微分法

微分法#

微分係数と導関数#

微分係数#

関数 $y = f (x)$ が連続な区間において、 $x$ の変動量 $(a + h) - a = h$ と $y$ の変動量 $f (a + h) - f (a)$ の比（変化率）の極限

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

が存在するとき、 $f (x)$ は $x = a$ で 微分可能 といい、 $f^{'} (a)$ を 微分係数 （differential coefficient）という。

例： $f (x) = x^{2}$ の微分係数 $f^{'} (a)$

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{(a + h)^{2} - a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2 a h + h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} (2 a + h) = 2 a

導関数#

微分係数 $f^{'} (a)$ において、 $a$ は定義域内の任意の点とみなして $x$ で表すと

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f^{'} (x)$ は $x$ の関数でもあり、 $f (x)$ の 導関数 （derived function, derivative）と呼ばれる。

微分係数は接線の傾き#

微分係数 $f^{'} (x)$ は点 $x$ における曲線 $f (x)$ の接線の傾きである。

曲線 $y = f (x)$ 上の座標 $(x, y)$ に点 $P$ をとり、その近くの同曲線上の $(x + Δ x, y + Δ y)$ に点 $Q$ をとる。 $Q$ から $x$ 軸への垂線と $P$ を通って $x$ 軸に平行な線との交点を $R$ とする。このとき、 $PR = Δ x, PR = Δ y$ である。

$∠ QPR = θ$ とおくと

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{QR}{PR} = \tan θ

../../../_images/650fa41dba1d976c18580652f1469b89613cc0e3f1a1de04de8ac47a95c6866f.png

点Qを曲線に沿って点Pに近づけると、 $Δ x$ は0に近づく。そして $Δ x \to 0$ のとき、曲線QPは一定の直線PTに限りなく近づく。この極限における直線PTを、曲線 $f (x)$ の点Pにおける接線（tangent）という。曲線 $f (x)$ の接線の傾きを $\tan α$ と表すと、

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \tan α

すなわち、微分係数 $f^{'} (x)$ は点 $x$ における曲線 $f (x)$ の接線の傾きである。

例

$y = f (x) = x^{2}$ だとすると $f^{'} (x) = 2 x$

たとえば $Δ x = 0.1$ とすると

$x = 1$ の点で

\begin{array}{r} f (x) = 1^{2} = 1 \\ f (x + Δ x) = {1.1}^{2} = 1.21 \\ \to Δ y = 0.21 \end{array}

なので

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0.21}{0.10} \approx 2

$x = 2$ の点では

\begin{array}{r} f (x) = 2^{2} = 4 \\ f (x + Δ x) = {2.1}^{2} = 4.41 \\ \to Δ y = 0.41 \to \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0.41}{0.10} \approx 4 \end{array}

となっており、 $f^{'} (x) = 2 x$ になっていることが確認できる

../../../_images/10b1743fe7b66fd2c3a8272354bad36fefbb421f43d1b3f5f5d3e83d53fcd631.png

微分法の公式#

和と定数倍

微分可能な関数 $f (x), g (x)$ について

\begin{array}{r} \begin{aligned} (f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'} \\ (k f)^{'} = k f^{'} (k : 定数) \end{aligned} \end{array}

積の微分

{f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

商の微分

{\frac{1}{f (x)}}^{'} = - \frac{f^{'} (x)}{[f (x)]^{2}}, (f (x) \neq 0)

商の微分2

{\frac{f (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}, (g (x) \neq 0)

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = (1 / x) * x**2

sp.diff(f, x)

1

合成関数の微分

$y = f (z), z = g (x)$ のとき、合成関数 $y = f (g (x))$ の導関数は

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d z} \frac{d z}{d x} = f^{'} (z) \frac{d z}{d x} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

逆関数の微分

微分可能な1価単調連続関数 $y = f (x)$ について、逆関数を $x = f^{- 1} (y)$ とすれば

\frac{d x}{d y} = 1 / \frac{d y}{d x} (\frac{d y}{d x} \neq 0 のとき)

対数の微分

(\log | x |)^{'} = \frac{1}{x} (x \neq 0)

