練習問題メモ 6（正則行列）

練習問題メモ 6（正則行列）#

6.1#

次の問いに答えよ。

1.正則行列の定義を書け。

$n$ 次正方行列 $A$ に対し

A^{- 1} A = A A^{- 1} = I

を満たす正方行列 $A^{- 1}$ が存在する行列 $A$ を正則行列という

また、正則行列であるための必要十分条件は $\det (A) \neq 0$ である

2.次の(ア)、(イ)の正則行列の逆行列を求めよ。

$\begin{array}{r} (ア) (\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (イ) (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}) \end{array}$

2. (ア)#

解法1. 逆行列の定義から余因子行列を求めて解く

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

とおくと、

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \tilde{A}

（ $\tilde{A}$ は余因子行列）

なので、行列式と余因子行列を求めていく。

まず行列式は

\begin{array}{r} | A | = 1^{3} + a \cdot c \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot b - 1 \cdot c \cdot 0 - a \cdot 0 \cdot 1 - b \cdot 1 \cdot 0 \\ = 1 \end{array}

余因子行列は

\begin{array}{r} \begin{aligned} \tilde{A_{11}} & = (- 1)^{1 + 1} | A_{11} | = 1 \times 1 = 1 \\ \tilde{A_{12}} & = (- 1)^{1 + 2} | A_{12} | = - 1 \times 0 = 0 \\ \tilde{A_{13}} & = (- 1)^{1 + 3} | A_{13} | = 1 \times 0 = 0 \\ \tilde{A_{21}} & = (- 1)^{2 + 1} | A_{21} | = - 1 \times a = - a \\ \tilde{A_{22}} & = (- 1)^{2 + 2} | A_{22} | = 1 \times 1 = 1 \\ \tilde{A_{23}} & = (- 1)^{2 + 3} | A_{23} | = - 1 \times 0 = 0 \\ \tilde{A_{31}} & = (- 1)^{3 + 1} | A_{31} | = 1 \times (a c - b) = a c - b \\ \tilde{A_{32}} & = (- 1)^{3 + 2} | A_{32} | = - 1 \times c = - c \\ \tilde{A_{33}} & = (- 1)^{3 + 3} | A_{33} | = 1 \times 1 = 1 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} A^{- 1} = 1 \times \tilde{A} = (\begin{array}{c} 1 & - a & a c - b \\ 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} A^{- 1} A = (\begin{array}{c} 1 & - a & a c - b \\ 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & a - a & b - a c + (a c - b) \\ 0 & 1 & c - c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

解法2. 行基本変形で解く

\begin{array}{r} (ア | E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & a & b & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

の形にする。

3行目を $- b$ 倍して1行目に加える

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & - b \\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

3行目を $- c$ 倍して2行目に加える

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & - b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

2行目を $- a$ 倍して1行目に加える

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & - a & a c - b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}) = (E | ア^{- 1}) \end{array}

2. (イ)#

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}) \end{array}

とおく。

\begin{array}{r} | A | = 1^{3} + 1^{2} \times 2 + 1^{2} \times 2 - 1 \times 2^{2} - 1^{3} - 1^{3} \\ = 1 + 2 + 2 - 4 - 1 - 1 \\ = - 1 \end{array}

\begin{array}{r} \begin{matrix} {\tilde{A}}_{11} = (- 1)^{1 + 1} | A_{11} | = 1 \times (1^{2} - 2^{2}) = - 3 \\ {\tilde{A}}_{12} = (- 1)^{1 + 2} | A_{12} | = - 1 \times (1 - 2) = 1 \\ {\tilde{A}}_{13} = (- 1)^{1 + 3} | A_{13} | = 1 \times (2 - 1) = 1 \\ {\tilde{A}}_{21} = (- 1)^{2 + 1} | A_{21} | = - 1 \times (1 - 2) = 1 \\ {\tilde{A}}_{22} = (- 1)^{2 + 2} | A_{22} | = 1 \times (1 - 1) = 0 \\ {\tilde{A}}_{23} = (- 1)^{2 + 3} | A_{23} | = - 1 \times (2 - 1) = - 1 \\ {\tilde{A}}_{31} = (- 1)^{3 + 1} | A_{31} | = 1 \times (2 - 1) = 1 \\ {\tilde{A}}_{32} = (- 1)^{3 + 2} | A_{32} | = - 1 \times (2 - 1) = - 1 \\ {\tilde{A}}_{33} = (- 1)^{3 + 3} | A_{33} | = 1 \times (1 - 1) = 0 \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{r} \tilde{A} = (\begin{array}{c} - 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \tilde{A} = - \tilde{A} = (\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array}) \end{array}

array([[ 3., -1., -1.],
       [-1., -0.,  1.],
       [-1.,  1., -0.]], dtype=float16)

np.linalg.inv(A)

array([[ 3., -1., -1.],
       [-1.,  0.,  1.],
       [-1.,  1.,  0.]])

