8.1#

1. $\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right|$

2. $\left|\begin{array}{lll}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|$

3. $\left|\begin{array}{llll}1& a& b& c\\ 0& 2& d& e\\ 0& 0& 3& f\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right|$

上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいので

8.2#

という性質があるため（行列式 |A B // B A| = |A-B||A+B| の証明 | ばたぱら）、

from sympy import symbols, factor, expand

# 4次方程式の因数分解はわからないのでsympyを使う
a = symbols("a")
f = a ** 4 - 6 * a**2 + 8 * a - 3
factor(f)

これがゼロとなる$a$を求めたいので

これを満たすのは$a=1$と$a=-3$のとき

よって$a=1,-3$

import numpy as np
a = -3
A = np.array([
    [a, 1, 1, 1],
    [1, a, 1, 1],
    [1, 1, a, 1],
    [1, 1, 1, a],
])

np.linalg.det(A)

0.0

8.3#

1. 交代行列の定義を書け。

$n$次正方行列であり、その転置が自身の$-1$倍になるものを交代行列という

2. 奇数次の交代行列の行列式は 0 であることを示せ。

交代行列を$A$とおく

一般に正方行列に対して$|A|=|A^T|$であるため

交代行列は$A^T=-A$となるため

1つの行や列を$c$倍すると行列式は$c$倍になるため、$-A$は行の数だけ-1倍したものと捉えると

奇数次の交代行列、すなわち$A$が$2n-1$次の交代行列である場合、$(-1{)}^{2n-1}=-1$

よって

両辺に$+|A|$して移項すると

よって$|A|=0$

8.4#

1. 正方行列が正則であることの定義を書け。

$n$次正方行列$A$に対し

を満たす正方行列$A^{-1}$が存在するとき、$A$は正則である

2. $A$ を $n$ 次の正方行列、 $P$ を $n$ 次の正則行列とすると、等式$\left|P^{-1}AP\right|=|A|$が成り立つことを示せ。

行列式の積は分解できる（$|AB|=|A||B|$）ので

となる

より、

なので、

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [0, 4]
])

P = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

P_inv = np.linalg.inv(P)
det = np.linalg.det(P_inv) * np.linalg.det(P)
assert det.round(1) == 1
np.linalg.det(P_inv @ A @ P) == np.linalg.det(A)

True

8.5#

正則であれば逆行列が存在するため

が成り立つ。

両辺の行列式をとると

であり、$|I|=1$のため

となる。

行列式の性質より、

のため

ゆえに $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

8.6#

べき零行列は、任意の整数$k$について

が成立する$n$次正方行列のこと

べき零行列の行列式は、一般の行列に対して$|AB|=|A||B|$とできる性質より

となるので、$|A|=0$

8.7#

積の性質（$|AB|=|A||B|$）と転置行列の行列式はもとの行列式と等しいこと（$|A^T|=|A|$）から

なので$|A|\pm 1$