練習問題メモ 7（置換） - データサイエンス関連+αのメモ

7.1¶

次の $1, 2$ の置換 $\sigma, \tau$ に対して、積 $\sigma \tau$ および $\tau \sigma$ を求めよ。

$\sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)$
$\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$

$\sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)$

\sigma \tau= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \sigma(\tau(1)) & \sigma(\tau(2)) & \sigma(\tau(3)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

(1)

\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \tau(\sigma(3)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}

(2)

$\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$

\sigma \tau= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

(3)

\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}

(4)

7.2¶

次の 1、 2 の置換 $\sigma$ の符号を求めよ。

$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 5 & 1 & 6 & 2 & 7 & 3\end{array}\right)$
$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\end{array}\right)$

$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 5 & 1 & 6 & 2 & 7 & 3\end{array}\right)$

\begin{align} \sigma &= (\begin{array}{lll} 1 & 4 & 6 & 7 & 3 \end{array}) (\begin{array}{lll} 2 & 5 \end{array})\\ &= (\begin{array}{lll} 1 & 3 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & 7 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & 6 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & 4 \end{array}) (\begin{array}{lll} 2 & 5 \end{array})\\ \end{align}

(5)

なので

\text{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1

(6)

$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\end{array}\right)$

\begin{align} \sigma &= (\begin{array}{lll} 1 & 7 & 3 \end{array}) (\begin{array}{lll} 2 & 4 & 5 \end{array}) \\ &= (\begin{array}{lll} 1 & 3 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & 7 \end{array}) (\begin{array}{lll} 2 & 5 \end{array}) (\begin{array}{lll} 2 & 4 \end{array}) \\ \end{align}

(7)

なので

\text{sgn}(\sigma) = (-1)^4 = 1

(8)

7.3¶

$\sigma$ が $n$ 文字の置換であることを $\sigma \in S_n$ と表す。 $n$ 変数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ の多項式 $f_\sigma\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ および $\sigma \in S_n$ に対して、多項式 $f_\sigma$ を

f_\sigma\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)

(9)

により定める。 $f$ および $\sigma$ が次の $1 \sim 3$ により与えられるとき、 $f_\sigma$ を求めよ。

$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1+2 x_2+3 x_3, \quad \sigma=\epsilon \in S_3$
$f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_3-x_4\right), \quad \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{array}\right) \in S_4$
$f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=1+x_1+x_2 x_3+x_4^3, \quad \sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 2\end{array}\right) \in S_4$

$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1+2 x_2+3 x_3, \quad \sigma=\epsilon \in S_3$

$\epsilon$ は恒等置換だと解釈し、 $x_{\sigma(i)}$ は $x$ を $\sigma$ で置換したものと考え、 $\sigma f(\cdot) = f_{\sigma}(\cdot)$ と解釈する

f_{\sigma} \left(x_1, x_2, x_3\right) = x_1+2 x_2+3 x_3

(10)

$f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_3-x_4\right), \quad \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{array}\right) \in S_4$

巡回置換ではあるが一度しか $\sigma$ を掛けないものとかんがえて

f_{\sigma}\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) = \left(x_4 - x_2\right)\left(x_1 - x_3\right)

(11)

$f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=1+x_1+x_2 x_3+x_4^3, \quad \sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 2\end{array}\right) \in S_4$

f_{\sigma}\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) = 1 + x_4 + x_1 x_3 + x_2^3

(12)