練習問題メモ 13（ベクトル空間）

練習問題メモ 13（ベクトル空間）#

問1#

次の問いに答えよ。

  1. ベクトル空間の部分空間の定義を書け

ベクトル空間Vの空でない部分集合WがVにおける和とスカラー倍の演算でベクトル空間になるとき、WをVの部分空間という

  1. W をべクトル空間 V の部分集合とする。 W が V の部分空間であることと同値な 3 つの条件を書け。

  1. Wが空ではない：W≠∅（⟺0∈W）

  2. 元の和が元：a,b∈W⟹a+b∈W

  3. 元の定数倍が元：a∈W,λ∈R⟹λa∈W

W≠∅⟺0∈W

Wが部分空間である条件に0∈Wがありますが、どうして0ベクトルを含ん… - Yahoo!知恵袋

  1. W≠∅⟹∃a∈W。スカラーc=0についてca=0∈W

  2. 0∈W⟹W≠∅

  1. R2 の部分集合 W を次の（ア）、(イ）のように定める。 W は R2 の部分空間 ではないことを示せ。

(ア)W={(x1x2)∈R2|x1+2x2=3}(イ)W={(x1x2)∈R2|x1≥0}

（ア）#

Rは0を含むので、x1=x2=0の場合を考えると

x1+2x2=0≠3

なのでx1+2x2=0∉W

よってWはR2の部分空間ではない

（イ）#

ダメな例

負の定数cで定数倍にしたときc(x1x2)T∉Wのため

↑はx1=0のときcx1=0になって∈Wになるのでだめ

x=(x1x2)=(10)∈R2

にc=−1を乗じた場合

cx=(−10)

はx1=−1となるためx∉W

よってWはR2の部分空間ではない

Note

「部分空間でないことを示せ」は3条件のうち1つでも反例を見つければOK

問2#

W1,W2 をべクトル空間 V の部分空間とする。

  1. V の部分集合

W1∩W2={x∣x∈W1 かつ x∈W2}

は V の部分空間であることを示せ。

W1∩W2≠∅は証明しようがない気がする

  1. 0∈W1,0∈W2のため、0∈W1∩W2が成り立つ

  2. x,y∈Wi⟹x+y∈Wi(i=1,2)のため、x,y∈W1∩W2⟹x+y∈W1∩W2が成り立つ

  3. c∈Rについて、x∈Wi⟹cx∈Wi(i=1,2)のため、x∈W1∩W2⟹cx∈W1∩W2が成り立つ

  1. V の部分集合 W1+W2 を

W1+W2={x+y∣x∈W1,y∈W2}

により定めると、 W1+W2 は V の部分空間であることを示せ。この W1+W2 を W1 と W2 の和空間という。

  • W1≠∅∧W2≠∅⟹W1+W2≠∅

  1. 0∈W1∧0∈W2のため、0∈W1+W2が成り立つ

  2. (x,y∈Wi⟹x+y∈Wi) ∀i(i=1,2)のため、x,y∈W1∩W2⟹x+y∈W1+W2が成り立つ

  3. c∈Rについて、(x∈Wi⟹cx∈Wi)∀i(i=1,2)のため、x∈W1+W2⟹cx∈W1+W2

問3#

n 次以下の実数係数の t に関する多項式全体の集合 R[t]n は R[t] の部分空間であることを示せ。

(1) 0∈Rでありt=0となるtが存在するため、0∈R[t]n

(2) A[t]n,B[t]n∈R[t]nについて、

A[t]n={∑i=0naiti | a0,a1,…,an∈R}B[t]n={∑i=0naiti | b0,b1,…,bn∈R}

とすると

A[t]n+B[t]n={∑i=0n(ai+bi)ti | a0,…,an,b0,…,bn∈R}

であり、ai+bi∈Rであるため、和について閉じている

(3) 多項式R[t]nのスカラーc∈R倍は

R[ct]n={∑i=0ncaiti | a0,…,an∈R}

であり、cai∈R∀iであるためR[ct]n∈R[t]nとなり、スカラー倍についても閉じている

よってR[t]nはR[t]の部分空間である

問4#

A∈Mk,l(R),B∈Mm,n(R),C∈Mk,n(R) を固定しておき、 Ml,m(R) の部分集合 W を

W={X∈Ml,m(R)∣AXB=C}

により定める。 W が Ml,m(R) の部分空間になるのはどのようなときか。

Wが部分空間であるためにはO∈Wである必要がある。O∈Wの場合はX=Oであり、AOB=CのためC=Oである必要がある。

C=Oのとき、X1,X2∈Wについて

A(X1+X2)B=AX1B+AX2B=O+O=O∈W

またc∈Rについて

cX1=cAX1B=cC=O∈W

問5#

n を 2 以上の自然数とし、 Mn(R) の部分集合 W を

W={X∈Mn(R)∣|X|=0}

により定める。 W が Mn(R) の部分空間になるかどうかを調べよ。

部分空間にならない

  • |X|=0を満たす行列は実行列中に存在するので、W≠∅

  • 零行列の行列式は0になる|O|=0のでO∈W

  • 行列式の性質|cA|=cn|A| (c∈R,A∈Rn×n)より、特異行列のスカラー倍も特異行列であるため、スカラー倍について閉じている

  • 特異行列の和が正則行列になることはありえるため、一般には∀X1,X2∈W,(X1+X2)∉W

特異行列の和や定数倍が正則行列になるのか？→なることはありえる

例：

|1000|=0,|0001|=0

であるが

|(1000)+(0001)|=|1001|=1
Hide code cell source 
from tqdm import tqdm
from itertools import product
import numpy as np

x = list(range(10))
singulars = []
for values in product(x, repeat=4):
    X = np.array(values).reshape((2, 2))
    if np.linalg.det(X) == 0:
        singulars.append(X)

errors = []
for i in range(1, len(singulars)):
    Y = singulars[i] + singulars[i-1]
    if np.linalg.det(Y) != 0:
        errors.append({
            "Y": Y,
            "X1": singulars[i],
            "X2": singulars[i-1],
        })
errors[:3]
Hide code cell output 
[{'Y': array([[0, 1],
         [9, 9]]),
  'X1': array([[0, 1],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[0, 0],
         [9, 9]])},
 {'Y': array([[1, 9],
         [0, 9]]),
  'X1': array([[1, 0],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[0, 9],
         [0, 9]])},
 {'Y': array([[2, 1],
         [9, 0]]),
  'X1': array([[1, 1],
         [0, 0]]),
  'X2': array([[1, 0],
         [9, 0]])}]
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