テイラー近似

テイラー近似#

平均値の定理#

平均値の定理

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で連続で $a < x < b$ で微分可能ならば、ある点 $c (a < c < b)$ が存在して、

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (a < c < b)

が成り立つ。

この定理は直線 $AB$ と同じ傾きをもつ接線が弧 $AB$ 上に存在することを意味している。

平均値の定理から分母を払って

f (b) = f (a) + f^{'} (c) (b - a)

としたものを一般化したのがテイラーの定理

テイラー展開#

テイラーの定理

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で $n$ 階まで連続な導関数をもち、 $a < x < b$ で $n + 1$ 階微分可能ならば、ある点 $c (a < c < b)$ が存在して、

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (b) = & f (a) + f^{'} (a) (b - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (b - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (b - a)^{n} \\ + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (c) (b - a)^{n + 1} (a < c < b) \end{aligned} \end{array}

が成り立つ。

$n = 0$ （1階微分可能）のとき、平均値の定理と一致する。

テイラーの定理の最後の項

\frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (c) (b - a)^{n + 1} (a < c < b)

はラグランジュの剰余項と呼ばれる代表的な剰余項である。

$c$ を $c = a + θ (b - a) (0 < θ < 1)$ と書き、 $b = x$ とおけば、テイラー展開と呼ばれる式になる

テイラー展開

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) & = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{1}{2!} f^{''} (a) (x - a)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (x - a)^{n} + R_{n + 1} \\ R_{n + 1} & = \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (a + θ (x - a)) (x - a)^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{aligned} \end{array}

これを関数 $f (x)$ の点 $a$ における テイラー展開（Taylor expansion） という。

テイラー級数#

関数 $f (x)$ の点 $a$ におけるテイラー展開は有限個のベキ項と剰余 $R_{n + 1}$ の和の形になる。

関数 $f (x)$ をより良く近似しようとすると、剰余 $R_{n + 1}$ をより小さくする必要がある。

剰余 $R_{n}$ は $n$ の値を増やしていくと、数列 $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}, \dots$ を作る。もし、数列 ${R_{n}}$ が $0$ に収束する、すなわち

lim_{n \to \infty} {R_{n}} = 0

ならば、 $n$ を増やしてより多くの項で近似するほど、よりよい近似になる。

このとき、

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + f^{''} (a) \frac{(x - a)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (a) \frac{(x - a)^{n}}{n!} + \dots

と書く。最後の $\dots$ は無限に和が続くことを意味している。これを テイラー級数 （Taylor series）と呼ぶ。

テイラー級数

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) & = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + f^{''} (a) \frac{(x - a)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (a) \frac{(x - a)^{n}}{n!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n} \end{aligned} \end{array}

例：対数変換による変化率の近似#

定理：時系列分析における、対数差分系列（対数系列 $\log y_{t}$ の差分系列 $Δ \log y_{t} = \log y_{t} - \log y_{t - 1}$ ）が十分小さい変化率の近似になる

\log (y_{t}) - \log (y_{t - 1}) \approx \frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}}

証明：対数の計算規則から

\log (y_{t}) - \log (y_{t - 1}) = \log (\frac{y_{t}}{y_{t - 1}}) = \log (1 + \frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}})

となる。

またテイラー近似により

\log (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots

となり、第2項以降は小さい $x$ に対しては微小な値になるため

1次のテイラー近似

\log (1 + x) \approx x

を利用して

\log (1 + \frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}}) \approx \frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}}

となる

近似誤差について#

$\log (1 + x) \approx x$ の近似誤差は $x = 0.5$ くらいから0.1くらいになってくる

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例：対数変換した変数の回帰係数の解釈#

これも同様に変化率の近似として解釈できる

マクローリン展開#

テイラー展開の特別の場合として、 $a = 0$ のときの場合を マクローリン展開 という。

マクローリン展開

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2!} f^{''} (0) x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} \\ + \frac{1}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (θ x) x^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{aligned} \end{array}

例：指数関数#

オイラーによる指数関数の定義

\exp (x) = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}

のマクローリン級数での表現は

\exp (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots

となる。こちらも指数関数の定義として扱われることがある。