練習問題メモ 13(ベクトル空間)#
問1#
次の問いに答えよ。
ベクトル空間の部分空間の定義を書け
ベクトル空間\(V\)の空でない部分集合\(W\)が\(V\)における和とスカラー倍の演算でベクトル空間になるとき、\(W\)を\(V\)の部分空間という
\(W\) をべクトル空間 \(V\) の部分集合とする。 \(W\) が \(V\) の部分空間であることと同値な 3 つの条件を書け。
\(W\)が空ではない:\(W \neq \emptyset\)(\(\Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W\))
元の和が元:\(a, b \in W \implies a + b \in W\)
元の定数倍が元:\(a\in W, \lambda \in R \implies \lambda a \in W\)
\(W \neq \emptyset \Longleftrightarrow \boldsymbol{0} \in W\)
Wが部分空間である条件に0∈Wがありますが、どうして0ベクトルを含ん… - Yahoo!知恵袋
\(W \neq \emptyset \implies \exists \boldsymbol{a} \in W\)。スカラー\(c = 0\)について\(ca = \boldsymbol{0} \in W\)
\(\boldsymbol{0} \in W \implies W \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}^2\) の部分集合 \(W\) を次の(ア)、(イ)のように定める。 \(W\) は \(\mathbb{R}^2\) の部分空間 ではないことを示せ。
(ア)#
\(\mathbb{R}\)は0を含むので、\(x_1 = x_2 = 0\)の場合を考えると
なので\(x_1 + 2x_2 = 0 \notin W\)
よって\(W\)は\(R^2\)の部分空間ではない
(イ)#
~~負の定数\(c\)で定数倍にしたとき\(c (x_1 x_2)^T \notin W\)のため~~ ← は\(x_1 = 0\)のとき\(c x_1 = 0\)になって\(\in W\)になるのでだめ
に\(c = -1\)を乗じた場合
は\(x_1 = -1\)となるため\(\boldsymbol{x} \notin W\)
よって\(W\)は\(R^2\)の部分空間ではない
Note
「部分空間でないことを示せ」は3条件のうち1つでも反例を見つければOK
問2#
\(W_1, W_2\) をべクトル空間 \(V\) の部分空間とする。
\(V\) の部分集合
は \(V\) の部分空間であることを示せ。
\(W_1 \cap W_2 \neq \emptyset\)は証明しようがない気がする
\(0 \in W_1, 0 \in W_2\)のため、\(0 \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ
\(x, y \in W_i \implies x + y \in W_i \quad (i = 1, 2)\)のため、\(x, y\in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ
\(c \in \mathbb{R}\)について、\(x \in W_i \implies cx \in W_i \quad (i = 1, 2)\)のため、\(x \in W_1 \cap W_2 \implies cx \in W_1 \cap W_2\)が成り立つ
\(V\) の部分集合 \(W_1+W_2\) を
により定めると、 \(W_1+W_2\) は \(V\) の部分空間であることを示せ。この \(W_1+W_2\) を \(W_1\) と \(W_2\) の和空間という。
\(W_1 \neq \emptyset \land W_2 \neq \emptyset \implies W_1 + W_2 \neq \emptyset\)
\(0 \in W_1 \land 0 \in W_2\)のため、\(0 \in W_1 + W_2\)が成り立つ
\((x, y \in W_i \implies x + y \in W_i) \ \forall i (i = 1, 2)\)のため、\(x, y \in W_1 \cap W_2 \implies x + y \in W_1 + W_2\)が成り立つ
\(c \in \mathbb{R}\)について、\((x \in W_i \implies cx \in W_i) \forall i (i = 1, 2)\)のため、\(x \in W_1 + W_2 \implies cx \in W_1 + W_2\)
問3#
\(n\) 次以下の実数係数の \(t\) に関する多項式全体の集合 \(\mathbb{R}[t]_n\) は \(\mathbb{R}[t]\) の部分空間であることを示せ。
(1) \(0 \in \mathbb{R}\)であり\(t=0\)となる\(t\)が存在するため、\(0 \in \mathbb{R}[t]_n\)
(2) \(\mathbb{A}[t]_n, \mathbb{B}[t]_n \in \mathbb{R}[t]_n\)について、
とすると
であり、\(a_i + b_i \in \mathbb{R}\)であるため、和について閉じている
(3) 多項式\(\mathbb{R}[t]_n\)のスカラー\(c \in \mathbb{R}\)倍は
であり、\(c a_i \in \mathbb{R} \forall i\)であるため\(\mathbb{R}[ct]_n \in \mathbb{R}[t]_n\)となり、スカラー倍についても閉じている
よって\(\mathbb{R}[t]_n\)は\(\mathbb{R}[t]\)の部分空間である
問4#
\(A \in M_{k, l}(\mathbb{R}), B \in M_{m, n}(\mathbb{R}), C \in M_{k, n}(\mathbb{R})\) を固定しておき、 \(M_{l, m}(\mathbb{R})\) の部分集合 \(W\) を
により定める。 \(W\) が \(M_{l, m}(\mathbb{R})\) の部分空間になるのはどのようなときか。
TODO
---------------------------------------------------------------------------
NameError Traceback (most recent call last)
Cell In[1], line 1
----> 1 TODO
NameError: name 'TODO' is not defined
\(O\in W\)を満たすために、\(C=O\)のとき
\(A,B,C,X\)はみな実行列なので、和やスカラー倍は閉じてそう
問5#
\(n\) を 2 以上の自然数とし、 \(M_n(\mathbb{R})\) の部分集合 \(W\) を
により定める。 \(W\) が \(M_n(\mathbb{R})\) の部分空間になるかどうかを調べよ。
\(|X|=0\)を満たす行列は実行列中に存在するので、\(W\neq \emptyset\)
零行列の行列式は0になる\(|O| = 0\)ので\(O \in W\)
行列式の性質\(|cA| = c^n|A| \ (c\in \mathbb{R}, A \in \mathbb{R}^{n\times n})\)より、特異行列のスカラー倍も特異行列であるため、スカラー倍について閉じている
特異行列の和も特異行列になりそうだが、わからない
特異行列の和や定数倍が正則行列になるのか?
import numpy as np
A = np.array([
[1, 1],
[1, 1],
])
np.linalg.det(A)
0.0
np.linalg.det(A+A)
0.0