指数関数の微分

(e^{x})^{'} = e^{x}

例： $y = e^{a x}$

方法1: $u = a x$ とおいて合成関数として

\frac{d e^{u}}{d u} \frac{d a x}{d x} = e^{a x} a = a e^{a x}

方法2: $\log y = a x \to x = \log y / a$ を利用して

\begin{array}{r} \frac{d x}{d y} = \frac{d (\log y / a)}{d y} = \frac{a (1 / y) - \log y \cdot 0}{a^{2}} = \frac{1 / y}{a} \end{array}

よって

\frac{d}{d x} e^{a x} = 1 / \frac{d x}{d y} = \frac{a}{1 / y} = a y = a e^{a x}

例： $y = a^{x}$

まず、自然対数 $\log = \log_{e}$ で対数をとると、任意の底 $a$ に対して $\log_{a} x^{y} = y \log_{a} x$ という性質から

\log y = \log a^{x} = x \log a

\to x = \frac{\log y}{\log a}

\begin{array}{r} \frac{d x}{d y} = {(\frac{1}{\log a} \log y)}^{'} \\ = \frac{1}{\log a} \frac{1}{y} \\ = \frac{1}{y \log a} \end{array}

逆関数の微分で

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} = 1 / \frac{d x}{d y} = y \log a \\ = a^{x} \log a \end{array}

n乗の微分

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

三角関数の微分#

sin x

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} \sin x = \cos x \end{array}

cos x

\frac{d}{d x} \cos x = - \sin x

tan x

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \tan x & = \frac{1}{\cos^{2} x} \end{aligned}

arcsin x

\frac{d}{d x} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

arccos x

\frac{d}{d x} \arccos x = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

arctan x

\frac{d}{d x} \arctan x = \frac{1}{1 + x^{2}}

連続と微分可能#

関数が $x = a$ で不連続なら、微分係数は存在しない
微分可能なら連続である
- ただし、逆は必ずしも成立しない。連続であっても微分可能とは限らない

ライプニッツの公式#

積の微分公式を一般化したもの。

ライプニッツの公式（Leibniz rule）

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)}

$n = 1$ のとき、積の微分公式と一致する。

\begin{array}{r} (f g)^{'} = \sum_{k = 0}^{1}_{1} C_{k} f^{(k)} g^{(1 - k)} \\ = f g^{'} + f^{'} g \end{array}

例：

(x^{2} e^{2})^{(n)}

例：連続だが微分不可能な関数

$f (x) = | x |$ は $x = 0$ で連続（ $lim_{x \to 0} | x | = 0 = | 0 |$ ）だが、微分可能ではない。

右微分係数と左微分係数は

\begin{array}{r} \begin{aligned} f^{'} (+ 0) = lim_{h \to + 0} \frac{| h + 0 | - | 0 |}{h} = lim_{h \to + 0} \frac{h}{h} = 1 \\ f^{'} (- 0) = lim_{h \to - 0} \frac{| h + 0 | - | 0 |}{h} = lim_{h \to - 0} \frac{- h}{h} = - 1 \end{aligned} \end{array}

であり、確定した微分係数 $f^{'} (0)$ は存在しない。そのため、 $f (x) = | x |$ は $x = 0$ で微分可能ではない

../../../_images/95b1cfe1bc1d94d54815f19f7d7857855ef786ca9d45fb8c82226c4d3a46333f.png

対数微分法#

式の両辺の対数をとって微分する方法

$y = a^{x}$ の微分をしたいとする。両辺の対数をとって $\log y = x \log a$ とする。

両辺を $x$ で微分すると

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \log a

よって

\frac{d y}{d x} = y \log a = a^{x} \log a

高次導関数#

導関数 $f^{'} (x)$ が微分可能であれば、その導関数

f^{''} (x) = {f^{'} (x)}^{'} = lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h}

を考えることができて、これを元の関数 $f (x)$ の 2次導関数 （ 2階導関数 ）という。また、このとき $y = f (x)$ は 2回微分可能 であるという。

一般に $y = f (x)$ を $n$ 回微分できるとき、得られる関数を $f (x)$ の $n$ 次導関数 （または $n$ 階導関数 ）といい、

y^{(n)} (x), f^{(n)} (x), \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)

