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練習問題メモ 13（ベクトル空間）

問1

次の問いに答えよ。

  1. ベクトル空間の部分空間の定義を書け

ベクトル空間VVの空でない部分集合WWがVVにおける和とスカラー倍の演算でベクトル空間になるとき、WWをVVの部分空間という

  1. WW をべクトル空間 VV の部分集合とする。 WW が VV の部分空間であることと同値な 3 つの条件を書け。

  1. WWが空ではない：W≠∅W \neq \emptyset（⟺0∈W\Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W）

  2. 元の和が元：a,b∈W  ⟹  a+b∈Wa, b \in W \implies a + b \in W

  3. 元の定数倍が元：a∈W,λ∈R  ⟹  λa∈Wa\in W, \lambda \in R \implies \lambda a \in W

W≠∅⟺0∈WW \neq \emptyset \Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W

Wが部分空間である条件に0∈Wがありますが、どうして0ベクトルを含ん... - Yahoo!知恵袋

  1. W≠∅  ⟹  ∃a∈WW \neq \emptyset \implies \exists \boldsymbol{a} \in W。スカラーc=0c = 0についてca=0∈Wca = \boldsymbol{0} \in W

  2. 0∈W  ⟹  W≠∅\boldsymbol{0} \in W \implies W \neq \emptyset

  1. R2\mathbb{R}^2 の部分集合 WW を次の（ア）、(イ）のように定める。 WW は R2\mathbb{R}^2 の部分空間 ではないことを示せ。

(ア)W={(x1x2)∈R2∣ x1+2x2=3}(イ)W={(x1x2)∈R2∣ x1≥0}(ア) \quad W=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 \right\rvert\, x_1+2 x_2=3\right\} \\ (イ) \quad W=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 \right\rvert\, \begin{array}{l|l}x_1 \geq 0\end{array}\right\}
(1)

（ア）

R\mathbb{R}は0を含むので、x1=x2=0x_1 = x_2 = 0の場合を考えると

x1+2x2=0≠3x_1 + 2x_2 = 0 \neq 3
(2)

なのでx1+2x2=0∉Wx_1 + 2x_2 = 0 \notin W

よってWWはR2R^2の部分空間ではない

（イ）

ダメな例

負の定数ccで定数倍にしたときc(x1x2)T∉Wc (x_1 x_2)^T \notin Wのため

↑はx1=0x_1 = 0のときcx1=0c x_1 = 0になって∈W\in Wになるのでだめ

x=(x1x2)=(10)∈R2\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2
(3)

にc=−1c = -1を乗じた場合

cx=(−10)c \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}
(4)

はx1=−1x_1 = -1となるためx∉W\boldsymbol{x} \notin W

よってWWはR2R^2の部分空間ではない

問2

W1,W2W_1, W_2 をべクトル空間 VV の部分空間とする。

  1. VV の部分集合

W1∩W2={x∣x∈W1 かつ x∈W2}W_1 \cap W_2=\left\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in W_1 \text { かつ } \boldsymbol{x} \in W_2\right\}
(5)

は VV の部分空間であることを示せ。

W1∩W2≠∅W_1 \cap W_2 \neq \emptysetは証明しようがない気がする

  1. 0∈W1,0∈W20 \in W_1, 0 \in W_2のため、0∈W1∩W20 \in W_1 \cap W_2が成り立つ

  2. x,y∈Wi  ⟹  x+y∈Wi(i=1,2)x, y \in W_i \implies x + y \in W_i \quad (i = 1, 2)のため、x,y∈W1∩W2  ⟹  x+y∈W1∩W2x, y\in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 \cap W_2が成り立つ

  3. c∈Rc \in \mathbb{R}について、x∈Wi  ⟹  cx∈Wi(i=1,2)x \in W_i \implies cx \in W_i \quad (i = 1, 2)のため、x∈W1∩W2  ⟹  cx∈W1∩W2x \in W_1 \cap W_2 \implies cx \in W_1 \cap W_2が成り立つ

  1. VV の部分集合 W1+W2W_1+W_2 を

W1+W2={x+y∣x∈W1,y∈W2}W_1+W_2=\left\{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x} \in W_1, \boldsymbol{y} \in W_2\right\}
(6)

により定めると、 W1+W2W_1+W_2 は VV の部分空間であることを示せ。この W1+W2W_1+W_2 を W1W_1 と W2W_2 の和空間という。

  • W1≠∅∧W2≠∅  ⟹  W1+W2≠∅W_1 \neq \emptyset \land W_2 \neq \emptyset \implies W_1 + W_2 \neq \emptyset

  1. 0∈W1∧0∈W20 \in W_1 \land 0 \in W_2のため、0∈W1+W20 \in W_1 + W_2が成り立つ

  2. (x,y∈Wi  ⟹  x+y∈Wi) ∀i(i=1,2)(x, y \in W_i \implies x + y \in W_i) \ \forall i (i = 1, 2)のため、x,y∈W1∩W2  ⟹  x+y∈W1+W2x, y \in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 + W_2が成り立つ

  3. c∈Rc \in \mathbb{R}について、(x∈Wi  ⟹  cx∈Wi)∀i(i=1,2)(x \in W_i \implies cx \in W_i) \forall i (i = 1, 2)のため、x∈W1+W2  ⟹  cx∈W1+W2x \in W_1 + W_2 \implies cx \in W_1 + W_2

問3

nn 次以下の実数係数の tt に関する多項式全体の集合 R[t]n\mathbb{R}[t]_n は R[t]\mathbb{R}[t] の部分空間であることを示せ。

