練習問題メモ 3

3.1¶

$A$ を $k \times l$ 行列、 $B$ を $k \times n$ 行列、 $C$ を $m \times n$ 行列とする。分割された $(k+m) \times(l+n)$ 行列に対する次の計算をせよ。 $\left(\begin{array}{cc} A & B \\ O_{m, l} & C \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} A & -B \\ O_{m, l} & -2 C \end{array}\right)$

\left(\begin{array}{cc} A & B \\ O_{m, l} & C \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} A & -B \\ O_{m, l} & -2 C \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} A+A & B-B \\ O_{m, l}-O_{m, l} & C-2 C \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2A & O_{k,n} \\ O_{m, l} & -C \end{array}\right)

(1)

3.2¶

$A$ を $m \times n$ 行列とする。分割された $(m+n)$ 次の正方行列 $\left(\begin{array}{cc}E_m & A \\ O_{n, m} & E_n\end{array}\right)$ の3乗を計算せよ。

\left(\begin{array}{cc}E_m & A \\ O_{n, m} & E_n\end{array}\right)^3 = \left(\begin{array}{cc} E_m^3 & 3A \\ O_{n, m} & E_n^3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} E_m & 3A \\ O_{n, m} & E_n \end{array}\right)

(2)

\underbrace{ \begin{pmatrix} E_m & A \\ O_{n, m} & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_m & A \\ O_{n, m} & E_n \end{pmatrix} }_{ \begin{pmatrix} E_m & 2A \\ O_{n, m} & E_n \end{pmatrix} } \begin{pmatrix} E_m & A \\ O_{n, m} & E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_m & 3A \\ O_{n, m} & E_n \end{pmatrix}

(3)

3.3¶

4次の正方行列 $I, J, K$ を
$I=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right), J=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right), K=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
(4)
により定める。 $I, J, K$ を 2 次の正方行列を用いて分割することにより、積 $I^2, J^2$ , $K^2, I J, J I, J K, K J, K I, I K$ を計算せよ。

A = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\hspace{1em} B = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\hspace{1em} C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(5)

とおくと

I= \begin{pmatrix} A & O\\ O & A \end{pmatrix}, \ J= \begin{pmatrix} O & B\\ -B & O \end{pmatrix}, \ K= \begin{pmatrix} O & -C\\ C & O \end{pmatrix}

(6)

$I^2$

I^2 = \begin{pmatrix} A & O\\ O & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & O\\ O & A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^2 & O\\ O & A^2 \end{pmatrix}

(7)

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = - E_{2}

(8)

なので

I^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

(9)

$J^2$

J^2 = \begin{pmatrix} O & B\\ -B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & B\\ -B & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B (-B) & O\\ O & -B B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot B^2 & O\\ O & -1 \cdot B^2 \end{pmatrix}

(10)

B^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E_2

(11)

J^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

(12)

$K^2$

K^2 = \begin{pmatrix} O & -C\\ C & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & -C\\ C & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot C^2 & O\\ O & -1\cdot C^2 \end{pmatrix}

(13)

C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E_2

(14)

K^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

(15)

$IJ$

IJ = \begin{pmatrix} I_s & O\\ O & I_s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & J_1 \\ J_2 & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & I_s J_1 \\ I_s J_2 & O \end{pmatrix}

(16)

I_s J_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(17)

I_s J_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(18)

IJ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(19)

$J I$

JI = \begin{pmatrix} O & J_1 \\ J_2 & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_s & O\\ O & I_s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & J_1 I_s\\ J_2 I_s & O \end{pmatrix}

(20)

J_1 I_s = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(21)

J_2 I_s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(22)

JI = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(23)

$J K$

J K = \begin{pmatrix} O & J_1 \\ J_2 & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & K_1\\ K_2 & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_1 K_2 & O\\ O & J_2 K_1 \end{pmatrix}

(24)

J_1 K_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(25)

J_2 K_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(26)

JK = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

(27)

$K J$

K J = \begin{pmatrix} O & K_1\\ K_2 & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & J_1 \\ J_2 & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} K_1 J_2 & O\\ O & K_2 J_1 \end{pmatrix}

(28)

K_2 J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\ \end{pmatrix}

(29)