np.linalg.det(A[1:,1:])

-2.9999999999999996

6.2#

$n$ 次の正方行列 $A_{11}, A_{12}, A_{22}, X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}$ を用いて、 $2 n$ 次の正方行列 $A$ および $X$ を $ $A = (\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{array}), X = (\begin{array}{ll} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array})$ $

により定める。

積 $A X$ を計算せよ。

$A_{11}$ および $A_{22}$ がともに正則ならば、 $A$ は正則であることを示し、さらに $A$ の逆行列を求めよ。

積 $A X$ を計算せよ。

\begin{array}{r} A X = (\begin{array}{c} A_{11} X_{11} + A_{12} X_{21} & A_{11} X_{12} + A_{12} X_{22} \\ A_{22} X_{21} & A_{22} X_{22} \end{array}) \end{array}

$A_{11}$ および $A_{22}$ がともに正則ならば、 $A$ は正則であることを示し、 $A$ の逆行列を求めよ。

解法1 ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語の公式を参考にする場合

| A | = | A_{11} | \cdot | A_{22} - O A_{11}^{- 1} A_{12} | = | A_{11} | \cdot | A_{22} |

よって

| A_{11} | \neq 0 \land | A_{22} | \neq 0 ⟹ | A | \neq 0

なので、 $A_{11}$ および $A_{22}$ がともに正則ならば、 $A$ は正則。

逆行列は、ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語の公式を参考にすると

\begin{array}{r} A^{- 1} = (\begin{array}{c} A_{11}^{- 1} + A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} O A_{11}^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} \\ - A_{22}^{- 1} O A_{11}^{- 1} & A_{22}^{- 1} \end{array}) = (\begin{array}{c} A_{11}^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} \\ O & A_{22}^{- 1} \end{array}) \end{array}

解法2 素朴に解く場合

$A_{11}$ および $A_{22}$ がともに正則なので、それぞれの逆行列が存在するとする。

逆行列になるには

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} A_{11}^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} \\ O & A_{22}^{- 1} \end{array}) \end{array}

しかない

6.3#

次の問いに答えよ。

$A$ を $n$ 次の正方行列とする。自然数 $m$ に対して、 $ $(E_{n} - A) (E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1})$ $

を計算せよ。

べき零行列の定義を書け。

$A$ が $n$ 次のべき零行列ならば、 $E_{n} - A$ は正則であることを示せ。

$A$ を $n$ 次の正方行列とする。自然数 $m$ に対して、 $ $(E_{n} - A) (E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1})$ $

を計算せよ。

行列もスカラーと同様に分配法則があるので

\begin{array}{r} \begin{aligned} (E_{n} - A) (E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1}) & = E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1} - (A + A^{2} + \dots + A^{m}) \\ = E_{n} - A^{m} \end{aligned} \end{array}

べき零行列の定義を書け。

$n$ 次正方行列 $A$ について、

A^{k} = O

となる自然数 $k$ が存在する行列

$A$ が $n$ 次のべき零行列ならば、 $E_{n} - A$ は正則であることを示せ。

正則なら逆行列が存在するため、任意の $n$ 次正方行列 $X$ に対し

(E_{n} - A) X = E_{n}

が成り立つ。

$A^{m} = O$ とし、 $X = (E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1})$ とすると

\begin{array}{r} \begin{aligned} (E_{n} - A) (E_{n} + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1}) & = E_{n} - A^{m} \\ = E_{n} - O \\ = E_{n} \end{aligned} \end{array}

なので $E_{n} - A$ は正則

別の説明：https://mathlandscape.com/nilpotent-matrix/

| λ E_{n} - A | = λ^{n}

になるので（なんで？）、 $λ = 1$ なら

| E_{n} - A | = 1