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練習問題メモ 17（線形写像）

問1

U,V,WU, V, W をベクトル空間、 f:U→V,g:V→Wf: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W を線形写像とする。このとき、 ff と gg の合成写像 g∘f:U→Wg \circ f: U \rightarrow W は線形写像であることを示せ。

UUの任意のベクトルa,ba,bに対し、線形写像の定義より

g∘f(a+b)=g(f(a+b))=g(f(a)+f(b))=g(f(a))+g(f(b))=g∘f(a)+g∘f(b)\begin{aligned} g \circ f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) & =g(f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}))=g(f(\boldsymbol{a})+f(\boldsymbol{b})) \\ & =g(f(\boldsymbol{a}))+g(f(\boldsymbol{b}))=g \circ f(\boldsymbol{a})+g \circ f(\boldsymbol{b}) \end{aligned}
(1)

が成り立つ。

また任意のスカラーccに対して

g∘f(ca)=g(cf(a))=cg(f(a))=cg∘f(ca)g \circ f(c\boldsymbol{a}) = g( c f(\boldsymbol{a})) = c g ( f (\boldsymbol{a})) = c g \circ f(c\boldsymbol{a})
(2)

となる。

よって、g∘fg \circ fは線形写像の定義に合致するため、線形写像である。

問2

A∈M4(R)A \in M_4(\mathbb{R}) および線形写像 fA:R4→R4f_A: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 を

A=(1000100001200120),fA(x)=Ax(x∈R4)A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right), \quad f_A(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^4\right)
(3)

により定める。 Im⁡fA\operatorname{Im} f_A および Ker⁡fA\operatorname{Ker} f_A の基底を 1 組求めよ。さらに、 fAf_A の階数および退化次数を求め、 fAf_A に対して次元定理が成り立つことを確かめよ。

（参考）定義

定義おさらい

Im⁡fA={y∈R4∣y=fA(x) (x∈R4)}Ker⁡fA={x∈R4∣fA(x)=0 (x∈R4)}\operatorname{Im} f_A = \{ y \in \mathbb{R}^4 \mid y = f_A(x) \ (x \in \mathbb{R}^4) \}\\ \operatorname{Ker} f_A = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid f_A(x) = 0 \ (x \in \mathbb{R}^4) \}
(4)

解き方の参考にしたサイト

線形代数学 基底の求め方が分かりません。階段行列を作ってその行列に対応する部分から求められるようですが、どのように求めたら良いでしょうか？ - Quora

fAf_Aの階数

AAを行基本変形して階段行列を作ると

(1000012000000000)\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)
(5)

と変形できるためrank⁡fA=2\operatorname{rank} f_A = 2である。

Imの基底

元の行列AAのうち、得られた階段行列の段差のある列と同じ列番号の列が基底になるらしい。

今回は第1列と第2列に段があるので、対応する列をAAから得ると

{(1100),(0011)}\left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\right\}
(6)

Kerの基底

階段行列x=0階段行列 x = 0の形におくと

{x1=0x2+2x3=0\left\{\begin{array}{l} x_1 =0 \\ x_2 + 2 x_3 = 0 \end{array}\right.
(7)

この解はc1,c2∈Rc_1, c_2 \in \mathbb{R}を用いて、

(x1x2x3x4)=c1(0−210)+c2(0001)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right) = c_1 \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}
(8)

と表せる。

（x4x_4については0なのか手がかりがないので表現できるようにc2c_2と対応する基底を割り振る。x1x_1は0だとわかっているのでそのまま）

よって基底は

{(0−210),(0001)}\left\{\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\\1 \end{array}\right)\right\}
(9)

退化次数

退化次数（nullity）はKerの次元なので、Kerの基底の数と同じく2

次元定理

rank⁡fA=dim⁡Im⁡fA=2nullity⁡fA=dim⁡Ker⁡fA=2\operatorname{rank} f_A = \dim \operatorname{Im} f_A = 2\\ \operatorname{nullity} f_A = \dim \operatorname{Ker} f_A = 2\\
(10)

よって

rank⁡fA+nullity⁡fA=2+2=4=dim⁡fA\operatorname{rank} f_A + \operatorname{nullity} f_A = 2 + 2 = 4 = \dim f_A
(11)

問3

ff をベクトル空間 VV からべクトル空間 WW への線形写像とし、 x1,x2,⋯ ,xm∈V\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_m \in V とする。 f(x1),f(x2),⋯ ,f(xm)∈Wf\left(\boldsymbol{x}_1\right), f\left(\boldsymbol{x}_2\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{x}_m\right) \in W が 1 次独立ならば、 x1,x2,⋯ ,xm\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_m も 1 次独立であることを示せ。

