練習問題メモ 10（特別な形をした行列式）

練習問題メモ 10（特別な形をした行列式）#

10.1#

ヴァンデルモンドの行列式について、次の問いに答えよ。

行列式

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} \end{array} | \end{array}

をサラスの方法とヴァンデルモンドの行列式を用いる方法の 2 通りで計算せよ。

サラスの方法：

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} \end{array} | = 2 \times 3^{2} + 3 + 2^{2} - 2 - 3^{2} - 2^{2} \times 3 \\ = 18 + 3 + 4 - 2 - 9 - 12 \\ = 21 + 4 - 2 - 21 \\ = 2 \end{array}

ヴァンデルモンド

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} \end{array} | = (2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) \\ = 1 \times 2 \times 1 \\ = 2 \end{array}

行列式

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} & \dots & n^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1^{n - 1} & 2^{n - 1} & 3^{n - 1} & \dots & n^{n - 1} \end{array} | \end{array}

を計算せよ

\begin{array}{r} (2 - 1) (3 - 1) \times \dots \times (n - 1) \\ \times (3 - 2) (4 - 2) \times \dots \times (n - 2) \\ ⋮ \\ \times (n - (n - 1)) \end{array}

\begin{array}{r} = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \\ \times 1 \times 2 \times \dots \times (n - 2) \\ ⋮ \\ \times 1 \end{array}

\begin{array}{r} = (n - 1)! \times (n - 2)! \times \dots \times (n - (n - 1))! \\ = 1! \times 2! \times \dots \times (n - 1)! \end{array}

10.2#

次の 1～2 の行列式を計算せよ

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccccc} x & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ a_{1} & x & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ a_{1} & a_{2} & x & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & x & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} & 1 \end{array} | \end{array}

第 $n + 1$ 列に $a_{1}$ を掛けて第1列から引く

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccccc} x - a_{1} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ 0 & x & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ 0 & a_{2} & x & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{2} & a_{3} & \dots & x & 1 \\ 0 & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} & 1 \end{array} | \end{array}

第 $n + 1$ 列に $a_{2}$ を掛けて第2列から引く

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccccc} x - a_{1} & a_{1} - a_{2} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ 0 & x - a_{2} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ 0 & 0 & x & \dots & a_{n - 1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & a_{3} & \dots & x & 1 \\ 0 & 0 & a_{3} & \dots & a_{n} & 1 \end{array} | \end{array}

これを第 $n$ 列まで繰り返し、上三角行列にする

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccccc} x - a_{1} & a_{1} - a_{2} & a_{2} - a_{3} & \dots & a_{n - 1} - a_{n} & 1 \\ 0 & x - a_{2} & a_{2} - a_{3} & \dots & a_{n - 1} - a_{n} & 1 \\ 0 & 0 & x - a_{3} & \dots & a_{n - 1} - a_{n} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - a_{n} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} | \end{array}

三角行列の行列式は対角成分の積であるという性質より、

\prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})

となる

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n \end{array} | \end{array}

1行目を2~n行目から差し引いて

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n - 1 \end{array} | \end{array}

という上三角行列の形にすれば、三角行列の行列式は対角成分の積で求められるという性質により、答えは

(n - 1)!

10.3#

次の $[]$ を埋めよ。

自然数 $n$ に対して、

\begin{array}{r} D_{n} = | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & 3 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{array} | \end{array}

とおく。 $D_{n}$ の値を $n$ に関する数学的帰納法により求める。

$n = 1$ のとき、 $D_{1} = [1]$ である。

[1] = 1

$n = k (k$ は自然数 $)$ のとき、 $D_{k} = [2]$ であると仮定する。 $n = k + 1$ とすると、

[2] = 1

\begin{array}{r} D_{k + 1} = | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & 3 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & \dots & k + 1 \end{array} | = | \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 2 & \dots & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 2 & \dots & k \end{array} | (∵ [3]) \end{array}

