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練習問題メモ 6（正則行列）

6.1

次の問いに答えよ。

1.正則行列の定義を書け。

nn次正方行列AAに対し

A−1A=AA−1=IA^{-1}A = AA^{-1} = I
(1)

を満たす正方行列A−1A^{-1}が存在する行列AAを正則行列という

また、正則行列であるための必要十分条件はdet⁡(A)≠0\operatorname{det}(A) \neq 0である

2.次の(ア)、(イ)の正則行列の逆行列を求めよ。

 (ア) (1ab01c001) (イ) (111112121)\text { (ア) }\left(\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text { (イ) }\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right)
(2)

2. (ア)

解法1. 逆行列の定義から余因子行列を求めて解く

A=(1ab01c001)A = \left(\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
(3)

とおくと、

A−1=1∣A∣A~A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}
(4)

（A~\tilde{A}は余因子行列）

なので、行列式と余因子行列を求めていく。

まず行列式は

∣A∣=13+a⋅c⋅0+0⋅0⋅b−1⋅c⋅0−a⋅0⋅1−b⋅1⋅0=1|A| = 1^3 + a \cdot c \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot b - 1 \cdot c \cdot 0 - a \cdot 0 \cdot 1 - b \cdot 1 \cdot 0\\ = 1
(5)

余因子行列は

A11~=(−1)1+1∣A11∣=1×1=1A12~=(−1)1+2∣A12∣=−1×0=0A13~=(−1)1+3∣A13∣=1×0=0A21~=(−1)2+1∣A21∣=−1×a=−aA22~=(−1)2+2∣A22∣=1×1=1A23~=(−1)2+3∣A23∣=−1×0=0A31~=(−1)3+1∣A31∣=1×(ac−b)=ac−bA32~=(−1)3+2∣A32∣=−1×c=−cA33~=(−1)3+3∣A33∣=1×1=1\begin{align} \tilde{A_{11}} &= (-1)^{1+1} |A_{11}| = 1 \times 1 = 1\\ \tilde{A_{12}} &= (-1)^{1+2} |A_{12}| = -1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{13}} &= (-1)^{1+3} |A_{13}| = 1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{21}} &= (-1)^{2+1} |A_{21}| = -1 \times a = -a\\ \tilde{A_{22}} &= (-1)^{2+2} |A_{22}| = 1 \times 1 = 1\\ \tilde{A_{23}} &= (-1)^{2+3} |A_{23}| = -1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{31}} &= (-1)^{3+1} |A_{31}| = 1 \times (ac-b) = ac-b\\ \tilde{A_{32}} &= (-1)^{3+2} |A_{32}| = -1 \times c = -c\\ \tilde{A_{33}} &= (-1)^{3+3} |A_{33}| = 1 \times 1 = 1\\ \end{align}
(6)
A−1=1×A~=(1−aac−b01−c001)A^{-1} = 1 \times \tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(7)
A−1A=(1−aac−b01−c001)(1ab01c001)=(1a−ab−ac+(ac−b)01c−c001)=(100010001)A^{-1} A = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a - a & b - ac + (ac-b)\\ 0 & 1 & c - c\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}
(8)

解法2. 行基本変形で解く

(ア∣E)=(1ab10001c010001001)(ア | E) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & b & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
(9)

の形にする。

3行目を−b-b倍して1行目に加える

(1a010−b01c010001001)\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
(10)

3行目を−c-c倍して2行目に加える

(1a010−b01001−c001001)\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
(11)

2行目を−a-a倍して1行目に加える

(1001−aac−b01001−c001001)=(E∣ア−1)\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = (E | ア^{-1})
(12)

2. (イ)

A=(111112121)A = \left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right)
(13)

