練習問題メモ 02

練習問題メモ 02#

和達三樹. (2019). 微分積分. 第3章練習問題

[4] 次の関数の $n$ 次導関数を求めよ#

(1) $y = \frac{1}{x}$

$y = x^{- 1}$ なので

$n = 1$ のとき、 $f^{'} (x) = - 1 \cdot x^{- 2}$

$n = 2$ のとき、 $f^{″} (x) = - 1 \cdot (- 2) \cdot x^{- 3}$

$n = 3$ のとき、 $f^{(3)} (x) = - 1 \cdot (- 2) \cdot (- 3) x^{- 4}$

$n = 4$ のとき、 $f^{(4)} (x) = - 1 \cdot (- 2) \cdot (- 3) \cdot (- 4) x^{- 5}$

よって一般に

f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} n! x^{- (n + 1)}

(2) $y = a^{x} (a > 0)$

f^{(n)} (x) = \frac{d^{n}}{d x} a^{x} = a^{x} (\log a)^{n}

(3) $y = x^{2} e^{x}$

ライプニッツの公式

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)}

を使って

\begin{array}{r} \begin{aligned} (x^{2} e^{x})^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (x^{2})^{(k)} (e^{x})^{(n - k)} \\ =_{n} C_{0} (x^{2})^{(0)} (e^{x})^{(n - 0)} \\ +_{n} C_{1} (x^{2})^{(1)} (e^{x})^{(n - 1)} \\ +_{n} C_{2} (x^{2})^{(2)} (e^{x})^{(n - 2)} \\ +_{n} C_{3} (x^{3})^{(3)} (e^{x})^{(n - 3)} \\ + \dots \\ = \frac{n!}{0! (n - 0)!} x^{2} e^{x} \\ + \frac{n!}{1! (n - 1)!} 2 x e^{x} \\ + \frac{n!}{2! (n - 2)!} 2 e^{x} \\ (∵ x^{2} の 3階以上の微分は定数の微分になりゼロのため、以降の項は消える) \\ = \frac{n}{n} x^{2} e^{x} \\ + \frac{n}{1} 2 x e^{x} \\ + \frac{n (n - 1)}{2} 2 e^{x} \\ = x^{2} e^{x} + 2 n x e^{x} + n (n - 1) e^{x} \\ = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)} \end{aligned} \end{array}

[5]#

[5] 助変数表示の微分 $x$ と $y$ が 1 つの変数 $t$ の関数として $x = f (t), y = g (t)$ の形で与えられているとする. このとき, $y$ は $x$ の関数, または $x$ は $y$ の関数と考えてよく, $t$ を助変数(パラメータ)または媒介変数という. 逆関数の微分法を利用すれば,

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \frac{d t}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{g^{'} (t)}{f^{'} (t)}

によって, 導関数を計算できる. これを用いて, 次の関数について, $d y / d x$ を求めよ.

(1) $x = a \cos t, y = b \sin t$

\begin{array}{r} \frac{d y}{d t} = b \cos t \\ \frac{d x}{d t} = - a \sin t \end{array}

なので

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = - \frac{b \cos t}{a \sin t} = - \frac{b}{a} \cot t

(2) $x = \frac{3 a t}{1 + t^{3}}, y = \frac{3 a t^{2}}{1 + t^{3}}$

\begin{array}{r} \frac{d y}{d t} = \frac{(3 a t^{2})^{'} (1 + t^{3}) - (3 a t^{2}) (1 + t^{3})^{'}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{6 a t (1 + t^{3}) - 3 a t^{2} \cdot 3 t^{2}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{6 a t + 6 a t^{4} - 9 a t^{4}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{6 a t - 3 a t^{4}}{(1 + t^{3})^{2}} \end{array}

\begin{array}{r} \frac{d x}{d t} = \frac{(3 a t)^{'} (1 + t^{3}) - 3 a t (1 + t^{3})^{'}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{3 a (1 + t^{3}) - 3 a t \cdot 3 t^{2}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{3 a + 3 a t^{3} - 9 a t^{3}}{(1 + t^{3})^{2}} \\ = \frac{3 a - 6 a t^{3}}{(1 + t^{3})^{2}} \end{array}

