方行列 $A$ に対する次の命題 $P^{\prime}$ と $Q^{\prime}$ が同値であることを示せばよい。

\begin{aligned} & P': A \text { は } [2] \text { である。 } \\ & Q': A \text { は } 0 \text { を固有値として持たない。 } \end{aligned}

(30)

$P^{\prime} \Longrightarrow Q^{\prime}$ : 背理法で示す。 $A$ を $[2]$ 行列とし、 0 を固有値として持つと仮定する。 $x$ を固有値 0 に対する $A$ の固有ベクトルとすると、 $A \boldsymbol{x}=[3]$ 。 $A$ は $[2]$ なので、逆行列 $A^{-1}$ が存在し、両辺に左から $[4]$ を掛けると、 $\boldsymbol{x} = [5]$ 。固有ベクトルの定義より、 $x \neq [5]$ なので、これは矛盾である。よって、 $[2]$ 行列は 0 を固有値として持たない。

$Q^{\prime} \Longrightarrow P^{\prime}$ : 対偶を示す。 $A$ が $[2]$ でないと仮定すると、定理1より、同次連立 1 次方程式 $A x=0$ は $[6]$ でない解 $x$ を持つ。このとき、 $x$ は固有値 0 に対する $A$ の固有ベクトルである。よって、 $A$ は 0 を固有値として持つため、命題 $Q^{\prime} \Longrightarrow P^{\prime}$ の対偶が成り立つ。したがって、命題 $Q^{\prime} \Longrightarrow P^{\prime}$ も成り立つ。

$[1] =$ 表現

$[2] =$ 正則

$[3] =0$

$[4] = A^{-1}$

$[5] = 0$

$[6] =$ 自明

練習問題メモ 20（固有値と固有ベクトル その2－一般の線形変換の場合－）

問1¶

問2¶

問3¶

問4¶

練習問題メモ 20（固有値と固有ベクトルその2－一般の線形変換の場合－）