[3] = 列基本変形（第1列を-1倍して第2~k+1列に加えた）

$= D_{[4]} (∵ [5]$ に関する余因子展開 $) = [6] (∵$ 帰納法の仮定 $)$ 。

よって、 $D_{n} = [7]$ であることが示された。

[4] = k

[5] = 第 1 行

[6] = 1

[7] = 1

10.4#

$A = (a_{i j})$ を偶数次の交代行列とする。このとき、 $| A |$ は $A$ の成分 $a_{i j}$ の多項式 $P$ を用いて、

| A | = P^{2}

と表させることがわかる。

2 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。
4 次の交代行列の行列式を直接計算し、上の事実を確かめよ。

2次の場合#

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & a_{12} \\ - a_{12} & 0 \end{array}) \end{array}

とすると、サラスの方法だと

| A | = 0 - (- a_{12} \times a_{12}) = a_{12}^{2}

なので、

| A | = P^{2}

から

2次の場合のパフィアン $P$ は

P = \pm a_{12}

4次の場合#

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ - a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ - a_{13} & - a_{23} & 0 & a_{34} \\ - a_{14} & - a_{24} & - a_{34} & 0 \end{array}) \end{array}

とする。

第1行についての余因子展開を使うと

| A | = a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{13} {\tilde{a}}_{13} + a_{14} {\tilde{a}}_{14}

で

\begin{array}{r} {\tilde{a}}_{12} = (- 1)^{3} | \begin{array}{ccc} - a_{12} & a_{23} & a_{24} \\ - a_{13} & 0 & a_{34} \\ - a_{14} & - a_{34} & 0 \end{array} | = - 1 \times (a_{13} a_{34} a_{24} - a_{23} a_{34} a_{14} - a_{12} a_{34}^{2}) \\ = - a_{13} a_{34} a_{24} + a_{23} a_{34} a_{14} + a_{12} a_{34}^{2} \end{array}

\begin{array}{r} {\tilde{a}}_{13} = (- 1)^{4} | \begin{array}{ccc} - a_{12} & 0 & a_{24} \\ - a_{13} & - a_{23} & a_{34} \\ - a_{14} & - a_{24} & 0 \end{array} | = a_{13} a_{24}^{2} - a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{24} a_{34} \end{array}

\begin{array}{r} {\tilde{a}}_{14} = (- 1)^{3} | \begin{array}{ccc} - a_{12} & 0 & a_{23} \\ - a_{13} & - a_{23} & 0 \\ - a_{14} & - a_{24} & - a_{34} \end{array} | = - 1 \times (- a_{12} a_{23} a_{34} + a_{13} a_{23} a_{24} - a_{14} a_{23}^{2}) \\ = a_{12} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{23} a_{24} + a_{14} a_{23}^{2} \end{array}

なので

\begin{array}{r} \begin{aligned} | A | & = a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{13} {\tilde{a}}_{13} + a_{14} {\tilde{a}}_{14} \\ = a_{12} (- a_{13} a_{34} a_{24} + a_{23} a_{34} a_{14} + a_{12} a_{34}^{2}) \\ + a_{13} (a_{13} a_{24}^{2} - a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{24} a_{34}) \\ + a_{14} (a_{12} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{23} a_{24} + a_{14} a_{23}^{2}) \\ = - a_{12} a_{13} a_{34} a_{24} + a_{12} a_{14} a_{23} a_{34} + a_{12}^{2} a_{34}^{2} \\ + a_{13}^{2} a_{24}^{2} - a_{13} a_{14} a_{23} a_{24} - a_{12} a_{13} a_{24} a_{34} \\ + a_{12} a_{14} a_{23} a_{34} - a_{13} a_{14} a_{23} a_{24} + a_{14}^{2} a_{23}^{2} \\ = 2 (a_{12} a_{14} a_{23} a_{34}) \\ - 2 (a_{12} a_{13} a_{24} a_{34}) \\ - 2 (a_{13} a_{14} a_{23} a_{24}) \\ + a_{12}^{2} a_{34}^{2} + a_{13}^{2} a_{24}^{2} + a_{14}^{2} a_{23}^{2} \\ = (a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23})^{2} \end{aligned} \end{array}

よって、

P = \pm (a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23})

{(a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23})}^{2}