微分学の基礎的な定理

微分学の基礎的な定理#

概要図：連続関数の性質 $\to$ ロールの定理 $\to$ 平均値の定理 $\to$ ティラーの定理 $\to$ テイラー展開

ロールの定理

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で連続で $a < x < b$ のすべての点で微分可能であり $f (a) = f (b)$ であれば、少なくとも 1 点 $c (a < c < b)$ において $f^{'} (c) = 0$ となる

これをロール (M. Rolle, 1652-1719)の定理という。

平均値の定理

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で連続で $a < x < b$ で微分可能ならば、ある点 $c (a < c < b)$ が存在して、

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (a < c < b)

が成り立つ。

この定理は直線 $AB$ と同じ傾きをもつ接線が弧 $AB$ 上に存在することを意味している。

平均値の定理

f (b) = f (a) + (b - a) f^{'} (c) (a < c < b)

を一般化する。

テイラーの定理

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で $n$ 階まで連続な導関数をもち、 $a < x < b$ で $n + 1$ 階微分可能ならば、ある点 $c (a < c < b)$ が存在して、

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (b) = & f (a) + f^{'} (a) (b - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (b - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (b - a)^{n} \\ + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (c) (b - a)^{n + 1} (a < c < b) \end{aligned} \end{array}

$n = 0$ （1階微分可能）のとき、平均値の定理と一致する。

$b = x$ とおいたものは、関数 $f (x)$ の点 $a$ における テイラー展開 （Taylor expansion）と呼ばれる。

テイラー展開の $c$ を $c = a + θ (b - a) (0 < θ < 1)$ と書くと、

\begin{array}{r} f (b) = f (a) + f^{'} (a) (b - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (b - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (b - a)^{n} + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (a + θ (b - a)) (b - a)^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{array}

$b = x$ とおけば、テイラー展開と呼ばれる式になる

テイラー展開

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) = & f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (x - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (x - a)^{n} \\ + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (a + θ (x - a)) (x - a)^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{aligned} \end{array}

これを関数 $f (x)$ の点 $a$ における テイラー展開（Taylor expansion） という。

テイラー展開の特別の場合として、 $a = 0$ のときの場合を マクローリン展開 という。

マクローリン展開

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2!} f^{''} (0) x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} \\ + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (θ x) x^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{aligned} \end{array}

関数 $f (x)$ の点 $a$ におけるテイラー展開は、

\begin{array}{r} f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (x - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (x - a)^{n} + R_{n + 1} \\ R_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (a + θ (x - a)) (x - a)^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{array}

となり、有限個のベキ項と剰余 $R_{n + 1}$ の和の形になる。

関数 $f (x)$ をより良く近似しようとすると、剰余 $R_{n + 1}$ をより小さくする必要がある。

剰余 $R_{n}$ は $n$ の値を増やしていくと、数列 $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}, \dots$ を作る。もし、数列 ${R_{n}}$ が $0$ に収束する、すなわち

lim_{n \to \infty} {R_{n}} = 0

ならば、 $n$ を増やしてより多くの項で近似するほど、よりよい近似になる。

このとき、

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + f^{''} (a) \frac{(x - a)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (a) \frac{(x - a)^{n}}{n!} + \dots

と書く。最後の $\dots$ は無限に和が続くことを意味している。これを テイラー級数 （Taylor series）と呼ぶ。

テイラー級数

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + f^{''} (a) \frac{(x - a)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (a) \frac{(x - a)^{n}}{n!} + \dots

マクローリン級数

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} + \dots