なので

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{\frac{6 a t - 3 a t^{4}}{(1 + t^{3})^{2}}}{\frac{3 a - 6 a t^{3}}{(1 + t^{3})^{2}}} \\ = \frac{6 a t - 3 a t^{4}}{(1 + t^{3})^{2}} \frac{(1 + t^{3})^{2}}{3 a - 6 a t^{3}} \\ = \frac{6 a t - 3 a t^{4}}{3 a - 6 a t^{3}} \\ = \frac{1 / 3}{1 / 3} \frac{6 a t - 3 a t^{4}}{3 a - 6 a t^{3}} \\ = \frac{2 a t - a t^{4}}{a - 2 a t^{3}} \\ = \frac{a (2 t - t^{4})}{a (1 - 2 t^{3})} \\ = \frac{2 t - t^{4}}{1 - 2 t^{3}} \\ = \frac{t (2 - t^{3})}{1 - 2 t^{3}} \end{array}

[6]#

[6] 双曲線関数

\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, \cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

に対して，次のことを示せ.

(1) $\frac{d}{d x} \sinh x = \cosh x$

(2) $\frac{d}{d x} \cosh x = \sinh x$

(3) $\frac{d}{d x} \tanh x = \frac{1}{\cosh^{2} x}$

(1) $\frac{d}{d x} \sinh x = \cosh x$

合成関数と捉えれば $(e^{- 1 \cdot x})^{'} = - e^{- x}$ なので

\frac{d}{d x} \sinh x = \frac{d}{d x} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cosh x

(2) $\frac{d}{d x} \cosh x = \sinh x$

合成関数と捉えれば $(e^{- 1 \cdot x})^{'} = - e^{- x}$ なので

\frac{d}{d x} \cosh x = \frac{d}{d x} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \sinh x

(3) $\frac{d}{d x} \tanh x = \frac{1}{\cosh^{2} x}$

\begin{array}{r} {(\frac{\sinh x}{\cosh x})}^{'} = \frac{(\sinh x)^{'} \cosh x - \sinh x (\cosh x)^{'}}{\cosh^{2} x} \\ = \frac{\cosh^{2} x - \sinh^{2} x}{\cosh^{2} x} \\ = \frac{1}{\cosh^{2} x} \end{array}

\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1

\begin{array}{r} \begin{aligned} \cosh^{2} x - \sinh^{2} x & = (\cosh x + \sinh x) (\cosh x - \sinh x) \\ = (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) \\ = \frac{e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}}{2} \frac{e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x}}{2} \\ = \frac{2 e^{x}}{2} \frac{2 e^{- x}}{2} \\ = e^{x} e^{- x} \\ = e^{x - x} \\ = 1 \end{aligned} \end{array}

[7]#

[7] 次の関数の極値を求め, そのグラフの概形をかけ.

(1) $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4$

(2) $f (x) = x e^{x}$

(3) $f (x) = \frac{x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 3}}$

(1) $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4$ #

極値

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 4 = 0

となる $x$ を求める。

まず、因数 $(x - a)$ の $a$ を探索する。

因数定理より、 $f (a) = 0$ となる $a$ があれば $(x - a)$ が因数になる。

$a = 1$ とすると $f^{'} (1) = 4 + 6 - 6 - 4 = 0$ なので $(x - 1)$ が因数のひとつであることがわかった。

次に、組立除法で $(4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 4) / (x - 1)$ を求める

\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 4 & 6 & - 6 & - 4 \\ 4 & 10 & 4 \\ 4 & 10 & 4 & 0 \end{array} \end{array}

より商の $4 x^{2} + 10 x + 4$ と余り $0$ が得られるので

f^{'} (x) = (x - 1) (4 x^{2} + 10 x + 4)

$4 x^{2} + 10 x + 4$ は、たすきがけ法などで解くと $(4 x + 2) (x + 2)$ なので

f^{'} (x) = (x - 1) (4 x + 2) (x + 2)

