練習問題メモ 18（表現行列）

問1¶

\begin{aligned} & \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3 \in \mathbb{R}^3 、 \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2 \in \mathbb{R}^2 \text { を } \\ & \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{b}_1=\binom{1}{2}, \boldsymbol{b}_2=\binom{3}{4} \end{aligned}

(1)

により定めると、 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}$ はそれぞれ $\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2$ の基底である。線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ を

f(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3\right)

(2)

により定める。基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

表現行列は

\left(f\left(\boldsymbol{a}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{a}_n\right)\right) =\left(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right) P

(3)

のような行列 $P$ のこと

今回は、

\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2\end{pmatrix} P

(4)

とおき、表現行列 $P$ 求める。

$\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix}$ については、

f(\boldsymbol{a}_1) = \left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} \\ f(\boldsymbol{a}_2) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} \\ f(\boldsymbol{a}_3) = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix}

(5)

なので

\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2\end{pmatrix} P \\ \iff \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} P

(6)

を解いて $P$ を求めることになる

B:= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}

(7)

の逆行列を求める。拡大係数行列を

(B | E) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right)

(8)

とおいて変形すると、

1行目を2倍して2行目から引いて

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -2 & 1 \end{array}\right)

(9)

2行目を-1/2倍して

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)

(10)

2行目を3倍して1行目から引いて

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & \frac{3}{2}\\ 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)

(11)

よって

B^{-1}= \left(\begin{array}{cc} -2 & \frac{3}{2}\\ 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)

(12)

先程の式の両辺に左から乗じると

B^{-1} \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = B^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} P

(13)

すなわち

\begin{pmatrix} -2 & \frac{3}{2}\\ 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -20 & 5\\ 5 & 10 & -1 \end{pmatrix} = P

(14)

よって基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}$ に関する $f$ の表現行列は

\begin{pmatrix} -9 & -20 & 5\\ 5 & 10 & -1 \end{pmatrix}

(15)

import numpy as np

A = np.array([
    [-2, 3/2],
    [1, -1/2],
])

B = np.array([
    [6, 10, 2],
    [2, 0 , 6]
])


A @ B

array([[ -9., -20.,   5.],
       [  5.,  10.,  -1.]])

問2¶

ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への線形写像全体の集合を $\operatorname{Hom}(V, W)$ と表す。特に、 $W=\mathbb{R}$ のとき、 $\operatorname{Hom}(V, W)$ は問 17.6 で扱った $V$ の双対空間に一致する。 $f, g \in \operatorname{Hom}(V, W), c \in \mathbb{R}$ とし、 $V$ から $W$ への写像 $f+g, c f$ をそれぞれ

(f+g)(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}), \quad(c f)(\boldsymbol{x})=c f(\boldsymbol{x}) \quad(\boldsymbol{x} \in V)

(16)

により定める。このとき、 $f+g, c f \in \operatorname{Hom}(V, W)$ となり、 $\operatorname{Hom}(V, W)$ はベクトル空間となる。なお、 $V$ の線形変換全体の集合 $\operatorname{Hom}(V, W)$ は $\operatorname{End}(V)$ とも表す（End は「自己準同型写像」を意味する英単語”endomorphism”を略したものである）。

$\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ をそれぞれ $V, W$ の基底、 $A, B$ をそれぞれ基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ に関する $f, g$ の表現行列とする。

基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ に関する $f+g, c f$ の表現行列を求めよ。

$f+g$ の表現行列¶

(f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A\\ (g(a_1), \cdots, g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) B\\

(17)

を足すと

(f(a_1), \cdots, f(a_n)) + (g(a_1), \cdots, g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A + (b_1, \cdots, b_m) B\\

(18)

整理すると

(f(a_1)+g(a_1), \cdots, f(a_n)+g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) (A + B)\\

(19)

$(f+g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x})$ なので

\big( (f+g)(a_1), \cdots, (f+g)(a_n) \big) =(b_1, \cdots, b_m) (A + B)\\

(20)

よって基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ に関する $f+g$ の表現行列は $A+B$

$cf$ の表現行列¶

（ベクトル $a_1,a_2,\cdots,a_n$ を列ベクトルとする行列を $(a_1,\cdots,a_n)$ と表記する）

(f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A\\ c (f(a_1), \cdots, f(a_n)) = c (b_1, \cdots, b_m) A\\ (c f(a_1), \cdots, c f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) (c A)\\ \big( (c f)(a_1), \cdots, (c f)(a_n)\big) = (b_1, \cdots, b_m) (c A)\\

(21)

よって基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ に関する $cf$ の表現行列は $cA$

問3¶

$U, V, W$ をべクトル空間、 $f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ を線形写像とする。 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}$ , $\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ をそれぞれ $U, V, W$ の基底、 $A$ を基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}$ , $\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}$ に関する $f$ の表現行列、 $B$ を基底 $\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ に関する $g$ の表現行列とする。

基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の表現行列を求めよ。

(f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A

(22)

を列ベクトルごとにみると

f\left(\boldsymbol{a}_j\right)=\sum_{i=1}^m a_{i j} \boldsymbol{b}_i \quad(j=1,2, \cdots, n)

(23)

なので

\begin{aligned} g\circ f(a_j) &= g(f(a_j)) \quad (合成写像の定義より)\\ &= g(\sum_{i=1}^m a_{i j} \boldsymbol{b}_i) \\ &= \sum_{i=1}^m a_{i j} g(\boldsymbol{b}_i) \quad (gが線形写像のため)\\ \end{aligned}

(24)

よって

\big( g \circ f(a_1), \cdots, g \circ f(a_n) \big) = \big( g (f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A

(25)

仮定（問題文）より、 $\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ に関する $g$ の行列表現は

(g(b_1), \cdots, g(b_n)) =(c_1, \cdots, c_l) B

(26)

であるため、

\big( g \circ f(a_1), \cdots, g \circ f(a_n) \big)\\ = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A = (c_1, \cdots, c_l) BA

(27)

より、基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の行列表現は $BA$

別解

(f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A

(28)

の両辺に $g$ を作用させると

\big( g(f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A\\

(29)

となる。

\big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) = (c_1, \cdots, c_l) B

(30)

であるため、

\big( g(f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A\\ = (c_1, \cdots, c_l) B A

(31)

よって基底 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の行列表現は $BA$

問1¶

問2¶

f+gf+gf+gの表現行列¶

cfcfcfの表現行列¶

問3¶

$f+g$ の表現行列¶

$cf$ の表現行列¶