練習問題メモ 6（正則行列）

6.1

次の問いに答えよ。

1.正則行列の定義を書け。

\(n\)次正方行列\(A\)に対し

\[ A^{-1}A = AA^{-1} = I \]

を満たす正方行列\(A^{-1}\)が存在する行列\(A\)を正則行列という

また、正則行列であるための必要十分条件は\(\operatorname{det}(A) \neq 0\)である

2.次の(ア)、(イ)の正則行列の逆行列を求めよ。

\[\begin{split} \text { (ア) }\left(\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text { (イ) }\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

2. (ア)

解法1. 逆行列の定義から余因子行列を求めて解く

\[\begin{split} A = \left(\begin{array}{lll} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

とおくと、

\[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} \]

（\(\tilde{A}\)は余因子行列）

なので、行列式と余因子行列を求めていく。

まず行列式は

\[\begin{split} |A| = 1^3 + a \cdot c \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot b - 1 \cdot c \cdot 0 - a \cdot 0 \cdot 1 - b \cdot 1 \cdot 0\\ = 1 \end{split}\]

余因子行列は

\[\begin{split} \begin{align} \tilde{A_{11}} &= (-1)^{1+1} |A_{11}| = 1 \times 1 = 1\\ \tilde{A_{12}} &= (-1)^{1+2} |A_{12}| = -1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{13}} &= (-1)^{1+3} |A_{13}| = 1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{21}} &= (-1)^{2+1} |A_{21}| = -1 \times a = -a\\ \tilde{A_{22}} &= (-1)^{2+2} |A_{22}| = 1 \times 1 = 1\\ \tilde{A_{23}} &= (-1)^{2+3} |A_{23}| = -1 \times 0 = 0\\ \tilde{A_{31}} &= (-1)^{3+1} |A_{31}| = 1 \times (ac-b) = ac-b\\ \tilde{A_{32}} &= (-1)^{3+2} |A_{32}| = -1 \times c = -c\\ \tilde{A_{33}} &= (-1)^{3+3} |A_{33}| = 1 \times 1 = 1\\ \end{align} \end{split}\]

\[\begin{split} A^{-1} = 1 \times \tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} A^{-1} A = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a - a & b - ac + (ac-b)\\ 0 & 1 & c - c\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{split}\]

解法2. 行基本変形で解く

\[\begin{split} (ア | E) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & b & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{split}\]

の形にする。

3行目を\(-b\)倍して1行目に加える

\[\begin{split} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{split}\]

3行目を\(-c\)倍して2行目に加える

\[\begin{split} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{split}\]

2行目を\(-a\)倍して1行目に加える

\[\begin{split} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = (E | ア^{-1}) \end{split}\]

2. (イ)

\[\begin{split} A = \left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

とおく。

\[\begin{split} |A| = 1^3 + 1^2 \times 2 + 1^2 \times 2 - 1 \times 2^2 - 1^3 - 1^3\\ = 1 + 2 + 2 - 4 - 1 - 1\\ = -1 \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{align} \tilde{A}_{11} = (-1)^{1+1} |A_{11}| = 1 \times (1^2 - 2^2) = -3\\ \tilde{A}_{12} = (-1)^{1+2} |A_{12}| = -1 \times (1 - 2) = 1\\ \tilde{A}_{13} = (-1)^{1+3} |A_{13}| = 1 \times (2 - 1) = 1\\ \tilde{A}_{21} = (-1)^{2+1} |A_{21}| = -1 \times (1 - 2) = 1\\ \tilde{A}_{22} = (-1)^{2+2} |A_{22}| = 1 \times (1 - 1) = 0\\ \tilde{A}_{23} = (-1)^{2+3} |A_{23}| = -1 \times (2 - 1) = -1\\ \tilde{A}_{31} = (-1)^{3+1} |A_{31}| = 1 \times (2 - 1) = 1\\ \tilde{A}_{32} = (-1)^{3+2} |A_{32}| = -1 \times (2 - 1) = -1\\ \tilde{A}_{33} = (-1)^{3+3} |A_{33}| = 1 \times (1 - 1) = 0\\ \end{align} \end{split}\]

\[\begin{split} \tilde{A} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} = - \tilde{A} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

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import numpy as np

A = np.array([
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 2],
    [1, 2, 1],
])

def cofactor(A, i, j):
    """余因子を計算する関数"""
    A_minor = np.delete(A, i, axis=0)
    A_minor = np.delete(A_minor, j, axis=1)
    return (-1)**(i + j) * np.linalg.det(A_minor)

def cofactor_matrix(A):
    C = np.zeros_like(A, dtype=np.float16)
    for i in range(A.shape[0]):
        for j in range(A.shape[1]):
            C[i, j] = cofactor(A, i=i, j=j)
    return C.T

-cofactor_matrix(A)

array([[ 3., -1., -1.],
       [-1., -0.,  1.],
       [-1.,  1., -0.]], dtype=float16)

np.linalg.inv(A)

array([[ 3., -1., -1.],
       [-1.,  0.,  1.],
       [-1.,  1.,  0.]])