とおく。

∣A∣=13+12×2+12×2−1×22−13−13=1+2+2−4−1−1=−1|A| = 1^3 + 1^2 \times 2 + 1^2 \times 2 - 1 \times 2^2 - 1^3 - 1^3\\ = 1 + 2 + 2 - 4 - 1 - 1\\ = -1
(14)
A~11=(−1)1+1∣A11∣=1×(12−22)=−3A~12=(−1)1+2∣A12∣=−1×(1−2)=1A~13=(−1)1+3∣A13∣=1×(2−1)=1A~21=(−1)2+1∣A21∣=−1×(1−2)=1A~22=(−1)2+2∣A22∣=1×(1−1)=0A~23=(−1)2+3∣A23∣=−1×(2−1)=−1A~31=(−1)3+1∣A31∣=1×(2−1)=1A~32=(−1)3+2∣A32∣=−1×(2−1)=−1A~33=(−1)3+3∣A33∣=1×(1−1)=0\begin{align} \tilde{A}_{11} = (-1)^{1+1} |A_{11}| = 1 \times (1^2 - 2^2) = -3\\ \tilde{A}_{12} = (-1)^{1+2} |A_{12}| = -1 \times (1 - 2) = 1\\ \tilde{A}_{13} = (-1)^{1+3} |A_{13}| = 1 \times (2 - 1) = 1\\ \tilde{A}_{21} = (-1)^{2+1} |A_{21}| = -1 \times (1 - 2) = 1\\ \tilde{A}_{22} = (-1)^{2+2} |A_{22}| = 1 \times (1 - 1) = 0\\ \tilde{A}_{23} = (-1)^{2+3} |A_{23}| = -1 \times (2 - 1) = -1\\ \tilde{A}_{31} = (-1)^{3+1} |A_{31}| = 1 \times (2 - 1) = 1\\ \tilde{A}_{32} = (-1)^{3+2} |A_{32}| = -1 \times (2 - 1) = -1\\ \tilde{A}_{33} = (-1)^{3+3} |A_{33}| = 1 \times (1 - 1) = 0\\ \end{align}
(15)
A~=(−31110−11−10)\tilde{A} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
(16)
A−1=1∣A∣A~=−A~=(3−1−1−101−110)A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} = - \tilde{A} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
(17)
Source
import numpy as np

A = np.array([
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 2],
    [1, 2, 1],
])

def cofactor(A, i, j):
    """余因子を計算する関数"""
    A_minor = np.delete(A, i, axis=0)
    A_minor = np.delete(A_minor, j, axis=1)
    return (-1)**(i + j) * np.linalg.det(A_minor)

def cofactor_matrix(A):
    C = np.zeros_like(A, dtype=np.float16)
    for i in range(A.shape[0]):
        for j in range(A.shape[1]):
            C[i, j] = cofactor(A, i=i, j=j)
    return C.T

-cofactor_matrix(A)
array([[ 3., -1., -1.], [-1., -0., 1.], [-1., 1., -0.]], dtype=float16)
np.linalg.inv(A)
array([[ 3., -1., -1.], [-1., 0., 1.], [-1., 1., 0.]])
np.linalg.det(A[1:,1:])
-2.9999999999999996

6.2

nn 次の正方行列 A11,A12,A22,X11,X12,X21,X22A_{11}, A_{12}, A_{22}, X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22} を用いて、 2n2 n 次の正方行列 AA および XX を

A=(A11A12OA22),X=(X11X12X21X22)A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{ll} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array}\right)
(18)

により定める。

  1. 積 AXA X を計算せよ。

  2. A11A_{11} および A22A_{22} がともに正則ならば、 AA は正則であることを示し、さらに AA の逆行列を求めよ。

  1. 積 AXA X を計算せよ。

AX=(A11X11+A12X21A11X12+A12X22A22X21A22X22)AX = \begin{pmatrix} A_{11} X_{11} + A_{12} X_{21} & A_{11} X_{12} + A_{12} X_{22}\\ A_{22} X_{21} & A_{22} X_{22} \end{pmatrix}
(19)

  1. A11A_{11} および A22A_{22} がともに正則ならば、 AA は正則であることを示し、AA の逆行列を求めよ。

解法1 ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語 の公式を参考にする場合

∣A∣=∣A11∣⋅∣A22−OA11−1A12∣=∣A11∣⋅∣A22∣|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22} - O A_{11}^{-1} A_{12}| = |A_{11}| \cdot |A_{22}|
(20)

よって

∣A11∣≠0∧∣A22∣≠0  ⟹  ∣A∣≠0|A_{11}| \neq 0 \land |A_{22}| \neq 0 \implies |A| \neq 0
(21)