K_1 J_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(30)

KJ = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

(31)

$K I$

K I = \begin{pmatrix} O & K_1\\ K_2 & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_s & O \\ O & I_s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & K_1 I_s\\ K_2 I_s & O \end{pmatrix}

(32)

K_1 I_s = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(33)

K_2 I_s = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}

(34)

KI = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(35)

$I K$

I K = \begin{pmatrix} I_s & O \\ O & I_s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & K_1\\ K_2 & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & I_s K_1\\ I_s K_2 & O \end{pmatrix}

(36)

I_s K_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

(37)

I_s K_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(38)

IK = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(39)

3.4¶

$A_{12}, A_{13}, A_{22}, A_{23}, A_{33}, B_{11}, B_{12}, B_{13}, B_{23}, B_{33}, C_{11}, C_{12}, C_{13}, C_{22}, C_{23}$ を $n$ 次の正方行列、 $O$ を $n$ 次の零行列とする。次の計算をせよ。 $\left(\begin{array}{ccc} O & A_{12} & A_{13} \\ O & A_{22} & A_{23} \\ O & O & A_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ O & O & B_{23} \\ O & O & B_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ O & C_{22} & C_{23} \\ O & O & O \end{array}\right)$

\begin{pmatrix} O & A_{12} & A_{13} \\ O & A_{22} & A_{23} \\ O & O & A_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ O & O & B_{23} \\ O & O & B_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & O & A_{12} B_{23} + A_{13} B_{33}\\ O & O & A_{22} B_{23} + A_{23} B_{33}\\ O & O & A_{33} B_{33} \end{pmatrix}

(40)

\begin{pmatrix} O & O & A_{12} B_{23} + A_{13} B_{33}\\ O & O & A_{22} B_{23} + A_{23} B_{33}\\ O & O & A_{33} B_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ O & C_{22} & C_{23} \\ O & O & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & O & O\\ O & O & O\\ O & O & O \end{pmatrix} = O

(41)

# 検算
from sympy import symbols, Matrix
A_12, A_13, A_22, A_23, A_33 = symbols("A_12, A_13, A_22, A_23, A_33")
B_11, B_12, B_13, B_23, B_33 = symbols("B_11, B_12, B_13, B_23, B_33")
C_11, C_12, C_13, C_22, C_23 = symbols("C_11, C_12, C_13, C_22, C_23")

A = Matrix([
    [0, A_12, A_13],
    [0, A_22, A_23],
    [0, 0, A_33]
])


B = Matrix([
    [B_11, B_12, B_13],
    [0, 0, B_23],
    [0, 0, B_33]
])

C = Matrix([
    [C_11, C_12, C_13],
    [0, C_22, C_23],
    [0, 0, 0]
])

3.5¶

$a, b$ を異なる数、 $X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}$ をそれぞれ $m$ 次の正方行列、 $m \times n$ 行列、 $n \times m$ 行列、 $n$ 次の正方行列とし、 $(m+n)$ 次の正方行列 $A$ および $X$ を
$A=\left(\begin{array}{cc} a E_m & O_{m, n} \\ O_{n, m} & b E_n \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{ll} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array}\right)$
(42)
により定める。 $A$ と $X$ が可換となるのは $X_{12}$ および $X_{21}$ が零行列のときであることを示せ。

AX = \begin{pmatrix} a E_m & O_{m, n} \\ O_{n, m} & b E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a E_m X_{11} & a E_m X_{12} \\ b E_n X_{21} & b E_n X_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a X_{11} & a X_{12} \\ b X_{21} & b X_{22} \end{pmatrix}

(43)

XA= \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a E_m & O_{m, n} \\ O_{n, m} & b E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a X_{11} E_m & b X_{12} E_n\\ a X_{21} E_m & b X_{22} E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a X_{11} & b X_{12}\\ a X_{21} & b X_{22} \end{pmatrix}

(44)

となり、 $a, b$ が異なる数であるため、 $AX$ と $XA$ の対角成分は異なる値になっている。

$X_{12}$ および $X_{21}$ が零行列であれば対角成分は零行列になるため、 $AX = XA$ となる

練習問題 メモ 3

3.1¶

3.2¶

3.3¶

3.4¶

3.5¶