任意のスカラーc1,…,cmc_1,\dots, c_mを用いて

c1x1+⋯+cmxm=0c_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + c_m \boldsymbol{x}_m = \boldsymbol{0}
(12)

とし、両辺にffをとると、線形写像の性質により

f(c1x1+⋯+cmxm)=f(0)⟺c1f(x1)+⋯+cmf(xm)=f(0)f(c_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + c_m \boldsymbol{x}_m) = f(\boldsymbol{0}) \\ \Longleftrightarrow c_1 f(\boldsymbol{x}_1) + \cdots + c_m f(\boldsymbol{x}_m) = f(\boldsymbol{0})
(13)

となる。ここで、f(x1),⋯ ,f(xm)∈Wf\left(\boldsymbol{x}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{x}_m\right) \in W が 1次独立ならば c1=⋯=cm=0c_1 = \cdots = c_m = 0となるため、 x1,x2,⋯ ,xm\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_m も 1 次独立である

問4

ff をべクトル空間 VV からべクトル空間 WW への線形写像とする。

  1. ff が全射であることと Im⁡f=W\operatorname{Im} f=W は同値であることを示せ。

  2. ff が単射であることと Ker⁡f={0V}\operatorname{Ker} f=\left\{\mathbf{0}_V\right\} は同値であることを示せ。

  3. ff が全単射ならば、 ff の逆写像 f−1f^{-1} は WW から VV への線形写像であることを 示せ。なお、このような ff が存在するとき、 ff を同型写像といい、 VV と WW は 同型であるという。また、 VV と WW が同型であることを V≅WV \cong W と表す。

  1. ff が全射であることと Im⁡f=W\operatorname{Im} f=W は同値であることを示せ。

写像ffが全射であるとは、像の集合{f(v)∣v∈V}\{f(v)\mid v\in V \} が 値域（終域）WWと等しいことである。

像の集合がIm⁡f\operatorname{Im} fであるため、ffが全射であることとIm⁡f=W\operatorname{Im} f=Wは等しい。

回答例

全射  ⟹  Im⁡f=W全射 \implies \operatorname{Im} f = Wについて：

ff が全射であると仮定する。まず、 f(x)∈Im⁡f(x∈V)f(x) \in \operatorname{Im} f(x \in V) とすると、 ff の値域は WW なので、 f(x)∈Wf(x) \in W である。よって、 Im⁡f⊂W\operatorname{Im} f \subset W である。

逆に、 y∈Wy \in W とすると、仮定より、 ff は全射なので、 f(x)=yf(x)=y をみたす x∈Vx \in V が存在する。よって、 y∈Im⁡fy \in \operatorname{Im} f である。すなわち、 W⊂Im⁡fW \subset \operatorname{Im} f である。したがって、 Im⁡f=W\operatorname{Im} f=W である。

Im⁡f=W  ⟹  全射\operatorname{Im} f = W \implies 全射について：

Im⁡f=W\operatorname{Im} f=W であると仮定する。 y∈Wy \in W とすると、仮定より、 WW は Im⁡f\operatorname{Im} f に等しい ので、 y∈Im⁡fy \in \operatorname{Im} f である。よって、像の定義式（ Im⁡f={f(x)∈W∣x∈V})\operatorname{Im} f=\{f(x) \in W \mid x \in V\}) より、 f(x)=yf(x)=y をみたす x∈Vx \in V が存在する。したがって、 ff は全射である。

以上より、 ff が全射であることと Im⁡f=W\operatorname{Im} f=W は同値である。

  1. ff が単射であることと Ker⁡f={0V}\operatorname{Ker} f=\left\{\mathbf{0}_V\right\} は同値であることを示せ。

（0V\mathbf{0}_VはVVの零ベクトルという意味。複数の集合が登場するので。）

(1) まず、ffが単射  ⟹  Ker⁡f={0V}\implies \operatorname{Ker} f=\left\{\mathbf{0}_V\right\}について示す。

ffは線形写像なので、f(0V)=0Wf(0_V) = 0_Wとなる（0V∈V,0W∈W0_V\in V, 0_W \in W）。

ffが単射、すなわち異なるベクトルv1≠v2(v1,v2∈V)v_1 \neq v_2 (v_1, v_2 \in V)に対してf(v1)≠f(v2)f(v_1) \neq f(v_2)となる場合、 f(v)=0Wf(v) = 0_Wとなるようなベクトルvvは0V0_Vしか存在しないため、Ker⁡f={0V}\operatorname{Ker} f = \{0_V\}となる。