(1) 0∈R0 \in \mathbb{R}でありt=0t=0となるttが存在するため、0∈R[t]n0 \in \mathbb{R}[t]_n

(2) A[t]n,B[t]n∈R[t]n\mathbb{A}[t]_n, \mathbb{B}[t]_n \in \mathbb{R}[t]_nについて、

A[t]n={∑i=0naiti ∣ a0,a1,…,an∈R}B[t]n={∑i=0naiti ∣ b0,b1,…,bn∈R}\mathbb{A}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i t^i \ \Bigg| \ a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} \right\}\\ \mathbb{B}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i t^i \ \Bigg| \ b_0, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R} \right\}
(7)

とすると

A[t]n+B[t]n={∑i=0n(ai+bi)ti ∣ a0,…,an,b0,…,bn∈R}\mathbb{A}[t]_n + \mathbb{B}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n (a_i + b_i) t^i \ \Bigg| \ a_0, \dots, a_n, b_0, \dots, b_n \in \mathbb{R} \right\}
(8)

であり、ai+bi∈Ra_i + b_i \in \mathbb{R}であるため、和について閉じている

(3) 多項式R[t]n\mathbb{R}[t]_nのスカラーc∈Rc \in \mathbb{R}倍は

R[ct]n={∑i=0ncaiti ∣ a0,…,an∈R}\mathbb{R}[ct]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n c a_i t^i \ \Bigg| \ a_0, \dots, a_n \in \mathbb{R} \right\}
(9)

であり、cai∈R∀ic a_i \in \mathbb{R} \forall iであるためR[ct]n∈R[t]n\mathbb{R}[ct]_n \in \mathbb{R}[t]_nとなり、スカラー倍についても閉じている

よってR[t]n\mathbb{R}[t]_nはR[t]\mathbb{R}[t]の部分空間である

問4

A∈Mk,l(R),B∈Mm,n(R),C∈Mk,n(R)A \in M_{k, l}(\mathbb{R}), B \in M_{m, n}(\mathbb{R}), C \in M_{k, n}(\mathbb{R}) を固定しておき、 Ml,m(R)M_{l, m}(\mathbb{R}) の部分集合 WW を

W={X∈Ml,m(R)∣AXB=C}W=\left\{X \in M_{l, m}(\mathbb{R}) \mid A X B=C\right\}
(10)

により定める。 WW が Ml,m(R)M_{l, m}(\mathbb{R}) の部分空間になるのはどのようなときか。

WWが部分空間であるためにはO∈WO \in Wである必要がある。O∈WO\in Wの場合はX=OX=Oであり、AOB=CAOB=CのためC=OC=Oである必要がある。

C=OC=Oのとき、X1,X2∈WX_1, X_2 \in Wについて

A(X1+X2)B=AX1B+AX2B=O+O=O∈WA (X_1 + X_2) B = A X_1 B + A X_2 B = O + O = O \in W
(11)

またc∈Rc \in \mathbb{R}について

cX1=cAX1B=cC=O∈WcX_1 = c A X_1 B = cC = O \in W
(12)

問5

nn を 2 以上の自然数とし、 Mn(R)M_n(\mathbb{R}) の部分集合 WW を

W={X∈Mn(R)∣∣X∣=0}W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R})\mid |X| =0\right\}
(13)

により定める。 WW が Mn(R)M_n(\mathbb{R}) の部分空間になるかどうかを調べよ。

部分空間にならない

  • ∣X∣=0|X|=0を満たす行列は実行列中に存在するので、W≠∅W\neq \emptyset

  • 零行列の行列式は0になる∣O∣=0|O| = 0のでO∈WO \in W

  • 行列式の性質∣cA∣=cn∣A∣ (c∈R,A∈Rn×n)|cA| = c^n|A| \ (c\in \mathbb{R}, A \in \mathbb{R}^{n\times n})より、特異行列のスカラー倍も特異行列であるため、スカラー倍について閉じている

  • 特異行列の和が正則行列になることはありえるため、一般には∀X1,X2∈W,(X1+X2)∉W\forall X_1, X_2 \in W, (X_1 + X_2) \notin W

特異行列の和や定数倍が正則行列になるのか？→なることはありえる

例：

∣1000∣=0,∣0001∣=0\left| \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array} \right| = 0 ,\quad \left| \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right| = 0
(14)

であるが

∣(1000)+(0001)∣=∣1001∣=1\left| \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right| = 1
(15)
Source
from tqdm import tqdm
from itertools import product
import numpy as np

x = list(range(10))
singulars = []
for values in product(x, repeat=4):
    X = np.array(values).reshape((2, 2))
    if np.linalg.det(X) == 0:
        singulars.append(X)

errors = []
for i in range(1, len(singulars)):
    Y = singulars[i] + singulars[i-1]
    if np.linalg.det(Y) != 0:
        errors.append({
            "Y": Y,
            "X1": singulars[i],
            "X2": singulars[i-1],
        })
errors[:3]
Output
[{'Y': array([[0, 1], [9, 9]]), 'X1': array([[0, 1], [0, 0]]), 'X2': array([[0, 0], [9, 9]])}, {'Y': array([[1, 9], [0, 9]]), 'X1': array([[1, 0], [0, 0]]), 'X2': array([[0, 9], [0, 9]])}, {'Y': array([[2, 1], [9, 0]]), 'X1': array([[1, 1], [0, 0]]), 'X2': array([[1, 0], [9, 0]])}]
数学
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