WAIC / WBIC / 渡辺ベイズ理論#
概要#
正則でないモデル（例えばDeep Learningのような複雑なモデル）でも使えるようにAICを一般化したのがWAIC
そのように一般化したベイズが渡辺ベイズ
代数幾何学を利用する
KL情報量#
正則性#
\(K(\theta)=0\)となる\(\theta\)の集合を\(\Theta_*\)とする。
以下3つの条件を満たすとき、正則であるという
\(\Theta_*\)の要素\(\theta_*\)が単一
\(\theta\)のヘッセ行列
正則性#
以下2つを満たすとき\(q(x)\)は\(p(x|\theta)\)に対して正則であるという
平均対数損失関数を最小にするパラメータの集合\(\Theta^* = \{ \theta \in \Theta | L(\theta) が最小値をとる \}\)について、集合\(\Theta^*\)の要素が\(\theta^*\)の1つだけである
\(\theta^*\)のヘッセ行列\(\nabla^2 L(\theta^*)\)が正則（固有値が全て正の値）である
正則でない関数の例#
最適解が複数→凸でない
2回微分できない
\(f(x) = x^4\)は\(f''(0)=0\)で
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = x**4
plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fc954c64670>]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = 4*x**3
plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fc952b377c0>]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = 12*x**2
plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fc9529d4fd0>]
正則でない統計モデルの例#
混合正規分布
で最適解が\(a_* b_* =0\)のとき、KL情報量を最小化する\(\theta=(a,b)\in\Theta\)が一意に決まらない
正則性を仮定すると得られるもの#
ニュートン法の確率収束#
最尤推定のときに使われることが多いニュートン法でヘッセ行列が逆行列を持たず、漸化式が収束しない
漸近正規性#
法則収束：分布関数Fの連続点xで分布関数\(F_n(x)\)が\(F(x)\)に収束する（\(n\to \infty\)）
事後平均、事後分散#
渡辺ベイズで出てくる大事な量
\(p(x|\theta)\)の事後平均（予測分布） $\( r\left(x \mid x_1, \ldots, x_n\right)=\int_{\Theta}\{p(x \mid \theta)\} p\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right) d \theta \)\( \)-\log p(x|\theta)\(の事後平均、事後分散 \)\( \begin{aligned} \mathcal{E}(x) & :=\int_{\Theta}\{-\log p(x \mid \theta)\} p\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right) d \theta \\ \mathcal{V}(x) & :=\int_{\Theta}\{-\log p(x \mid \theta)-\mathcal{E}(x)\}^2 p\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right) d \theta \end{aligned} \)$
汎化損失#
汎化損失#
予測分布を負の対数とって期待値とる $\( G_n :=\mathbb{E}_X\left[-\log r\left(X \mid x_1, \ldots, x_n\right)\right] \)$
経験損失#
正則性を仮定しなくても、次のようになる#
WAIC#
WAIC = 経験損失\(T_n\)+事後分散の平均値\(V_n/n\) $\( \begin{gathered} \mathcal{E}(x)=\int_{\Theta}\{-\log p(x \mid \theta)\} p\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right) d \theta \\ \mathcal{V}(x)=\int_{\Theta}\{-\log p(x \mid \theta)-\mathcal{E}(x)\}^2 p\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right) d \theta \\ V_n:=\sum_{i=1}^n \mathcal{V}\left(x_i\right) \\ W A I C:=T_n+\frac{V_n}{n} \end{gathered} \)$
相対的に有限な分散の範囲内でしかWAICは使えない#
（100問の本7章）
実現可能#
\(D(q\| p)=0\)となる\(\theta\)が存在するとき、qは\(\{p(\cdot|\theta)\}_{\theta\in\Theta}\)で実現可能という
実質的にunique（同質）#
相対的に有限な分散をもつ#
正則でないモデルであってもWAICは使えるが、相対的に有限な分散の範囲内でしかWAICは使えない
正則のとき、\(AIC\approx WAIC\)#
正則のとき、漸近正規性から $\( \begin{aligned} G_n & =\mathbb{E}_X\left[-\log p\left(X \mid \theta_*\right)\right]+\frac{1}{2} \Delta_n^{\top} J \Delta_n \\ T_n & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n-\log p\left(x_i \mid \theta_*\right)-\frac{1}{2} \Delta_n^{\top} J \Delta_n \end{aligned} \)\( AICとの対応 \)\( \begin{aligned} \mathbb{E}_X\left[-\log p\left(X \mid \hat{\theta}\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)\right] & =\mathbb{E}_X\left[-\log p\left(X \mid \theta_*\right)\right]+\frac{1}{2} \Delta_n^{\top} J \Delta_n \\ \sum_{i=1}^n-\log p\left(x_i \mid \hat{\theta}\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n-\log p\left(x_i \mid \theta_*\right)-\frac{1}{2} \Delta_n^{\top} J \Delta_n \end{aligned} \)$
「渡辺ベイズはベイズじゃない」という批判#
こういう本がでるのはいいことだけど、またこういう間違った認識が広がるのは辟易する。WAIC/WBICは頻度論だから。