練習問題メモ 10（特別な形をした行列式）#
10.1#
ヴァンデルモンドの行列式について、次の問いに答えよ。
行列式
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right|
\end{split}\]
をサラスの方法とヴァンデルモンドの行列式を用いる方法の 2 通りで計算せよ。
サラスの方法：
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right|
= 2\times 3^2 + 3 + 2^2 - 2 - 3^2 - 2^2 \times 3\\
= 18 + 3 + 4 - 2 - 9 - 12\\
= 21 + 4 - 2 - 21\\
= 2
\end{split}\]
ヴァンデルモンド
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2\end{array}\right|
= (2 - 1)(3- 1) (3- 2)\\
= 1 \times 2 \times 1\\
= 2
\end{split}\]
行列式
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1^2 & 2^2 & 3^2 & \cdots & n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1^{n-1} & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & n^{n-1}
\end{array}\right|
\end{split}\]
を計算せよ
\[\begin{split}
(2-1)(3-1)\times \cdots \times (n-1)\\
\times (3-2)(4-2)\times \cdots \times (n-2)\\
\vdots\\
\times (n-(n-1))
\end{split}\]
\[\begin{split}
=1 \times 2 \times \cdots \times (n-1)\\
\times 1 \times 2 \times \cdots \times (n-2)\\
\vdots\\
\times 1
\end{split}\]
\[\begin{split}
= (n-1)! \times (n-2)! \times \cdots \times (n-(n-1))!\\
= 1! \times 2! \times \cdots \times (n-1)!
\end{split}\]
10.2#
次の 1～2 の行列式を計算せよ
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
a_1 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
a_1 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
memo
3次のとき
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccc}
x & a_1 & 1\\
a_1 & x & 1\\
a_1 & a_2 & 1\\
\end{array}\right|
= x^2 + a_1^2 + a_1 a_2 - a_1 x - a_1^2 - a_2 x\\
= x^2 - a_1 x - a_2 x + a_1 a_2\\
= (x - a_1)(x - a_2)
\end{split}\]
第\(n+1\)列に\(a_1\)を掛けて第1列から引く
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x-a_1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
0 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
0 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\
0 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
第\(n+1\)列に\(a_2\)を掛けて第2列から引く
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
0 & x-a_2 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
0 & 0 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & a_3 & \cdots & x & 1 \\
0 & 0 & a_3 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
これを第\(n\)列まで繰り返し、上三角行列にする
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x-a_1 & a_1-a_2 & a_2-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\
0 & x-a_2 & a_2-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\
0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1}-a_n & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
三角行列の行列式は対角成分の積であるという性質より、
\[
\prod_{i=1}^n\left(x-a_i\right)
\]
となる
別の（もっと非効率な）解き方
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
a_1 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
a_1 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
第i行（\(1 \leq i < n\)）について、i+1行の-1倍を加えて上三角行列にする
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n & 0 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right|
\end{split}\]
\((n-1, n-1)\)にある1を\((1,1)\)まで持っていきたい
第\(n+1\)列を第1列まで移動する（隣り合った列同士で位置を入れ替える行為を\(n-2\)回繰り返す（\(n-1\)次の行列なので\(n-2\)））
第\(n+1\)行を第1行まで移動する（隣り合った行同士で位置を入れ替える行為を\(n-2\)回繰り返す）
（合計\(2(n-2)=2n-4\)回繰り返した→偶数回→行列式の符号は変わらず）
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccccc}
1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\
0 & x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n \\
\end{array}\right|
\end{split}\]
三角行列の行列式は対角成分の積なので
\[\begin{split}
1 \times
\left|\begin{array}{cccccc}
x-a_1 & a_1-x & 0 & \cdots & 0\\
0 & x-a_2 & a_2-x & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x-a_3 & \cdots & a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n \\
\end{array}\right|
= \prod_{i=1}^n\left(x-a_i\right)
\end{split}\]
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & n
\end{array}\right|
\end{split}\]
1行目を2~n行目から差し引いて
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1
\end{array}\right|
\end{split}\]
という上三角行列の形にすれば、三角行列の行列式は対角成分の積で求められるという性質により、答えは
\[
(n-1)!
