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練習問題メモ 8（行列式）

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練習問題メモ 8（行列式）#

8.1#

次の1~3の行列式を計算せよ。

  1. \(\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|\)

  2. \(\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|\)

  3. \(\left|\begin{array}{llll}1 & a & b & c \\ 0 & 2 & d & e \\ 0 & 0 & 3 & f \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|\)

  1. \(\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|\)

\[\begin{split} \left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \end{split}\]

  1. \(\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|\)

\[ a^3 + 2 - 3a \]

  1. \(\left|\begin{array}{llll}1 & a & b & c \\ 0 & 2 & d & e \\ 0 & 0 & 3 & f \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|\)

上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいので

\[ 4! = 24 \]

8.2#

行列式

\[\begin{split} \left|\begin{array}{llll} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right| \end{split}\]

の値が 0 となるような \(a\) の値を求めよ。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} A & B\\ B & A \end{array}\right| = | A + B | |A - B| \end{split}\]

という性質があるため（行列式 |A B // B A| = |A-B||A+B| の証明 | ばたぱら）、

\[\begin{split} \left|\begin{array}{llll} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right| = \left| \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right| \left| \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right| \\ = \left| \begin{array}{cc} a+1 & 2 \\ 2 & a+1 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} a - 1 & 0 \\ 0 & a - 1 \end{array} \right| \\ = \{ (a+1)^2 - 4 \} (a-1)^2 \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{align} \{ (a+1)^2 - 4 \} (a-1)^2 &= (a+1)^2 (a-1)^2 - 4 (a-1)^2\\ &= (a^2 + 2a + 1)(a^2 - 2a + 1) - 4 (a^2 - 2a + 1)\\ &= a^2 (a^2 - 2a + 1) + 2a (a^2 - 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) - 4 (a^2 - 2a + 1)\\ &= a^4 - 2a^3 + a^2 + 2a^3 - 4a^2 + 2a + a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 8a - 4\\ &= a^4 - 6 a^2 + 8a - 3\\ &= (a - 1)^3 (a + 3) \end{align} \end{split}\]
from sympy import symbols, factor, expand

# 4次方程式の因数分解はわからないのでsympyを使う
a = symbols("a")
f = a ** 4 - 6 * a**2 + 8 * a - 3
factor(f)
\[\displaystyle \left(a - 1\right)^{3} \left(a + 3\right)\]

これがゼロとなる\(a\)を求めたいので

\[ (a - 1)^3 (a + 3) = 0 \]

これを満たすのは\(a = 1\)と\(a = - 3\)のとき

よって\(a = 1, -3\)

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import numpy as np
a = -3
A = np.array([
    [a, 1, 1, 1],
    [1, a, 1, 1],
    [1, 1, a, 1],
    [1, 1, 1, a],
])

np.linalg.det(A)

0.0

8.3#

交代行列について、次の問いに答えよ。

  1. 交代行列の定義を書け。

  2. 奇数次の交代行列の行列式は 0 であることを示せ。

  1. 交代行列の定義を書け。

\(n\)次正方行列であり、その転置が自身の\(-1\)倍になるものを交代行列という

  1. 奇数次の交代行列の行列式は 0 であることを示せ。

交代行列を\(A\)とおく

一般に正方行列に対して\(|A| = |A^T|\)であるため

\[ |A| = |A^T| \]

交代行列は\(A^T=-A\)となるため

\[ |A| = |A^T| = |-A| \]

1つの行や列を\(c\)倍すると行列式は\(c\)倍になるため、\(-A\)は行の数だけ-1倍したものと捉えると

\[ |A| = |A^T| = |-A| = (-1)^n |A| \]

奇数次の交代行列、すなわち\(A\)が\(2n-1\)次の交代行列である場合、\((-1)^{2n-1} = -1\)

よって

\[ |A| = -|A| \]

両辺に\(+|A|\)して移項すると

\[ 2|A| = 0 \]

よって\(|A|=0\)

8.4#

次の問いに答えよ。

  1. 正方行列が正則であることの定義を書け。

  2. \(A\) を \(n\) 次の正方行列、 \(P\) を \(n\) 次の正則行列とすると、等式

\[ \left|P^{-1} A P\right|=|A| \]

が成り立つことを示せ。

  1. 正方行列が正則であることの定義を書け。

\(n\)次正方行列\(A\)に対し

\[ AA^{-1} = A^{-1} A = E \]

を満たす正方行列\(A^{-1}\)が存在するとき、\(A\)は正則である

  1. \(A\) を \(n\) 次の正方行列、 \(P\) を \(n\) 次の正則行列とすると、等式\(\left|P^{-1} A P\right|=|A|\)が成り立つことを示せ。

行列式の積は分解できる（\(|AB| = |A| |B|\)）ので

\[ \left|P^{-1} A P\right| =|P^{-1}| |A| |P| \]

となる

\[ |P^{-1}| |P| = |P^{-1} P| = |E| = 1 \]

より、

\[ |P^{-1}| |P| = 1 \to |P^{-1}| = \frac{1}{|P|} \]

なので、

\[ |P^{-1}| |A| |P| = \frac{1}{|P|} |P| |A| = |A| \]
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import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [0, 4]
])

P = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

P_inv = np.linalg.inv(P)
det = np.linalg.det(P_inv) * np.linalg.det(P)
assert det.round(1) == 1
np.linalg.det(P_inv @ A @ P) == np.linalg.det(A)

True

8.5#

\(A\) を正則行列とすると、 $\( |A| \neq 0, \quad\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1} \)$

が成り立つことを示せ。

正則であれば逆行列が存在するため

\[ A A^{-1} = I \]

が成り立つ。

両辺の行列式をとると

\[ |A A^{-1}| = |I| \]

であり、\(|I| = 1\)のため

\[ |A A^{-1}| = 1 \]

となる。

行列式の性質より、

\[ |A A^{-1}| = |A| |A^{-1}| \]

のため

\[ |A| |A^{-1}| = 1 \to |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \]

ゆえに \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)

8.6#

べき零行列について、次の問いに答えよ。

  1. べき零行列の定義を書け。

  2. べき零行列の行列式は 0 であることを示せ。

べき零行列は、任意の整数\(k\)について

\[ A^k = O \]

が成立する\(n\)次正方行列のこと

べき零行列の行列式は、一般の行列に対して\(|AB| = |A| |B|\)とできる性質より

\[ |O| = |A^k| = |A|^k = 0 \]

となるので、\(|A|=0\)

8.7#

正方行列 \(A\) が $\( A A^T=A^T A=E \)$

を満たすとき、すなわち、 \(A^{-1}=A^T\) となるとき、 \(A\) を直交行列という。直交行列 の行列式は 1 または-1であることを示せ。

積の性質（\(|AB|=|A||B|\)）と転置行列の行列式はもとの行列式と等しいこと（\(|A^T|=|A|\)）から

\[ |A^T A| = |A^T| |A| = |A|^2 = 1 \]

なので\(|A|\pm 1\)

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