scipy.linalg.inv#

• docs: scipy.linalg.inv — SciPy v1.12.0 Manual

• source: source

scipyのinvはGETRF、GETRI

# scipyのinv
import numpy as np
from scipy import linalg
A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])
linalg.inv(A)

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

numpy.linalg.inv#

• docs: numpy.linalg.inv — NumPy v1.26 Manual

• source:

  • numpy/numpy/linalg/linalg.py

  • numpy/numpy/linalg/umath_linalg.cpp

    • gesv関数を呼び出している

import numpy as np
np.linalg.inv(A)

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

xGESV#

• scipy.linalg.lapack.dgesv — SciPy v1.12.0 Manual

• LAPACK: dgesv

DGESV computes the solution to a real system of linear equations

A * X = B,

where A is an N-by-N matrix and X and B are N-by-NRHS matrices.

The LU decomposition with partial pivoting and row interchanges is used to factor A as

A = P * L * U,

where P is a permutation matrix, L is unit lower triangular, and U is upper triangular. The factored form of A is then used to solve the system of equations A * X = B.

from scipy.linalg.lapack import dgesv

# AX = I としてX=A^{-1}を推定する
I = np.eye(A.shape[0])

lu, piv, x, info = dgesv(A, I)

x

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

xGETRF#

LU分解をする関数。

scipy.linalg.lapack.dgetrf — SciPy v1.12.0 Manual

docs: LAPACK: dgetrf

DGETRF computes an LU factorization of a general M-by-N matrix A using partial pivoting with row interchanges. The factorization has the form

A = P * L * U

where P is a permutation matrix, L is lower triangular with unit diagonal elements (lower trapezoidal if m > n), and U is upper triangular (upper trapezoidal if m < n).

from scipy.linalg.lapack import dgetrf

lu, piv, info = dgetrf(A)

lu

array([[3.        , 4.        ],
       [0.33333333, 0.66666667]])

piv

array([1, 1], dtype=int32)

xGETRI#

LU分解の結果から逆行列を取得する関数

scipy.linalg.lapack.dgetri — SciPy v1.12.0 Manual

cpp docs: LAPACK: dgetri

DGETRI computes the inverse of a matrix using the LU factorization computed by DGETRF.

This method inverts U and then computes inv(A) by solving the system inv(A)*L = inv(U) for inv(A).

from scipy.linalg.lapack import dgetri

inv_a, info = dgetri(lu, piv)
inv_a

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

行列式を使う場合#

$A$を$n$次の正方行列とする。逆行列

は、行列式の計算で$O(n^3)$、

行列式の計算量

行列式は

で、$S_n$が$n!$あり、各項で$n$回$a_{n\sigma (n)}$を掛けるので$O(n\times n!)$

「行列Aのi行から、j行の定数倍を引いても、行列式の値は変わらない。」という性質を使って上三角行列に変形してから行列式を計算する。三角行列への変換は$O(n^3)$、上三角行列の行列式は対角成分の積なので$O(n)$なので、全体で$O(n^3)$になる

（参考：Tech Tips: 行列式の計算）

余因子行列の計算量

$(i,j)$余因子は「『$i$行目と$j$列目を除いた行列』の行列式に$(-1{)}^{i+j}$をかけたもの」なので、$n-1$次行列の行列式を求める計算になり、$O([n-1{]}^3)$

余因子行列は「$(i,j)$余因子を$i,j$成分に持つ行列を転置したもの」なので、$(i,j)$余因子を$n\times n$個計算する必要がある→$O(n^2\times [n-1{]}^3)$か？

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

np.linalg.det(A)

-2.0000000000000004

A[1, :] += (-3) * A[0, :] 
A

array([[ 1,  2],
       [ 0, -2]])

• 数値解析第12回逆行列と計算量

• 安易に逆行列を数値計算するのはやめよう