よって、fが単射  ⟹  Ker⁡f={0V}fが単射\implies \operatorname{Ker} f=\left\{\mathbf{0}_V\right\}

(2) 次に、Ker⁡f={0V}  ⟹  f\operatorname{Ker} f=\left\{\mathbf{0}_V\right\} \implies fが単射 について示す。

任意のv1,v2∈Vv_1, v_2 \in Vについてf(v1)=f(v2)f(v_1) = f(v_2)とする。線形写像の線形性により、

f(v1)=f(v2)⟹f(v1)−f(v2)=0⟹f(v1−v2)=0f(v_1) = f(v_2) \quad \Longrightarrow \quad f(v_1) - f(v_2) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(v_1 - v_2) = 0
(14)

となる。

仮定よりKer⁡f={0V}\operatorname{Ker} f=\{\mathbf{0}_V\}であるため、 f(v1−v2)=0  ⟹  v1−v2=0f(v_1 - v_2) = 0 \implies v_1 - v_2 = 0である。

そしてv1−v2=0  ⟹  v1=v2v_1 - v_2 = 0 \implies v_1 = v_2であるため、f(v1)=f(v2)  ⟹  v1=v2f(v_1) = f(v_2) \implies v_1 = v_2である。

これは単射の定義（v1≠v2  ⟹  f(v1)≠f(v2)v_1 \neq v_2 \implies f(v_1) \neq f(v_2)）の対偶であるため、ffは単射である。

(1),(2)より、

fが単射  ⟺  Ker⁡f={0V}fが単射 \iff \operatorname{Ker} f = \{\mathbf{0}_V\}
(15)

である。

f(0)=0f(0)=0について

c∈R,c≠0c \in \mathbb{R}, c \neq 0について

c×f(0)=f(c×0)=f(0)c \times f(0) = f(c \times 0) = f(0)
(16)

を満たす必要がある。これを満たすにはf(0)=0f(0)=0しかないため

  1. ff が全単射ならば、 ff の逆写像 f−1f^{-1} は WW から VV への線形写像であることを 示せ。なお、このような ff が存在するとき、 ff を同型写像といい、 VV と WW は 同型であるという。また、 VV と WW が同型であることを V≅WV \cong W と表す。

全単射と逆写像の存在：

ffが全単射ならば、全射性よりf(v)=wf(v) = wとなるvvが存在し、単射性よりそのようなwwはvvに対してただ1つのみなので、逆写像f−1:W→Vf^{-1}: W \to Vが作れる。

逆写像が線形写像であること：

v1,v2∈V,w1,w2∈Wv_1, v_2\in V, w_1, w_2 \in Wとし、f(v1)=w1,f(v2)=w2,f−1(w1)=v1,f−1(w2)=v2f(v_1) = w_1, f(v_2) = w_2, f^{-1}(w_1) = v_1, f^{-1}(w_2) = v_2とおく。

f−1(w1+w2)=f−1(f(v1)+f(v2))=f−1(f(v1+v2))(∵fは線形写像のため)=v1+v2(∵f−1(f(⋅))は恒等写像のため)=f−1(w1)+f−1(w2)\begin{aligned} f^{-1}(w_1 + w_2) &= f^{-1}(f(v_1) + f(v_2))\\ &= f^{-1}(f(v_1 + v_2)) \quad (\because fは線形写像のため) \\ &= v_1 + v_2 \quad (\because f^{-1}(f(\cdot))は恒等写像のため) \\ &= f^{-1}(w_1) + f^{-1}(w_2) \end{aligned}
(17)

またc∈R,v∈V,w∈Wc \in \mathbb{R}, v\in V, w\in Wに対し、

f−1(cw)=f−1(cf(v))=f−1(f(cv))=cv=cf−1(w)\begin{aligned} f^{-1}(cw) &= f^{-1}(c f(v)) \\ &= f^{-1}( f(c v)) \\ &= cv\\ &= c f^{-1}(w)\\ \end{aligned}
(18)
合成写像を使う例

