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練習問題メモ 22（内積空間）

問1

f(t),g(t)∈R[t]nf(t), g(t) \in \mathbb{R}[t]_n に対して、

⟨f(t),g(t)⟩=∫−11f(t)g(t)dt\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{-1}^1 f(t) g(t) d t
(1)

とおく。このとき、 (R[t]n,⟨⟩,)\left(\mathbb{R}[t]_n,\langle\rangle,\right) は内積空間であることを示せ。

  1. ⟨y,x⟩=⟨x,y⟩\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle

⟨f(t),g(t)⟩=∫−11f(t)g(t)dt=∫−11g(t)f(t)dt=⟨g(t),f(t)⟩\langle f(t), g(t)\rangle =\int_{-1}^1 f(t) g(t) d t =\int_{-1}^1 g(t) f(t) d t = \langle g(t), f(t)\rangle
(2)

  1. ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩\langle\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle+\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle

f′(t)∈R[t]nf'(t) \in \mathbb{R}[t]_nとする。

⟨f(t)+f′(t),g(t)⟩=∫−11(f(t)+f′(t))g(t)dt=∫−11f(t)g(t)dt+∫−11f′(t)g(t)dt=⟨f(t),g(t)⟩+⟨f′(t),g(t)⟩\langle f(t) + f'(t), g(t)\rangle = \int_{-1}^1 (f(t) + f'(t)) g(t) d t\\ = \int_{-1}^1 f(t) g(t) d t + \int_{-1}^1 f'(t) g(t) d t\\ = \langle f(t), g(t)\rangle + \langle f'(t), g(t)\rangle
(3)

  1. ⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩\langle c \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=c\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle

⟨cf(t),g(t)⟩=∫−11cf(t)g(t)dt=c∫−11f(t)g(t)dt=c⟨f(t),g(t)⟩\langle c f(t), g(t)\rangle = \int_{-1}^1 c f(t) g(t) d t\\ = c \int_{-1}^1 f(t) g(t) d t = c \langle f(t), g(t)\rangle
(4)

  1. ⟨x,x⟩≥0\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0 で、 ⟨x,x⟩=0\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle=0 ならば x=0\boldsymbol{x}=\mathbf{0}

⟨f(t),f(t)⟩=∫−11f(t)2dt\langle f(t), f(t)\rangle = \int_{-1}^1 f(t)^2 d t
(5)

f(t)f(t)の二乗の積分であるため、⟨f(t),f(t)⟩≥0\langle f(t), f(t)\rangle \geq 0であり、⟨f(t),f(t)⟩=0\langle f(t), f(t)\rangle=0ならばf(t)=0f(t)=0

問2

VV を内積空間とする。定義 22.1 の内積の条件 1∼31 \sim 3 を用いて、任意の x,y,z∈V\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} \in V に対して、

⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩,⟨x,cy⟩=c⟨x,y⟩\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle+\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle, \quad\langle\boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}\rangle=c\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle
(6)

が成り立つことを示せ。

⟨x,y+z⟩=⟨y+z,x⟩(条件1より)=⟨y,x⟩+⟨z,x⟩(条件2より)=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩(条件1より)\begin{aligned} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\rangle &=\langle \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件1より)\\ &=\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle + \langle \boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件2より)\\ &=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle + \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle \quad (条件1より) \end{aligned}
(7)
⟨x,cy⟩=⟨cy,x⟩(条件1より)=c⟨y,x⟩(条件3より)=c⟨x,y⟩(条件1より)\begin{aligned} \langle\boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}\rangle &= \langle c \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件1より)\\ &= c\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件3より)\\ &= c\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle \quad (条件1より) \end{aligned}
(8)

問3

Rn\mathbb{R}^n の標準内積を考える。 A∈Mn(R)A \in M_n(\mathbb{R}) とすると、任意の x,y∈Rn\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n に対して、

⟨x,Ay⟩=⟨ATx,y⟩\langle\boldsymbol{x}, A \boldsymbol{y}\rangle=\left\langle A^T \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\right\rangle
(9)

が成り立つことを示せ。

抽象的な内積の定義のもとでの解き方はわからなかった

もし内積の具体的な計算に踏み込むことが許されるなら、つまり、⟨x,y⟩:=x⊤y\langle x, y \rangle := x^\top yとするなら

⟨x,Ay⟩=x⊤Ay⟨A⊤x,y⟩=(A⊤x)⊤y=x⊤Ay\begin{aligned} \langle x, Ay \rangle &= x^\top Ay \\ \langle A^\top x, y \rangle &= (A^\top x)^\top y = x^\top A y \end{aligned}
(10)

よって

⟨x,Ay⟩=⟨ATx,y⟩\langle\boldsymbol{x}, A \boldsymbol{y}\rangle=\left\langle A^T \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\right\rangle
(11)

が成り立つ

問4

内積空間 VV の部分空間 WW に対して、 VV の部分集合 W⊥W^{\perp} を

W⊥={x∈V∣ 任意の y∈W に対して、 ⟨x,y⟩=0}W^{\perp}=\{\boldsymbol{x} \in V \mid \text { 任意の } \boldsymbol{y} \in W \text { に対して、 } \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0\}
(12)

