練習問題メモ 1

練習問題メモ 1#

問1.1#

$3 \times 2$ 行列

\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{array}) \end{array}

の $(2, 1)$ 成分、第2行、第1列をそれぞれ答えよ。

(2,1)成分→9
第2行→ $(9, 10)$
第1列→ $(7, 9, 11)^{T}$

問1.2#

3 次の正方行列 A を

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

と表す。

A の対角成分を答えよ。

対角成分： $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$

A が対角行列、スカラー行列、上三角行列、下三角行列となるとき、A をそれぞれ具体的に表せ。

対角行列

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}) \end{array}

スカラー行列

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} \end{array}) = a_{11} I \end{array}

上三角

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}) \end{array}

下三角

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

問1.3#

クロネッカーのデルタ δij (i, j = 1, 2, · · · , n) について、i, j = 1, 2, 3 のとき、δij の値を求めよ。

クロネッカーのデルタは

\begin{array}{r} δ_{i j} = {\begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases} \end{array}

なので、

\begin{array}{r} δ_{11} = δ_{22} = δ_{33} = 1 \\ δ_{12} = δ_{13} = δ_{21} = δ_{23} = δ_{31} = δ_{32} = 0 \end{array}

問1.4#

3 × 2 行列 $(\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{array})$ の転置行列を求めよ。

\begin{array}{r} (\begin{array}{ll} 5 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{array}) \end{array}

問1.5#

次の 1、2 の等式が成り立つように a, b, c の値を求めよ。

$(\begin{array}{ll} a^{2} + b^{2} & a b + b c \\ a b + b c & b^{2} + c^{2} \end{array}) = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array})$

※行列を使うとかではないらしい

\begin{array}{r} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a b + b c = 0 \\ b^{2} + c^{2} = 4 \end{array}

$a b + b c = 0 \to b (a + c) = 0$

より、 $b = 0$ or $a + c = 0$ の可能性がある

a b = - b c

のため

$a + c = 0$ について検討する

\begin{array}{r} (a^{2} + b^{2}) - (b^{2} + c^{2}) = 1 - 4 \\ \to a^{2} - c^{2} = - 3 \\ \to \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{- 3} \\ \to a - c = \sqrt{- 3} \\ \to a = \sqrt{- 3} + c \\ \to a + c = \sqrt{- 3} + 2 c \neq 0 \end{array}

よって $b = 0$ の可能性のみになるので、

\begin{array}{r} a^{2} + b^{2} = a^{2} = 1 \to a = \pm 1 \\ b^{2} + c^{2} = c^{2} = 4 \to c = \pm 2 \end{array}

\begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} a^{2} + b^{2} & 1 & 2 a c \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 c a & 1 & b^{2} + c^{2} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 b c & 1 \\ 2 b c & c^{2} + a^{2} & 2 a b \\ 1 & 2 a c & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} {\begin{cases} \begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = 1 \\ b^{2} + c^{2} & = 1 \\ c^{2} + a^{2} & = 1 \\ 2 a b & = 1 \\ 2 a c & = 1 \\ 2 b c & = 1 \end{aligned} \end{cases} \end{array}

という連立方程式とする

\begin{array}{r} \begin{aligned} (a^{2} + b^{2}) - (b^{2} + c^{2}) & = 1 - 1 \\ \to a^{2} - c^{2} & = 0 \\ \to a^{2} = c^{2} \\ (a^{2} + b^{2}) - (a^{2} + c^{2}) & = 1 - 1 \\ \to b^{2} - c^{2} & = 0 \\ \to b^{2} = c^{2} \\ ∴ a^{2} = b^{2} = c^{2} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} a^{2} + b^{2} = 1 \\ \to 2 a^{2} = 1 \\ \to a^{2} = \frac{1}{2} \end{array}

両辺に平方根をかけて

\sqrt{a^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}

$a$ の符号はわからないので

| a | = \sqrt{\frac{1}{2}}

平方根を単純化する

| a | = \frac{1}{\sqrt{2}}

有理化する

| a | = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

したがって

a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

同様に

\begin{array}{r} a^{2} = b^{2} = c^{2} = \frac{1}{2} \\ a = b = c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

問1.6#

A を (i, j) 成分が次の 1～4 により定められる 3 次の正方行列とする。A をそれぞれ具体的に表せ。

$a_{i j} = i + j$
$a_{i j} = i j$
$a_{i j} = (- 1)^{i + j}$
$a_{i j} = (- 1)^{i j}$

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

なので

$a_{i j} = i + j$

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}) \end{array}

$a_{i j} = i j$

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{array}) \end{array}

$a_{i j} = (- 1)^{i + j}$

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}) \end{array}

$a_{i j} = (- 1)^{i j}$

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array}) \end{array}

問1.7#

対称行列の定義を書け

転置してももとの行列と変わらない正方行列

A = A^{T}

次の（ア）、（イ）の行列が対象行列となるように a の値を求めよ。

$\begin{array}{r} (ア) (\begin{array}{cc} 1 & a \\ a^{2} & a^{3} \end{array}) (イ) (\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ a^{3} & a^{4} & a^{5} \\ a^{6} & a^{7} & a^{8} \end{array}) \end{array}$

（ア） $ $(\begin{array}{cc} 1 & a \\ a^{2} & a^{3} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & a^{2} \\ a & a^{3} \end{array})$ $

で

\begin{array}{r} a^{2} = a \\ \to a (a - 1) = 0 \end{array}

$a = 0$ あるいは $a - 1 = 0 \to a = 1$

∴ a = 0, 1

（イ）

\begin{array}{r} a^{3} = a \\ a^{6} = a^{2} \\ a^{7} = a^{5} \end{array}

なので

\begin{array}{r} a^{3} - a = 0 \\ \to a (a^{2} - 1) = 0 \\ \to a = 0, 1, - 1 \end{array}

問1.8#

次の 1～3 の行列の (i, j) 成分をクロネッカーのデルタを用いて表せ。

$(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})$

行列の $(i, j)$ 要素を $a_{i j}$ と表すことにすると

a_{i j} = i \times δ_{i j}

$(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

a_{i j} = δ_{(i + 1), j}

$(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$

a_{i j} = δ_{i - 1, j}

練習問題 メモ 1

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