\]
10.3#
次の\([\quad]\)を埋めよ。
自然数 \(n\) に対して、
\[\begin{split}
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n
\end{array}\right|
\end{split}\]
とおく。 \(D_n\) の値を \(n\) に関する数学的帰納法により求める。
\(n=1\) のとき、 \(D_1=[1]\) である。
\[
[1] = 1
\]
\(n=k(k\) は自然数 \()\) のとき、 \(D_k=[2]\) であると仮定する。 \(n=k+1\) とすると、
\[
[2] = 1
\]
\[\begin{split}
D_{k+1}=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & k+1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 2 & \cdots & k
\end{array}\right|(\because [3])
\end{split}\]
[3] = 列基本変形（第1列を-1倍して第2~k+1列に加えた）
\(=D_{[4]} (\because [5]\) に関する余因子展開 \()=[6](\because\) 帰納法の仮定 \()\) 。
よって、 \(D_n=[7]\) であることが示された。
\[
[4] = k
\]
\[
[5] = 第1行
\]
\[
[6] = 1
\]
\[
[7] = 1
\]
10.4#
\(A=\left(a_{i j}\right)\) を偶数次の交代行列とする。このとき、 \(|A|\) は \(A\) の成分 \(a_{i j}\) の多項式 \(P\) を用いて、
\[
|A|=P^2
\]
と表させることがわかる。
2 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。
4 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。
2次の場合#
\[\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
0 & a_{12}\\
-a_{12} & 0
\end{pmatrix}
\end{split}\]
とすると、サラスの方法だと
\[
|A|
= 0 - (-a_{12} \times a_{12})
= a_{12}^2
\]
なので、
\[
|A| = P^2
\]
から
2次の場合のパフィアン\(P\)は
\[
P=\pm a_{12}
\]
4次の場合#
\[\begin{split}
A =
\begin{pmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
-a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\
-a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\
-a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{split}\]
とする。
第1行についての余因子展開を使うと
\[
|A| = a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{13} \tilde{a}_{13} + a_{14} \tilde{a}_{14}
\]
で
\[\begin{split}
\tilde{a}_{12} = (-1)^3
\left|\begin{array}{ccc}
-a_{12} & a_{23} & a_{24} \\
-a_{13} & 0 & a_{34} \\
-a_{14} & -a_{34} & 0 \\
\end{array}\right|
= -1 \times
(
a_{13} a_{34} a_{24}
- a_{23} a_{34} a_{14}
- a_{12} a_{34}^2
)\\
=
- a_{13} a_{34} a_{24}
+ a_{23} a_{34} a_{14}
+ a_{12} a_{34}^2
\end{split}\]
\[\begin{split}
\tilde{a}_{13} = (-1)^4
\left|\begin{array}{ccc}
-a_{12} & 0 &a_{24} \\
-a_{13} & -a_{23} &a_{34} \\
-a_{14} & -a_{24} &0 \\
\end{array}\right|
=
a_{13} a_{24}^2
- a_{14} a_{23} a_{24}
- a_{12} a_{24} a_{34}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\tilde{a}_{14} = (-1)^3
\left|\begin{array}{ccc}
-a_{12} & 0 & a_{23}\\
-a_{13} & -a_{23} & 0 \\
-a_{14} & -a_{24} & -a_{34}\\
\end{array}\right|
= -1 \times
(
- a_{12} a_{23} a_{34}
+ a_{13} a_{23} a_{24}
- a_{14} a_{23}^2
)\\
= a_{12} a_{23} a_{34}
- a_{13} a_{23} a_{24}
+ a_{14} a_{23}^2
\end{split}\]
なので
\[\begin{split}
\begin{align}
|A|
&= a_{12} \tilde{a}_{12}
+ a_{13} \tilde{a}_{13}
+ a_{14} \tilde{a}_{14}
\\
&= a_{12} (- a_{13} a_{34} a_{24} + a_{23} a_{34} a_{14} + a_{12} a_{34}^2)\\
&\quad + a_{13} (a_{13} a_{24}^2 - a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{24} a_{34})\\
&\quad + a_{14} (a_{12} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{23} a_{24} + a_{14} a_{23}^2)
\\
&= - a_{12} a_{13} a_{34} a_{24}
+ a_{12} a_{14} a_{23} a_{34}
+ a_{12}^2 a_{34}^2\\
&\quad + a_{13}^2 a_{24}^2
- a_{13} a_{14} a_{23} a_{24}
- a_{12} a_{13} a_{24} a_{34}\\
&\quad + a_{12} a_{14} a_{23} a_{34}
- a_{13} a_{14} a_{23} a_{24}
+ a_{14}^2 a_{23}^2
\\
&= 2(a_{12} a_{14} a_{23} a_{34})\\
&\quad - 2(a_{12} a_{13} a_{24} a_{34})\\
&\quad - 2(a_{13} a_{14} a_{23} a_{24})\\
&\quad
+ a_{12}^2 a_{34}^2
+ a_{13}^2 a_{24}^2
+ a_{14}^2 a_{23}^2\\
\\
&= (a_{12} a_{34}-a_{13} a_{24}+a_{14} a_{23})^2
\end{align}
\end{split}\]
よって、
\[
P = \pm (a_{12} a_{34}-a_{13} a_{24}+a_{14} a_{23})
\]
Show code cell source
# 因数分解はsympyを使った
from sympy import symbols, factor, expand
a12, a13, a14, a23, a24, a34 = symbols("a12, a13, a14, a23, a24, a34")
F = 2 * (a12 * a14 * a23 * a34) - 2 * (a12 * a13 * a24 * a34) - 2 * (a13 * a14 * a23 * a24)\
+ a12**2 * a34**2 + a13**2 * a24**2 + a14**2 * a23**2
factor(F)
\[\displaystyle \left(a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23}\right)^{2}\]