により定める。

  1. WW が VV の部分空間であることの定義を書け。

  2. WW が VV の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

  3. W⊥W^{\perp} は VV の部分空間であることを示せ。

  4. W∪W⊥={0}W \cup W^{\perp}=\{0\} が成り立つことを示せ。

  5. R3\mathbb{R}^3 の部分空間 WW を

W={c1(10−1)+c2(01−1)∣ c1,c2∈R}W=\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\}
(13)

により定める。 R3\mathbb{R}^3 の標準内積を考える時、 W⊥W^{\perp} を求めよ。

補足

一般に、内積空間 VV の部分空間 WW を考えると、 VV の任意の元は x∈Wx \in W および y∈W⊥\boldsymbol{y} \in W^{\perp} を用いて、 x+y\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} と一意的に表されることがわかる。このとこから、 W⊥W^{\perp} を WW の直交補空間という。また、 VV は WW と W⊥W^{\perp} の直交直和であるといい、

V=W⊕W⊥V=W \oplus W^{\perp}
(14)

と表す。

  1. WW が VV の部分空間であることの定義を書け。

WWが空集合ではなく、和と定数倍について閉じていること。

  1. WW が VV の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

  1. 0∈W0 \in W

  2. x,y∈W  ⟹  w+y∈Wx,y\in W \implies w + y \in W

  3. c∈R,x∈W  ⟹  cx∈Wc\in \mathbb{R}, x\in W \implies cx \in W

  1. W⊥W^{\perp} は VV の部分空間であることを示せ。

(1) 0∈V\boldsymbol{0} \in V であり、 ⟨0,y⟩=0\langle \boldsymbol{0}, y \rangle = 0 のため 0∈W⊥\boldsymbol{0} \in W^\perp

(2) x1,x2∈W⊥\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \in W^{\perp} は、 y∈W\boldsymbol{y} \in Wについて、

⟨x1,y⟩+⟨x2,y⟩=0\langle \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y} \rangle + \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = 0
(15)

を満たす。標準内積の定義より

⟨x1,y⟩+⟨x2,y⟩=⟨x1+x2,y⟩=0\langle \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y} \rangle + \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}_1 + \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = 0
(16)

であるため、x1+x2∈W⊥\boldsymbol{x}_1 + \boldsymbol{x}_2 \in W^{\perp}

(3) x∈W⊥\boldsymbol{x} \in W^{\perp} は、 y∈W,c∈R\boldsymbol{y} \in W, c \in \mathbb{R}について、

c⟨x,y⟩=0c \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0
(17)

をみたす。標準内積の定義より

c⟨x,y⟩=⟨cx,y⟩=0c \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \langle c \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0
(18)

のため、cx∈W⊥c \boldsymbol{x} \in W^{\perp}

よって、(1) ~ (3)より、W⊥W^\perpはVVの部分空間である

  1. W∩W⊥={0}W \cap W^{\perp}=\{0\} が成り立つことを示せ。

x∈W,x∈W⊥x\in W, x \in W^{\perp}とおく。積集合の定義より、W∩W⊥={x∣x∈W∧x∈W⊥}W\cap W^\perp = \{ x | x\in W \land x \in W^{\perp} \}

直交補空間W⊥W^\perpの定義より、x∈W⊥x \in W^\perpはすべてのx∈Wx \in Wと直交するので、

⟨x,x⟩=0\langle x, x \rangle = 0
(19)

を満たす。内積の条件(4) （正値性）より、これは x=0x = 0 である。

よって W∩W⊥={0}W\cap W^\perp = \{ 0 \}

  1. R3\mathbb{R}^3 の部分空間 WW を

W={c1(10−1)+c2(01−1)∣ c1,c2∈R}W=\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\}
(20)

により定める。 R3\mathbb{R}^3 の標準内積を考える時、 W⊥W^{\perp} を求めよ。

x∈W⊥,y∈Wx \in W^\perp, y \in Wについて、

x=(x1x2x3)x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}
(21)
y=c1(10−1)+c2(01−1)=(c1c2−c1−c2)y = c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ -c_1 - c_2 \end{pmatrix}
(22)

とおく。xxはyyと直交するベクトルであるため、

⟨x,y⟩=0=c1x1+c2x2−c1x3−c2x3=c1(x1−x3)+c2(x2−x3)\begin{aligned} \langle x, y \rangle &= 0\\ &= c_1 x_1 + c_2 x_2 - c_1 x_3 - c_2 x_3\\ &= c_1 (x_1 - x_3) + c_2 (x_2 - x_3) \end{aligned}
(23)

∀c1,c2∈R\forall c_1, c_2\in \mathbb{R}についてこれが0になるには

x1−x3=0x2−x3=0x_1 - x_3 = 0\\ x_2 - x_3 = 0
(24)

である必要がある。

よってx1=x2=x3x_1 = x_2 = x_3のため、c∈Rc\in \mathbb{R}とおいて

x=(x1x2x3)=(ccc)=c(111)x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\ c\\c \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}
(25)

であるから、

W⊥={c(111)∣ c∈R}W^\perp =\left\{\left. c \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\}
(26)
数学
練習問題メモ 21（対角化）
数学
練習問題メモ 23（正規直交基底）