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練習問題メモ 16（基底変換）

問1

a1,a2,a3,v∈R3 を a1=(211),a2=(121),a3=(112),v=(123)\begin{aligned} & \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3 \text { を } \\ & \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{v}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \end{aligned}
(1)

により定める。問 14.1 の 2 の（ア）より、 {a1,a2,a3}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\} は R3\mathbb{R}^3 の基底である。 基底 {a1,a2,a3}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\} に関する vv の成分を求めよ。

v=x1a+x2a2+x3a3=x1(211)+x2(121)+x3(112)=(211121112)(x1x2x3)\begin{aligned} \boldsymbol{v} &= x_1 \boldsymbol{a} + x_2 \boldsymbol{a}_2 + x_3 \boldsymbol{a}_3\\ &= x_1 \left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) + x_2 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) + x_3 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{l} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \end{aligned}
(2)
[A∣v]=(211112121123)=(121221111123)(1と2入れ替えた)=(12120−3−1−31123)1行目を2倍して2行目から引いた=(12120−3−1−30−111)1行目を3行目から引いた=(121201−5−70−111)3行目を−4倍して2行目から引いた=(121201−5−700−4−6)2を3に足す=(121201−5−70016/4)3行目を−1/4倍=(1212010−14/2+15/20013/2)3行目を5倍して2行目に足した=(1204/2−3/20101/20013/2)3行目を1行目から引く=(100−1/20101/20013/2)2行目を2倍して1行目から引く\begin{aligned} {[A|v]} &= \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad (1と2入れ替えた) \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1 & -3\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad 1行目を2倍して2行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1 & -3\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad 1行目を3行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad 3行目を-4倍して2行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & 0 & -4 & -6 \end{array}\right) \quad 2を3に足す \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & 0 & 1 & 6/4 \end{array}\right) \quad 3行目を-1/4倍 \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -14/2 + 15/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 3行目を5倍して2行目に足した \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4/2 - 3/2\\ 0 & 1 & 0 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 3行目を1行目から引く \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1/2\\ 0 & 1 & 0 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 2行目を2倍して1行目から引く \\ \end{aligned}
(3)
v=(−121232)v = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\end{array}\right)
(4)

問2

a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R3\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3 \in \mathbb{R}^3 を

a1=(012),a2=(103),a3=(230)b1=(211),b2=(121),b3=(112)\begin{gathered} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) \\ \boldsymbol{b}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \end{gathered}
(5)

により定めると、 {a1,a2,a3},{b1,b2,b3}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\} はともに R3\mathbb{R}^3 の基底である。 基底変換 {a1,a2,a3}→{b1,b2,b3}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\} の基底変換行列を求めよ。

基底変換行列をPPとおくと

(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3) = (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3) P
(6)

すなわち

(211121112)=(012103230)P\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 3\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} P
(7)

のPPを求める。

B=APB = AP
(8)

とすると、

P=A−1BP = A^{-1}B
(9)

なので、A−1A^{-1}を求める

逆行列（A−1A=IA^{-1}A=Iの解）を吐き出し法で解く

[A∣I]=(012100103010230001)[\mathbf{A} \mid \mathbf{I}] =\left(\begin{array}{lll|lll} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
(10)

  1. 行2と1を入れ替える

(103010012100230001)\left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
(11)

  1. 行1を2倍して第3行から引く

(10301001210003−60−21)\left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -6 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right)
(12)

  1. 第2行を3倍して第3行から引く

(10301001210000−12−3−21)\left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -12 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right)
(13)

  1. 第3行を-1/12倍する

(1030100121000011416−112)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right)
(14)

  1. 第3行を3倍して第1行から引く

(100−3412140121000011416−112)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right)
(15)

  1. 第3行を2倍して第2行から引く

(100−34121401012−13160011416−112)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right)
(16)

左側の行列が単位行列になったので、右側の行列が逆行列となる

A−1=(−34121412−13161416−112)A^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix}
(17)

よって

P=A−1B=(−34121412−13161416−112)(211121112)=(−341214560127121214)P = A^{-1} B = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{5}{6} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{7}{12} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}
(18)

※ [A∣I][A|I]を作って[I∣A−1][I|A^{-1}]として解くより、[A∣B][A|B]の両辺に逆行列をかけるかんじで[I∣A−1B][I|A^{-1}B]とかで得といい

問3

次の□を埋めよ

{a1,a2,⋯ ,an},{b1,b2,⋯ ,bn},{c1,c2,⋯ ,cn}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\} を nn 次元ベクトル空間 VV の基底、 P,QP, Q をそれぞれ基底変換 {a1,a2,⋯ ,an}→{b1,b2,⋯ ,bn},{b1,b2,⋯ ,bn}→{c1,c2,⋯ ,cn}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\} \rightarrow \left\{c_1, c_2, \cdots, c_n\right\} の基底変換行列とする。このとき、