逆写像が線形写像であること：

x,y∈W\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W とする。このとき， f∘f−1f \circ f^{-1} は恒等写像で， ff は線形写像であるから，

x+y=f∘f−1(x+y)=f∘f−1(x)+f∘f−1(y)=f(f−1(x)+f−1(y))\begin{aligned} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} & =f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) \\ & =f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x})+f \circ f^{-1}(\boldsymbol{y}) \\ & =f\left(f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})\right) \end{aligned}
(19)

が成立する。

よって f∘f−1(x+y)=f(f−1(x)+f−1(y))f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=f\left(f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})\right) であり，両辺を f−1f^{-1} でうつすと，

f−1(x+y)=f−1(x)+f−1(y)f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})
(20)

となる。

また k∈Rk \in \mathbb{R} に対して

kx=f∘f−1(kx)(∵恒等写像のため)kx=kf∘f−1(x)=f(kf−1(x))(∵fが線形性を満たすため)\begin{aligned} & k \boldsymbol{x}=f \circ f^{-1}(k \boldsymbol{x}) \quad (\because 恒等写像のため) \\ & k \boldsymbol{x}=k f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x})=f\left(k f^{-1}(\boldsymbol{x})\right) \quad (\because fが線形性を満たすため) \end{aligned}
(21)

なので, f∘f−1(kx)=f(kf−1(x))f \circ f^{-1}(k \boldsymbol{x})=f\left(k f^{-1}(\boldsymbol{x})\right) がわかる。両辺を f−1f^{-1} でうつすと、

f−1(kx)=kf−1(x)f^{-1}(k \boldsymbol{x})=k f^{-1}(\boldsymbol{x})
(22)

となる。ゆえに f−1f^{-1} は線形写像である。（線形同型写像とベクトル空間の同型 | 数学の景色）

問5

ff をベクトル空間 VV の線形変換とする。 ff と ff 自身の合成写像 f∘ff \circ f が零写像であることと Im⁡f⊂Ker⁡f\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f は同値であることを示せ。

（零写像とは、値域が零のみの写像のこと。）

(1) f∘ff \circ fが零写像⟹Im⁡f⊂Ker⁡f\Longrightarrow \operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} fについて：

f(v)∈Im⁡f(v∈V)f(v) \in \operatorname{Im} f \quad (v \in V)
(23)

について、仮定よりf∘f=f(f(v))=0f\circ f = f(f(v)) = 0なので

f(v)∈Ker⁡ff(v) \in \operatorname{Ker} fがすべてのv∈Vv \in Vについて成り立つ。よってIm⁡f⊂Ker⁡f\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} fが成り立つ。

(2) Im⁡f⊂Ker⁡f⟹f∘f\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f \Longrightarrow f \circ fが零写像について：

仮定より、

∀v∈V,f(v)∈Im⁡f⊂Ker⁡f\forall v \in V, f(v) \in \operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f
(24)

である。

これは、カーネルの定義Ker⁡f={v∈V∣f(v)=0}\operatorname{Ker} f = \{ v \in V \mid f(v) = 0 \}よりf(f(v))=0f (f(v)) = 0なので、f∘ff \circ fは零写像である。

上記(1), (2)より、f∘ff \circ f が零写像であることと Im⁡f⊂Ker⁡f\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f は同値である

問6

(チャレンジ問題)

ベクトル空間 VV から R\mathbb{R} への線形写像全体のなす集合を V∗V^* または Hom⁡(V,R)\operatorname{Hom}(V, \mathbb{R}) と 表す。すなわち、

V∗=Hom⁡(V,R)={f:V→R∣f は線形写像 }V^*=\operatorname{Hom}(V, \mathbb{R})=\{f: V \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { は線形写像 }\}
(25)

である（Hom は数学的な構造を保つ写像に対して用いられる「準同型写像」を意味する英単語”homo morphism”を略したものである。）。

f,g∈V∗,c∈Rf, g \in V^*, c \in \mathbb{R} とし、 VV から R\mathbb{R} への写像 f+g,cff+g, c f をそれぞれ

(f+g)(x)=f(x)+g(x),(cf)(x)=cf(x)(x∈V)(f+g)(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}), \quad(c f)(\boldsymbol{x})=c f(\boldsymbol{x}) \quad(\boldsymbol{x} \in V)
(26)