などで表す。このとき、 $f (x)$ は $n$ 回微分可能 であるという。

例：

y = x^{a}

（

a

は自然数でない定数）

\begin{array}{r} \begin{aligned} y^{'} & = a x^{a - 1} \\ y^{″} & = a (a - 1) x^{a - 2} \\ ⋮ \\ y^{(n)} & = a (a - 1) \dots (a - n + 1) x^{a - n} \end{aligned} \end{array}

例

\sin (x)

$y = \sin x$ の $n$ 次導関数は $y^{(n)} = \sin (x + \frac{n}{2} π)$ である。

証明：

$n = 1$ では $y^{'} = \cos x = \sin (x + π / 2)$ で成り立つ。

$n = k$ まで成り立っているとする。 $k$ 次導関数

y^{(k)} = \sin (x + \frac{k}{2} π)

を微分すると

y^{(k + 1)} = \sin (x + \frac{k + 1}{2} π)

よって数学的帰納法により、すべての $n$ で成り立つ。

例（グラフ）#

../../../_images/ac8bf45c093c7525fa08554b75ca25cc0e712e422d7d36bd5c650e25c8e89d3e.png

../../../_images/915d5c685fa8ee75d617bebe4bb824e19f113006d4fa3e846829022fcd0b571b.png

memo: 数値微分はapprox_fprimeよりnumpdifftoolsの方が良い様子#

scipyのapprox_fprimeを再帰的に適用することで無理やり2階微分をするとギザギザした導関数になる

../../../_images/aacfec1e265299e0c1b47f8ca05bba4c95f08ae09e58c1a011c59023a0da436b.png

微分#

微分（differential）は導関数とはまた別に定義される

関数 $y = f (x)$ に対して、 $x$ の微分 $d x$ と $y$ の微分 $d y$ は、それぞれ

\begin{array}{r} \begin{aligned} d x & = Δ x \\ d y & = f^{'} (x) d x \end{aligned} \end{array}

と定義される。

$d y$ は $d x$ に伴う $y$ の変化 $Δ y$ を近似的に表すものとして理工学で用いられる（あくまで近似であり、一般には $d y$ と $Δ y$ は一致しない）

ライプニッツの公式#

積の微分公式を一般化したもの。

ライプニッツの公式（Leibniz rule）

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)}

$n = 1$ のとき、積の微分公式と一致する。

\begin{array}{r} (f g)^{'} = \sum_{k = 0}^{1}_{1} C_{k} f^{(k)} g^{(1 - k)} \\ = f g^{'} + f^{'} g \end{array}

例：

(x^{2} e^{x})^{(n)}

$x^{2} e^{x}$ の $n$ 次導関数 $(x^{2} e^{x})^{(n)}$ は

\begin{array}{r} \begin{aligned} (x^{2} e^{x})^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (x^{2})^{(k)} (e^{x})^{(n - k)} \\ =_{n} C_{0} (x^{2})^{(0)} (e^{x})^{(n - 0)} \\ +_{n} C_{1} (x^{2})^{(1)} (e^{x})^{(n - 1)} \\ +_{n} C_{2} (x^{2})^{(2)} (e^{x})^{(n - 2)} \\ +_{n} C_{3} (x^{3})^{(3)} (e^{x})^{(n - 3)} \\ + \dots \\ = \frac{n!}{0! (n - 0)!} x^{2} e^{x} \\ + \frac{n!}{1! (n - 1)!} 2 x e^{x} \\ + \frac{n!}{2! (n - 2)!} 2 e^{x} \\ (∵ x^{2} の 3階以上の微分は定数の微分になりゼロのため、以降の項は消える) \\ = \frac{n}{n} x^{2} e^{x} \\ + \frac{n}{1} 2 x e^{x} \\ + \frac{n (n - 1)}{2} 2 e^{x} \\ = x^{2} e^{x} + 2 n x e^{x} + n (n - 1) e^{x} \\ = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)} \end{aligned} \end{array}

微分法

Contents

微分法#

微分係数と導関数#

微分係数#

導関数#

微分係数は接線の傾き#

微分法の公式#

三角関数の微分#

連続と微分可能#

ライプニッツの公式#

対数微分法#

高次導関数#

例（グラフ）#

memo: 数値微分はapprox_fprimeよりnumpdifftoolsの方が良い様子#

微分#

ライプニッツの公式#