np.linalg.det(A[1:,1:])

-2.9999999999999996

6.2

\(n\) 次の正方行列 \(A_{11}, A_{12}, A_{22}, X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}\) を用いて、 \(2 n\) 次の正方行列 \(A\) および \(X\) を $\( A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{ll} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array}\right) \)$

により定める。

1. 積 \(A X\) を計算せよ。

2. \(A_{11}\) および \(A_{22}\) がともに正則ならば、 \(A\) は正則であることを示し、さらに \(A\) の逆行列を求めよ。

1. 積 \(A X\) を計算せよ。

\[\begin{split} AX = \begin{pmatrix} A_{11} X_{11} + A_{12} X_{21} & A_{11} X_{12} + A_{12} X_{22}\\ A_{22} X_{21} & A_{22} X_{22} \end{pmatrix} \end{split}\]

2. \(A_{11}\) および \(A_{22}\) がともに正則ならば、 \(A\) は正則であることを示し、\(A\) の逆行列を求めよ。

解法1 ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語 の公式を参考にする場合

\[ |A| = |A_{11}| \cdot |A_{22} - O A_{11}^{-1} A_{12}| = |A_{11}| \cdot |A_{22}| \]

よって

\[ |A_{11}| \neq 0 \land |A_{22}| \neq 0 \implies |A| \neq 0 \]

なので、\(A_{11}\) および \(A_{22}\) がともに正則ならば、 \(A\) は正則。

逆行列は、ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語 の公式を参考にすると

\[\begin{split} A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} O A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ -A_{22}^{-1} O A_{11}^{-1} & A_{22}^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix} \end{split}\]

解法2 素朴に解く場合

\(A_{11}\) および \(A_{22}\) がともに正則なので、それぞれの逆行列が存在するとする。

逆行列になるには

\[\begin{split} \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}\\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix} \end{split}\]

しかない

6.3

次の問いに答えよ。

1. \(A\) を \(n\) 次の正方行列とする。自然数 \(m\) に対して、 $\( \left(E_n-A\right)\left(E_n + A+A^2+\cdots+A^{m-1}\right) \)$

を計算せよ。

2. べき零行列の定義を書け。

3. \(A\) が \(n\) 次のべき零行列ならば、 \(E_n-A\) は正則であることを示せ。

1. \(A\) を \(n\) 次の正方行列とする。自然数 \(m\) に対して、 $\( \left(E_n-A\right)\left(E_n+A+A^2+\cdots+A^{m-1}\right) \)$

を計算せよ。

行列もスカラーと同様に分配法則があるので

\[\begin{split} \begin{align} (E_n - A)(E_n+A+A^2+\cdots+A^{m-1}) &= E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1} - (A + A^2 + \cdots + A^{m})\\ &= E_n - A^{m} \end{align} \end{split}\]

2. べき零行列の定義を書け。

\(n\)次正方行列\(A\)について、

\[ A^k = O \]

となる自然数\(k\)が存在する行列

3. \(A\) が \(n\) 次のべき零行列ならば、 \(E_n-A\) は正則であることを示せ。

正則なら逆行列が存在するため、任意の\(n\)次正方行列\(X\)に対し

\[ (E_n - A) X = E_n \]

が成り立つ。

\(A^m = O\)とし、\(X=(E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1})\)とすると

\[\begin{split} \begin{align} (E_n - A)(E_n + A + A^2 + \cdots + A^{m-1}) &= E_n - A^m\\ &= E_n - O\\ &= E_n \end{align} \end{split}\]

なので\(E_n - A\)は正則

別の説明：https://mathlandscape.com/nilpotent-matrix/

\[ |\lambda E_n - A| = \lambda^n \]

になるので（なんで？）、\(\lambda=1\)なら

\[ |E_n - A| = 1 \]

なので\(E_n - A\)は正則

べき零行列の性質

1. べき零行列は正則ではない

   • \(AB=I\)の両辺を\(k\)乗したとき\(A^k B^k = I^k \to O B^k = I\)となり\(O=I\)は矛盾するため

   • \(A^k = O\)のとき\(|A^k| = |A|^k = 0 \to |A|=0\)

2. べき零行列は固有値がゼロ

   • \(A^k x = \lambda^k x\)、\(A^k = O \to \lambda^k=0 \to \lambda = 0\)

3. べき零行列のトレースは0

   • 固有値の和はトレースと一致する

   • トレースは対角成分の和 → べき零行列は対角成分が0

4. \(\lambda I - A(\lambda \neq 0)\)が正則

   • \(|\lambda I_n - A^k| = \lambda^n\)

   • \(|\lambda I_n - A^k| \neq 0 \operatorname{if} \lambda \neq 0\)

（参考：https://mathlandscape.com/nilpotent-matrix/ ）

参考

• ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明 | 高校数学の美しい物語

• べき零行列の定義・例・性質7つとその証明 | 数学の景色

• べきゼロ行列とは：例、指数行列、性質 | 趣味の大学数学