により定める。

  1. f+g,cf∈V∗f+g, c f \in V^* を示せ。

  2. 1 で定めた和とスカラー倍によって、 V∗V^* はべクトル空間となることを示せ。 なお、 V∗V^* を VV の双対ベクトル空間または双対空間という。

  3. VV が nn 次元で、 {a1,a2,⋯ ,an}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} を VV の基底とすると、 i=1,2,⋯ ,ni=1,2, \cdots, n に対 して、 fi∈V∗をf_i \in V^* を

fi(aj)=δij(j=1,2,⋯ ,n)f_i\left(\boldsymbol{a}_j\right)=\delta_{i j}(j=1,2, \cdots, n)
(27)

により定めることができる。 {f1,f2,⋯ ,fn}\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n\right\} は V∗V^* の基底であることを示せ。 {f1,f2,⋯ ,fn}\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n\right\} を {a1,a2,⋯ ,an}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} の双対基底という。

  1. f+g,cf∈V∗f+g, c f \in V^* を示せ。

(1) f+g∈V∗f+g\in V^*について

f,gf, gは線形写像であるため、線形写像の和は線形写像になるという定理により、線形写像でありV∗V^*の元である。

線形写像の和は線形写像になるという定理の証明

  1. 加法性

v,u∈Vv, u \in Vに対して

(f+g)(v+u)=f(v+u)+g(v+u)(f+gの定義より)=f(v)+f(u)+g(v)+g(u)(f,gは線形写像のため)=f(v)+g(v)+f(u)+g(u)(順序を入れ替えた)=(f+g)(v)+(f+g)(u)(f+gの定義より)\begin{aligned} (f+g)(v + u) &= f(v + u) + g (v + u) \quad (f+gの定義より)\\ &= f(v) + f(u) + g(v) + g(u) \quad (f, g は線形写像のため)\\ &= f(v) + g(v) + f(u) + g(u) \quad (順序を入れ替えた)\\ &= (f + g)(v) + (f + g)(u) \quad (f+gの定義より)\\ \end{aligned}
(28)

よって加法性をもつ

  1. 斉次性

(f+g)(cv)=f(cv)+g(cv)(f+gの定義より)=cf(v)+cg(v)(f,gは線形写像のため)=c(f+g)(v)\begin{aligned} (f+g)(c v) &= f(c v) + g (c v) \quad (f+gの定義より)\\ &= c f(v) + c g (v) \quad (f, g は線形写像のため)\\ &= c (f + g)(v) \end{aligned}
(29)

よって斉次性ももつ

(2) cf∈V∗cf \in V^*について：

v∈Vv \in Vとする。

cf(v)=f(cv)(fは線形写像のため、線形写像の性質により)\begin{aligned} cf(v) &= f(cv) \quad (f は線形写像のため、線形写像の性質により)\\ \end{aligned}
(30)

ffは線形写像のためf∈V∗f \in V^*となる。よってcf∈V∗cf \in V^*

  1. 1 で定めた和とスカラー倍によって、 V∗V^* はべクトル空間となることを示せ。 なお、 V∗V^* を VV の双対ベクトル空間または双対空間という。

1に示したように、f∈V∗f \in V^*は加法とスカラー倍について閉じている。

零ベクトルに相当するものが零写像とすると、零写像が線形写像であるかどうかを確かめればよい。

零写像をf0f_0とすると、v,u∈Vv,u \in Vについて

f0(v+u)=0f0(v)+f0(u)=0f_0(v + u) = 0\\ f_0(v) + f_0(u) = 0
(31)

のためf0(v+u)=f0(v)+f0(u)f_0(v + u) = f_0(v) + f_0(u)である

またc∈Rc\in \mathbb{R}について

f0(cv)=0cf0(v)=0f_0(cv) = 0\\ c f_0(v) = 0
(32)

のためf0(cv)=cf0(v)f_0(cv) = c f_0(v)

となるため、零写像は線形写像であり、V∗V^*に含まれる。

よって、V∗V^*はベクトル空間である。

  1. VV が nn 次元で、 {a1,a2,⋯ ,an}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} を VV の基底とすると、 i=1,2,⋯ ,ni=1,2, \cdots, n に対 して、 fi∈V∗をf_i \in V^* を

fi(aj)=δij(j=1,2,⋯ ,n)f_i\left(\boldsymbol{a}_j\right)=\delta_{i j}(j=1,2, \cdots, n)
(33)

により定めることができる。 {f1,f2,⋯ ,fn}\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n\right\} は V∗V^* の基底であることを示せ。 {f1,f2,⋯ ,fn}\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n\right\} を {a1,a2,⋯ ,an}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} の双対基底という。

δ\deltaの定義は…？

数学
練習問題メモ 16（基底変換）
数学
練習問題メモ 18（表現行列）