ベクトルaに平行な直線#

点$P$を通って、ベクトル$\mathit{a}(\ne \mathbf{0})$に平行な直線を$l$とすれば、点$X$が$l$上にあることは、ベクトル$\overrightarrow{PX}$が$\mathit{a}$に並行であること、すなわち

となるような実数$t$が存在することと同等である。

$P,X$の位置ベクトルをそれぞれ$\mathit{p},\mathit{x}$とすれば、$\overrightarrow{PX}=t\mathit{a}$は

あるいは

と書き直すことができる。$t$があらゆる実数値をとれば、$X$は$l$上のあらゆる位置を取る。

$\mathit{x}=\mathit{p}+t\mathit{a}$ を、$t$を媒介変数とする直線$l$の ベクトル方程式 といい、$\mathit{a}$ を$l$の 方向ベクトル という。

通常のように ベクトルを成分表示して $\mathit{a}=(a,b),\mathit{p}=(x_0,y_0),\mathit{x}=(x,y)$ とすれば $\mathit{x}=\mathit{p}+t\mathit{a}$ は

すなわち

と表される。 これはべクトル方程式を座標を用いて書き表したものである。

なお$\mathit{a}$ は $\mathbf{0}$ ではないから、 $a,b$ の少なくとも一方は 0 ではない。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a = np.array([2, 1])
p = np.array([0, 1])
t = 2
x = p + t * a

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4.5, 2.5], dpi=100)
o = [0, 0]
ax.arrow(*o, *a, color="darkorange")
ax.text(*a, "a", color="darkorange")

ax.scatter(*p, color="steelblue")
ax.text(*p, "p ", color="steelblue", ha="right")
ax.scatter(*x, color="steelblue")
ax.text(*x, "x ", color="steelblue", ha="right")

ax.arrow(*p, *(x - p), color="steelblue")
pos = p + (x - p) / 2
ax.text(*pos, r"$x = \vec{p} + t \vec{a}$", color="steelblue", ha="right")
ax.set(title=fr"line with $t={t}$, $a={a}$, $p={p}$")
fig.show()

# 与えられた点
x1, y1 = 3, 5
x2, y2 = -5, -3

# 傾きmを計算
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

# 傾きを使用して点傾き形式の方程式を求める
# 点 (x1, y1) = (3, 5) を使用
m, y1 - m*x1

(1.0, 2.0)

ベクトルaに垂直な直線#

平面上の点$P$を通り、$\mathbf{0}$でないベクトル$\mathit{a}$に垂直な直線$l$を考える。

点$X$が直線$l$上にあるためには、ベクトル$\overrightarrow{PX}$が$\mathit{a}$垂直であることが必要かつ十分である。

$\overrightarrow{PX}=\mathit{x}-\mathit{p}$であるから、このことは

$\mathit{a}=(a,b),\mathit{p}=(x_0,y_0),\mathit{x}=(x,y)$ とおけば、

と書かれる。$a{x}_0+b{y}_0$は定数なので$c$とおけば

となる。

$\mathit{a}=(a,b)$のような直線に垂直なベクトルは 法ベクトル という。

tの消去#

$a,b,c$のいずれも0でなければ

として$t$を消去できる。

そうでない場合、たとえば$a=0,b\ne 0,c\ne 0$の場合は

とすればよい

ベクトルaに垂直な平面#

所与の点$P$と$\mathbf{0}$でないベクトル$\mathit{a}$について、$P$をとおって$\mathit{a}$に垂直な1つの平面$\alpha$が定められる

空間の点$X$がその平面上にあるためには、ベクトル$\overrightarrow{PX}=\mathit{x}-\mathit{p}$が$\mathit{a}$垂直であることが必要かつ十分であるから、 平面$\alpha$の方程式は

となる。

$\mathit{a}=(a,b,c),\mathit{p}=(x_0,y_0,z_0),\mathit{x}=(x,y,z)$ とおけば

となり、定数$a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$ を $d$ とおけば

3点を通る平面#

空間の平面は空間上の異なる3点で決まる。これらを$\mathrm{P}(p_1,p_2,p_3),{\mathrm{P}}^{\prime }(p_1^{\prime },p_2^{\prime },p_3^{\prime }),{\mathrm{P}}^{\prime \prime }(p_1^{\prime \prime },p_2^{\prime \prime },p_3^{\prime \prime })$とすると

平面上の点$X(x_1,x_2,x_3)$はパラメータ$s,t\in \mathbb{R}$を用いて

と書くことができる（平面のパラメータ表示）

点$P$を通り$\mathit{a},\mathit{b}\in {\mathbb{R}}^3$の2方向に張られた平面$\mathrm{\Pi }$

が考えられる。$\mathrm{\Pi }$は

と書ける点$X$の全体である。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

o = np.array([0, 0])
p = np.array([1, 1])
a = np.array([0, 2])
b = np.array([2, 0])
x = p + a + b

fig, ax = plt.subplots()
arrow_cfg = dict(width=0.01, color="black", length_includes_head=True)
ax.arrow(*o, *a, **arrow_cfg)
ax.arrow(*o, *b, **arrow_cfg)

ax.scatter(*x)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f4521f66170>

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

o = np.array([0, 0])
p = np.array([1, 1])
a = np.array([0, 2])
b = np.array([2, 0])
x = p + a + b

fig, ax = plt.subplots()
arrow_cfg = dict(width=0.01, color="black", length_includes_head=True)
ax.arrow(*o, *a, **arrow_cfg)
ax.arrow(*o, *b, **arrow_cfg)

ax.scatter(*x)

<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f4521df9090>

とすると

となるので、この連立1次方程式を解く。

第1,2式を行列表記すると

なので

となるので、第$2,3$式に代入すれば、${\mathrm{\Delta }}_{12}:=a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$ の下に

この第2成分は

となり、

つまり

なので

をつかって

と表すことができる

ベクトル積で表す平面の方程式#

の$[\lambda ,\mu ,\nu ]$はベクトル積（外積）$\mathit{a}\times \mathit{b}$であるため、

平面の方程式は、外積と内積を使って

と書くことができる

（法線ベクトル$a$を 外積 $\mathit{a}\times \mathit{b}$で求める）

ベクトル積は以下のように（形式的に）書くことができる

そのため、$(\mathit{x}-\mathit{p})$との内積をとるということは、$e$を$x-p$で置き換えた行列に対する行列式

ということになる