なので、A11A_{11} および A22A_{22} がともに正則ならば、 AA は正則。

逆行列は、ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語 の公式を参考にすると

A−1=(A11−1+A11−1A12A22−1OA11−1−A11−1A12A22−1−A22−1OA11−1A22−1)=(A11−1−A11−1A12A22−1OA22−1)A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} O A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ -A_{22}^{-1} O A_{11}^{-1} & A_{22}^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}
(22)

解法2 素朴に解く場合

A11A_{11} および A22A_{22} がともに正則なので、それぞれの逆行列が存在するとする。

逆行列になるには

(A11−1−A11−1A12A22−1OA22−1)\begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}
(23)

しかない

6.3

次の問いに答えよ。

  1. AA を nn 次の正方行列とする。自然数 mm に対して、

    (En−A)(En+A+A2+⋯+Am−1)\left(E_n-A\right)\left(E_n + A+A^2+\cdots+A^{m-1}\right)
    (24)

を計算せよ。

  1. べき零行列の定義を書け。

  2. AA が nn 次のべき零行列ならば、 En−AE_n-A は正則であることを示せ。

  1. AA を nn 次の正方行列とする。自然数 mm に対して、

    (En−A)(En+A+A2+⋯+Am−1)\left(E_n-A\right)\left(E_n+A+A^2+\cdots+A^{m-1}\right)
    (25)

を計算せよ。

行列もスカラーと同様に分配法則があるので

(En−A)(En+A+A2+⋯+Am−1)=En+A+A2+⋯+Am−1−(A+A2+⋯+Am)=En−Am\begin{align} (E_n - A)(E_n+A+A^2+\cdots+A^{m-1}) &= E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1} - (A + A^2 + \cdots + A^{m})\\ &= E_n - A^{m} \end{align}
(26)

  1. べき零行列の定義を書け。

nn次正方行列AAについて、

Ak=OA^k = O
(27)

となる自然数kkが存在する行列

  1. AA が nn 次のべき零行列ならば、 En−AE_n-A は正則であることを示せ。

正則なら逆行列が存在するため、任意のnn次正方行列XXに対し

(En−A)X=En(E_n - A) X = E_n
(28)

が成り立つ。

Am=OA^m = Oとし、X=(En+A+A2+⋯+Am−1)X=(E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1})とすると

(En−A)(En+A+A2+⋯+Am−1)=En−Am=En−O=En\begin{align} (E_n - A)(E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1}) &= E_n - A^m\\ &= E_n - O\\ &= E_n \end{align}
(29)

なのでEn−AE_n - Aは正則

別の説明：https://mathlandscape.com/nilpotent-matrix/

∣λEn−A∣=λn|\lambda E_n - A| = \lambda^n
(30)

になるので（なんで？）、λ=1\lambda=1なら

∣En−A∣=1|E_n - A| = 1
(31)

なのでEn−AE_n - Aは正則

べき零行列の性質

  1. べき零行列は正則ではない

    • AB=IAB=Iの両辺をkk乗したときAkBk=Ik→OBk=IA^k B^k = I^k \to O B^k = IとなりO=IO=Iは矛盾するため

    • Ak=OA^k = Oのとき∣Ak∣=∣A∣k=0→∣A∣=0|A^k| = |A|^k = 0 \to |A|=0

  2. べき零行列は固有値がゼロ

    • Akx=λkxA^k x = \lambda^k x、Ak=O→λk=0→λ=0A^k = O \to \lambda^k=0 \to \lambda = 0

  3. べき零行列のトレースは0

    • 固有値の和はトレースと一致する

    • トレースは対角成分の和 → べき零行列は対角成分が0

  4. λI−A(λ≠0)\lambda I - A(\lambda \neq 0)が正則

    • ∣λIn−Ak∣=λn|\lambda I_n - A^k| = \lambda^n

    • ∣λIn−Ak∣≠0if⁡λ≠0|\lambda I_n - A^k| \neq 0 \operatorname{if} \lambda \neq 0

（参考：https://mathlandscape.com/nilpotent-matrix/ ）

数学
練習問題メモ 5（連立1次方程式）
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練習問題メモ 7（置換）