より、 $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ は $- 2, - 1 / 2, 1$

極値のひとつは

\begin{array}{r} f (- 2) = (- 2)^{4} + 2 (- 2)^{3} - 3 (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 4 \\ = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 \\ = 0 \end{array}

グラフ

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (- 3) & = (- 3)^{4} + 2 (- 3)^{3} - 3 (- 3)^{2} - 4 (- 3) + 4 \\ = 81 - 54 - 27 + 12 + 4 \\ = 16 \\ f (- 2) & = (- 2)^{4} + 2 (- 2)^{3} - 3 (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 4 \\ = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 \\ = 0 \\ f (- 1) & = 1 - 2 - 3 + 4 + 4 \\ = 4 \\ f (- 1 / 2) & = (- 1 / 2)^{4} + 2 (- 1 / 2)^{3} - 3 (- 1 / 2)^{2} - 4 (- 1 / 2) + 4 \\ = \frac{1}{16} - 2 \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2} + 4 \\ = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 + 4 \\ = \frac{1}{16} + 5 \\ f (0) & = 4 \\ f (1) & = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 \\ = 0 \end{aligned} \end{array}

../../../_images/01dad2ea7bf42cbe6ccb33f6dd29a5847c862ea11c85dd406cfa945dd52ba35c.png

../../../_images/3c16545255e640027b3db47153d5710f051d7c3ce3edec313be8bdc967321bd7.png

(2) $f (x) = x e^{x}$ #

極値

\begin{array}{r} f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x e^{x} = x e^{x} + e^{x} = 0 \\ \to x = \frac{- e^{x}}{e^{x}} = - 1 \end{array}

$f^{'} (x) = 0$ となる $x$ は $- 1$

極値は

f (- 1) = - 1 e^{- 1} = - \frac{1}{e} \approx - \frac{1}{2.718} \approx - 0.368

グラフ

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (- 2) & = - 2 e^{- 2} = - \frac{2}{e^{2}} \approx - 0.27 \\ f (- 1) & = - e^{- 1} = - \frac{1}{e} \approx - 0.37 \\ f (0) & = 0 \\ f (1) & = e^{1} = e \approx 2.72 \end{aligned} \end{array}

- 2 / np.exp(2)

-0.2706705664732254

- 1 / np.exp(1)

-0.36787944117144233

../../../_images/5773161a616b8b61d911b5d5d63dd7b00c4cdf71941d38cd4c954eb7659a3c33.png

(3) $f (x) = \frac{x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 3}}$ #

f (x) = (x + 4) (x^{2} + 2 x + 3)^{- 1 / 2}

なので、

\begin{array}{r} \begin{aligned} f^{'} (x) & = (x + 4)^{'} (x^{2} + 2 x + 3)^{- 1 / 2} + (x + 4) ((x^{2} + 2 x + 3)^{- 1 / 2})^{'} \\ = (x^{2} + 2 x + 3)^{- 1 / 2} - \frac{1}{2} (x + 4) (x^{2} + 2 x + 3)^{- 3 / 2} \end{aligned} \end{array}

となり、

\begin{array}{r} (x^{2} + 2 x + 3)^{- 3 / 2} = [(x + 1) + 2]^{- 3 / 2} > 0 \\ (∵ [(x + 1) + 2] は x が な ん で あ れ + 2 部 分 に よ り > 0 の た め) \end{array}

のため、

わからなかった

略解だと $x = - 1 / 3$

from sympy import symbols, factor
x = symbols("x")
y = (x**2 + 2*x + 3)**(-1/2) - (1/2) * (x+4) * (x**2 + 2*x + 3)**(-3/2)
factor(y)

- 2.0 (\frac{0.25 x}{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{1.5}} + \frac{1.0}{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{1.5}} - \frac{0.5}{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{0.5}})

../../../_images/19bf0f45cd1eefc82bdde6492c979cf9796c64a1e86d51e771317f203824af3c.png

練習問題メモ 02

Contents

練習問題メモ 02#

[4] 次の関数のn次導関数を求めよ#