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練習問題メモ 11（行列式の幾何学的意味）

11.1

外積 (456)×(123)\left(\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) を計算せよ。

a×b=(∣a2a3b2b3∣,−∣a1a3b1b3∣,∣a1a2b1b2∣)=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left(\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right) = ( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1 )
(1)

なので

(456)×(123)=(15−126−128−5)=(3−63)\left(\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} 15 - 12 \\ 6 - 12\\ 8 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6\\ 3 \end{pmatrix}
(2)
Source
import numpy as np
a = [4, 5, 6]
b = [1, 2, 3]
np.cross(a, b)
array([ 3, -6, 3])

11.2

平面ベクトル

(cos⁡θsin⁡θ),(sin⁡θ−cos⁡θ)\left(\begin{array}{ll} \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right), \left(\begin{array}{ll} \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)
(3)

を二辺とする平行四辺形の面積を求めよ。

ベクトルa,ba,bを2辺とする平行四辺形の面積は行列式∣a,b∣|a,b|の絶対値に合致するという定理により

a=(cos⁡θsin⁡θ),b=(sin⁡θ−cos⁡θ)a = \left(\begin{array}{ll} \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{ll} \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)
(4)

とおくと、

∣det(ab)∣=∣cos⁡θ×(−cos⁡θ)−sin⁡2θ∣=∣−cos⁡2θ−sin⁡2θ∣=∣−(cos⁡2θ+sin⁡2θ)∣=1\begin{align} |\text{det} (\begin{array}{ll} a & b \end{array})| &= |\cos \theta \times (-\cos \theta) - \sin^2 \theta|\\ &= |-\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|\\ &= |-(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)|\\ &= 1\\ \end{align}
(5)
memo

高さをyy、斜辺の長さをrrとすると sin⁡θ=y/r→y=r×sin⁡θ\sin \theta = y / r \to y = r \times \sin \theta より、高さはy=∥b∥sin⁡θy = \|b\| \sin \thetaとなる

面積をSSは底辺×高さなので

S=∥a∥∥b∥sin⁡θS = \|a\| \|b\| \sin \theta
(6)

両辺を2乗すると

S2=∥a∥2∥b∥2sin⁡2θS^2 = \|a\|^2 \|b\|^2 \sin^2 \theta
(7)
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ(∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1)sin⁡2θ=1−(a⋅b∥a∥∥b∥)2(∵cos⁡2θ=a⋅b∥a∥∥b∥)sin⁡2θ=1−(a⋅b)2∥a∥2∥b∥2\begin{align} \sin^2 \theta &= 1 - \cos^2 \theta \quad (\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1) \\ \sin^2 \theta &= 1 - \left(\frac{ a \cdot b }{\|a\| \|b\|}\right)^2 \quad (\because \cos^2 \theta = \frac{ a \cdot b }{\|a\| \|b\|}) \\ \sin^2 \theta &= 1 - \frac{ (a \cdot b)^2 }{\|a\|^2 \|b\|^2}\\ \end{align}
(8)

より、

S2=∥a∥2∥b∥2(1−(a⋅b)2∥a∥2∥b∥2)=∥a∥2∥b∥2−(a⋅b)2=(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=a12b12+a12b22+a22b12+a22b22−(a1b1)2−(a2b2)2−2(a1b1a2b2)=a12b22+a22b12−2(a1b1a2b2)=(a1b2−a1b2)2\begin{align} S^2 &= \|a\|^2 \|b\|^2 \left(1 - \frac{ (a \cdot b)^2 }{\|a\|^2 \|b\|^2} \right)\\ &= \|a\|^2 \|b\|^2 - (a \cdot b)^2\\ &= (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2\\ &= a_1^2 b_1^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2 - (a_1 b_1)^2 - (a_2 b_2)^2 - 2 (a_1 b_1 a_2 b_2)\\ &= a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2 (a_1 b_1 a_2 b_2)\\ &= (a_1 b_2 - a_1 b_2)^2\\ \end{align}
(9)
S=a1b2−a1b2S = a_1 b_2 - a_1 b_2
(10)

11.3

a,b,ca, b, c を互いに異なる数とする。空間ベクトル (111),(abc),(a2b2c2)\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right) を三辺とする平行六面体の体積を求めよ。

∣1aa21bb21cc2∣=(c−a)(c−b)(b−a)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = (c - a) (c - b) (b - a)
(11)

11.4

a,b,c,da, b, c, d を空間ベクトルとする。次の 1、2 が成り立つことを示せ。

  1. ⟨a×b,c⟩=⟨b×c,a⟩=⟨c×a,b⟩\langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}\rangle=\langle\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle

  2. (a×b)×c=⟨a,c⟩b−⟨b,c⟩a(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{b}-\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{a}

  1. ⟨a×b,c⟩=⟨b×c,a⟩=⟨c×a,b⟩\langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}\rangle=\langle\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle

クロス積は3次のベクトルに定義される演算のようなので、a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T,c=(c1,c2,c3)T\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)^T, \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)^T, \boldsymbol{c} = (c_1, c_2, c_3)^Tとする。

∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right|
(14)

を

第1行で展開すれば，

∣b2b3c2c3∣a1−∣b1b3c1c3∣a2+∣b1b2c1c2∣a3=⟨b×c,a⟩\left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| a_1 -\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| a_2 +\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| a_3 = \langle \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} \rangle
(15)

第2行で展開すれば，

∣a2a3c2c3∣b1−∣a1a3c1c3∣b2+∣a1a2c1c2∣b3=⟨a×c,b⟩\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| b_1 - \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| b_2 + \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| b_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} \rangle
(16)

第3行で展開すれば,

∣a2a3b2b3∣c1−∣a1a3b1b3∣c2+∣a1a2b1b2∣c3=⟨a×b,c⟩\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle
(17)

  1. (a×b)×c=⟨a,c⟩b−⟨b,c⟩a(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{b}-\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{a}

a×b\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}の各要素を

(a×b)1=a2b3−a3b2(a×b)2=a3b1−a1b3(a×b)3=a1b2−a2b1(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
(18)

とする。

(a×b)×c(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}の第ii要素を((a×b)×c)i((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_iと書くことにすると、

((a×b)×c)1=(a×b)2c3−(a×b)3c2=a3b1c3−a1b3c3−a1b2c2+a2b1c2=(a2c2+a3c3)b1−(b2c2+b3c3)a1=(a1c1+a2c2+a3c3)b1−(b1c1+b2c2+b3c3)a1(a1b1c1−a1b1c1を足した)=⟨a,c⟩b1−⟨b,c⟩a1\begin{align} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_1 &= (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 c_3 - (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 c_2\\ &= a_3 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_3 - a_1 b_2 c_2 + a_2 b_1 c_2\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1\\ &= (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1 \quad (a_1 b_1 c_1 - a_1 b_1 c_1を足した)\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_1 \end{align}
(19)

同様に

((a×b)×c)2=⟨a,c⟩b2−⟨b,c⟩a2((a×b)×c)3=⟨a,c⟩b3−⟨b,c⟩a3((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_2\\ ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_3\\
(20)

よって

(a×b)×c=⟨a,c⟩b−⟨b,c⟩a(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a}
(21)

11.5

次の 1、 2 により与えられた、空間内の 2 点 A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} を通る直線の方程式を求めよ。

  1. A(1,2,3), B(6,5,4)\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4)

  2. A(3,2,1), B(9,6,3)\mathrm{A}(3,2,1), \mathrm{~B}(9,6,3)

  1. A(1,2,3), B(6,5,4)\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4)

点A,BA,Bの位置ベクトルをa,ba,bとすると、直線の方程式は

x=a+t(b−a)x = a + t (b - a)
(22)

となるため、

A(1,2,3), B(6,5,4)\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4)
(23)

は

(123)+t((654)−(123))=(123)+t(531)=(1+5t2+3t3+t)\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 6\\ 5\\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \right) \\ = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 1 + 5t\\ 2 + 3t\\ 3+t \end{pmatrix}
(24)

  1. A(3,2,1), B(9,6,3)\mathrm{A}(3,2,1), \mathrm{~B}(9,6,3)

(321)+t(642)=(3+6t2+4t1+2t)\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6\\ 4\\ 2 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 3 + 6t\\ 2 + 4t\\ 1+2t \end{pmatrix}
(27)

11.6

空間ベクトル a,b,c\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} を次の 1、21 、 2 のように定めると、これらのべクトルの終点は 同一直線状にはない。これらのべクトルの終点を通る平面の方程式を求めよ。

  1. a=(123),b=(231),c=(312)\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2\end{array}\right)

  2. a=(111),b=(222),c=(345)\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}\right)

  1. a=(123),b=(231),c=(312)\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2\end{array}\right)

まず、法線ベクトルを求める

(b−a)×(c−a)=(−3,−3,−3)(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \times (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) = (-3,-3,-3)
(28)

点aaを通る平面を構築する点の集合xxは

x−a=(x−1y−2z−3)\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} x - 1\\ y - 2\\ z - 3 \end{pmatrix}
(29)
(b−a)×(c−a)⋅x−a=−3(x−1)−3(y−2)−3(z−3)=−3x+3−3y+6−3z+9=0→−3x−3y−3z=−18→x+y+z=6(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \times (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} = -3 (x - 1) - 3 (y - 2) - 3 (z - 3)\\ = -3 x + 3 - 3 y + 6 - 3z + 9 = 0\\ \to -3x - 3y -3z = -18\\ \to x + y + z = 6\\
(30)

  1. a=(111),b=(222),c=(345)\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}\right)

x−2y+z=0x - 2y + z = 0
(31)
数学
練習問題メモ 10（特別な形をした行列式）
数学
練習問題メモ 12（行列の指数関数）