練習問題メモ 13（ベクトル空間）

問1

次の問いに答えよ。

1. ベクトル空間の部分空間の定義を書け

ベクトル空間\(V\)の空でない部分集合\(W\)が\(V\)における和とスカラー倍の演算でベクトル空間になるとき、\(W\)を\(V\)の部分空間という

2. \(W\) をべクトル空間 \(V\) の部分集合とする。 \(W\) が \(V\) の部分空間であることと同値な 3 つの条件を書け。

1. \(W\)が空ではない：\(W \neq \emptyset\)（\(\Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W\)）

2. 元の和が元：\(a, b \in W \implies a + b \in W\)

3. 元の定数倍が元：\(a\in W, \lambda \in R \implies \lambda a \in W\)

\(W \neq \emptyset \Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W\)

Wが部分空間である条件に0∈Wがありますが、どうして0ベクトルを含ん… - Yahoo!知恵袋

1. \(W \neq \emptyset \implies \exists \boldsymbol{a} \in W\)。スカラー\(c = 0\)について\(ca = \boldsymbol{0} \in W\)

2. \(\boldsymbol{0} \in W \implies W \neq \emptyset\)

3. \(\mathbb{R}^2\) の部分集合 \(W\) を次の（ア）、(イ）のように定める。 \(W\) は \(\mathbb{R}^2\) の部分空間 ではないことを示せ。

\[\begin{split} (ア) \quad W=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 \right\rvert\, x_1+2 x_2=3\right\} \\ (イ) \quad W=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 \right\rvert\, \begin{array}{l|l}x_1 \geq 0\end{array}\right\} \end{split}\]

（ア）

\(\mathbb{R}\)は0を含むので、\(x_1 = x_2 = 0\)の場合を考えると

\[ x_1 + 2x_2 = 0 \neq 3 \]

なので\(x_1 + 2x_2 = 0 \notin W\)

よって\(W\)は\(R^2\)の部分空間ではない

（イ）

ダメな例

負の定数\(c\)で定数倍にしたとき\(c (x_1 x_2)^T \notin W\)のため

↑は\(x_1 = 0\)のとき\(c x_1 = 0\)になって\(\in W\)になるのでだめ

\[\begin{split} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \end{split}\]

に\(c = -1\)を乗じた場合

\[\begin{split} c \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

は\(x_1 = -1\)となるため\(\boldsymbol{x} \notin W\)

よって\(W\)は\(R^2\)の部分空間ではない

Note

「部分空間でないことを示せ」は3条件のうち1つでも反例を見つければOK

問2

\(W_1, W_2\) をべクトル空間 \(V\) の部分空間とする。

1. \(V\) の部分集合

\[ W_1 \cap W_2=\left\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in W_1 \text { かつ } \boldsymbol{x} \in W_2\right\} \]

は \(V\) の部分空間であることを示せ。

\(W_1 \cap W_2 \neq \emptyset\)は証明しようがない気がする

1. \(0 \in W_1, 0 \in W_2\)のため、\(0 \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ

2. \(x, y \in W_i \implies x + y \in W_i \quad (i = 1, 2)\)のため、\(x, y\in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ

3. \(c \in \mathbb{R}\)について、\(x \in W_i \implies cx \in W_i \quad (i = 1, 2)\)のため、\(x \in W_1 \cap W_2 \implies cx \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ

2. \(V\) の部分集合 \(W_1+W_2\) を

\[ W_1+W_2=\left\{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x} \in W_1, \boldsymbol{y} \in W_2\right\} \]

により定めると、 \(W_1+W_2\) は \(V\) の部分空間であることを示せ。この \(W_1+W_2\) を \(W_1\) と \(W_2\) の和空間という。

• \(W_1 \neq \emptyset \land W_2 \neq \emptyset \implies W_1 + W_2 \neq \emptyset\)

1. \(0 \in W_1 \land 0 \in W_2\)のため、\(0 \in W_1 + W_2\)が成り立つ

2. \((x, y \in W_i \implies x + y \in W_i) \ \forall i (i = 1, 2)\)のため、\(x, y \in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 + W_2\)が成り立つ

3. \(c \in \mathbb{R}\)について、\((x \in W_i \implies cx \in W_i) \forall i (i = 1, 2)\)のため、\(x \in W_1 + W_2 \implies cx \in W_1 + W_2\)

問3

\(n\) 次以下の実数係数の \(t\) に関する多項式全体の集合 \(\mathbb{R}[t]_n\) は \(\mathbb{R}[t]\) の部分空間であることを示せ。

(1) \(0 \in \mathbb{R}\)であり\(t=0\)となる\(t\)が存在するため、\(0 \in \mathbb{R}[t]_n\)