(b1b2⋯bn)=(a1a2⋯an)[1](c1c2⋯cn)=(b1b2⋯bn)[2]\begin{aligned} & \left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right) [1] \\ & \left(\begin{array}{lllll} \boldsymbol{c}_1 & \boldsymbol{c}_2 & \cdots & \boldsymbol{c}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{array}\right) [2] \end{aligned}
(19)

と表され、さらに、

(c1c2⋯cn)=(a1a2⋯an)[3]\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{c}_1 & \boldsymbol{c}_2 & \cdots & \boldsymbol{c}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right) [3]
(20)

と表される。よって、基底変換 {a1,a2,⋯ ,an}→{c1,c2,⋯ ,cn}\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\} の基底変換行列は [3] である。

一方、逆の基底変換 {c1,c2,⋯ ,cn}→{a1,a2,⋯ ,an}\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} の基底変換行列は ([3])−1=[4]([3])^{-1}=[4] である。

.[1]=P[2]=Q[3]=PQ[4]=Q−1P−1（逆行列の計算規則(AB)−1=B−1A−1より）\begin{aligned} .[1] &= P\\ [2] &= Q\\ [3] &= PQ\\ [4] &= Q^{-1} P^{-1} （逆行列の計算規則(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}より） \end{aligned}
(21)

問4

{a1,a2},{b1,b2}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\} を 2 次元ベクトル空間 VV の基底とし、 v∈V\boldsymbol{v} \in V とする。

  1. 基底 {a1,a2}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} に関する vv の成分 x1,x2x_1, x_2 の定義を書け。

  2. 基底変換 {a1,a2}→{b1,b2}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\} の基底変換行列 PP の定義を書け。

  3. 1, 2 の x1,x2,Px_1, x_2, P がそれぞれ

x1=1,x2=2,P=(1101)x_1=1, \quad x_2=2, \quad P=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)
(22)

により与えられるとき、基底 {b1,b2}\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\} に関する v\boldsymbol{v} の成分 y1,y2y_1, y_2 を求めよ。

  1. 基底 {a1,a2}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} に関する vv の成分 x1,x2x_1, x_2 の定義を書け。

vvの成分x1,x2x_1, x_2とは、基底の線形結合により表現される際の係数のこと。すなわち

v=x1a1+x2a2=(a1a2)(x1x2)v = x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
(23)

のx1,x2x_1, x_2のこと。

  1. 基底変換 {a1,a2}→{b1,b2}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\} の基底変換行列 PP の定義を書け。

ベクトル空間VVの基底を別の基底に写像する行列のこと、すなわち

(b1,b2)=(a1,a2)P(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) =(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) P
(24)

となるPPのこと

  1. 1, 2 の x1,x2,Px_1, x_2, P がそれぞれ

x1=1,x2=2,P=(1101)x_1=1, \quad x_2=2, \quad P=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)
(25)

により与えられるとき、基底 {b1,b2}\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\} に関する v\boldsymbol{v} の成分 y1,y2y_1, y_2 を求めよ。

定理より、

(x1x2)=P(y1y2)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right)
(26)

よって

P−1(x1x2)=(y1y2)P^{-1} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right)
(27)

とすれば求められそう

[P∣I]=(11100101)=(101−10101)\begin{aligned} {[P|I]} &= \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{aligned}
(28)
P−1=(1−101)P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}
(29)

よって

(1−101)⏟P−1(12)⏟(x1x2)=(y1y2)=(−12)\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{P^{-1}} \underbrace{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} }_{ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) } = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}
(30)
別の方法を探した場合
(a1,a2)=(a11a12a21a22)(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
(31)

とすると

(b1,b2)=(a1,a2)P(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) =(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) P
(32)

は

(b1,b2)=(a11a12a21a22)(1101)=(a11a11+a12a21a21+a22)\begin{aligned} (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{11} + a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} \end{pmatrix} \end{aligned}
(33)
v=a1+2a2=(3a11+2a123a21+2a22)\begin{aligned} v &= \boldsymbol{a}_1 + 2 \boldsymbol{a}_2\\ &= \begin{pmatrix} 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{pmatrix} \end{aligned}
(34)
v=y1b1+y2b2=(b11b12b21b22)(y1y2)\begin{aligned} v &= y_1 \boldsymbol{b}_1 + y_2 \boldsymbol{b}_2\\ &= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned}
(35)
(3a11+2a123a21+2a22)=(a11a11+a12a21a21+a22)(y1y2)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{11} + a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned}
(36)
[B∣v]=(a11a11+a123a11+2a12a21a21+a223a21+2a22)[B|v]= \begin{aligned} \left( \begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{11} + a_{12} & 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} & 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{array} \right) \end{aligned}
(37)

...

数学
練習問題メモ 15（基底と次元）
数学
練習問題メモ 17（線形写像）