母関数#
確率母関数、積率母関数、特性関数は、確率分布を特徴づける関数で、1つの確率分布に対して1つ対応する。そのため、もとの確率分布を調べることはその母関数を調べることと等しくなり、統計学において便利な道具となっている。中心極限定理の証明などに用いられる。
確率母関数#
確率変数
定義:確率母関数
を確率母関数(probability generating function)という。
となるため、
について
確率母関数は
であるので、微分すると
のようになる。ここで
となるため、
積率母関数#
積率母関数(moment generating function)
特性関数#
確率母関数
特性関数(characteristic function)