(2) \(\mathbb{A}[t]_n, \mathbb{B}[t]_n \in \mathbb{R}[t]_n\)について、

\[\begin{split} \mathbb{A}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i t^i \ \Bigg| \ a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} \right\}\\ \mathbb{B}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i t^i \ \Bigg| \ b_0, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R} \right\} \end{split}\]

とすると

\[ \mathbb{A}[t]_n + \mathbb{B}[t]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n (a_i + b_i) t^i \ \Bigg| \ a_0, \dots, a_n, b_0, \dots, b_n \in \mathbb{R} \right\} \]

であり、\(a_i + b_i \in \mathbb{R}\)であるため、和について閉じている

(3) 多項式\(\mathbb{R}[t]_n\)のスカラー\(c \in \mathbb{R}\)倍は

\[ \mathbb{R}[ct]_n = \left\{ \sum_{i=0}^n c a_i t^i \ \Bigg| \ a_0, \dots, a_n \in \mathbb{R} \right\} \]

であり、\(c a_i \in \mathbb{R} \forall i\)であるため\(\mathbb{R}[ct]_n \in \mathbb{R}[t]_n\)となり、スカラー倍についても閉じている

よって\(\mathbb{R}[t]_n\)は\(\mathbb{R}[t]\)の部分空間である

問4

\(A \in M_{k, l}(\mathbb{R}), B \in M_{m, n}(\mathbb{R}), C \in M_{k, n}(\mathbb{R})\) を固定しておき、 \(M_{l, m}(\mathbb{R})\) の部分集合 \(W\) を

\[ W=\left\{X \in M_{l, m}(\mathbb{R}) \mid A X B=C\right\} \]

により定める。 \(W\) が \(M_{l, m}(\mathbb{R})\) の部分空間になるのはどのようなときか。

\(M_{k, l}(\mathbb{R})\)は実数の行列の集合。\(\mathbb{R}^{k\times l}\)と同じ

\(W\)が部分空間であるためには\(O \in W\)である必要がある。\(O\in W\)の場合は\(X=O\)であり、\(AOB=C\)のため\(C=O\)である必要がある。

\(C=O\)のとき、\(X_1, X_2 \in W\)について

\[ A (X_1 + X_2) B = A X_1 B + A X_2 B = O + O = O \in W \]

また\(c \in \mathbb{R}\)について

\[ cX_1 = c A X_1 B = cC = O \in W \]

問5

\(n\) を 2 以上の自然数とし、 \(M_n(\mathbb{R})\) の部分集合 \(W\) を

\[ W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R})\mid |X| =0\right\} \]

により定める。 \(W\) が \(M_n(\mathbb{R})\) の部分空間になるかどうかを調べよ。

部分空間にならない

• \(|X|=0\)を満たす行列は実行列中に存在するので、\(W\neq \emptyset\)

• 零行列の行列式は0になる\(|O| = 0\)ので\(O \in W\)

• 行列式の性質\(|cA| = c^n|A| \ (c\in \mathbb{R}, A \in \mathbb{R}^{n\times n})\)より、特異行列のスカラー倍も特異行列であるため、スカラー倍について閉じている

• 特異行列の和が正則行列になることはありえるため、一般には\(\forall X_1, X_2 \in W, (X_1 + X_2) \notin W\)

特異行列の和や定数倍が正則行列になるのか？→なることはありえる

例：

\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array} \right| = 0 ,\quad \left| \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right| = 0 \end{split}\]

であるが

\[\begin{split} \left| \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right| = 1 \end{split}\]

Show code cell source Hide code cell source

from tqdm import tqdm
from itertools import product
import numpy as np

x = list(range(10))
singulars = []
for values in product(x, repeat=4):
    X = np.array(values).reshape((2, 2))
    if np.linalg.det(X) == 0:
        singulars.append(X)

errors = []
for i in range(1, len(singulars)):
    Y = singulars[i] + singulars[i-1]
    if np.linalg.det(Y) != 0:
        errors.append({
            "Y": Y,
            "X1": singulars[i],
            "X2": singulars[i-1],
        })
errors[:3]

Show code cell output Hide code cell output

[{'Y': array([[0, 1],
         [9, 9]]),
  'X1': array([[0, 1],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[0, 0],
         [9, 9]])},
 {'Y': array([[1, 9],
         [0, 9]]),
  'X1': array([[1, 0],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[0, 9],
         [0, 9]])},
 {'Y': array([[2, 1],
         [9, 0]]),
  'X1': array([[1, 1],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[1, 0],
         [9, 0]])}]