練習問題 メモ 1
問1.1
\(3 \times 2\)行列
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)
\end{split}\]
の\((2,1)\)成分、第2行、第1列をそれぞれ答えよ。
(2,1)成分→9
第2行→\((9, 10)\)
第1列→\((7, 9, 11)^T\)
問1.2
3 次の正方行列 A を
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
\end{split}\]
と表す。
対角成分：\((a_{11}, a_{22}, a_{33})\)
A が対角行列、スカラー行列、上三角行列、下三角行列となるとき、A をそ
れぞれ具体的に表せ。
対角行列
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{array}\right)
\end{split}\]
スカラー行列
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{11} & 0 \\
0 & 0 & a_{11}
\end{array}\right)
= a_{11} I
\end{split}\]
上三角
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{array}\right)
\end{split}\]
下三角
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
\end{split}\]
問1.3
クロネッカーのデルタ δij (i, j = 1, 2, · · · , n) について、i, j = 1, 2, 3 のとき、δij
の値を求めよ。
クロネッカーのデルタは
\[\begin{split}
\delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & (i = j)\\
0 & (i \neq j)
\end{cases}
\end{split}\]
なので、
\[\begin{split}
\delta_{11} = \delta_{22} = \delta_{33} = 1\\
\delta_{12} = \delta_{13} = \delta_{21} = \delta_{23} = \delta_{31} = \delta_{32} = 0\\
\end{split}\]
問1.4
3 × 2 行列 \(
\left(\begin{array}{ll}
5 & 4 \\
3 & 2 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\)
の転置行列を求めよ。
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{ll}
5 & 3 & 1\\
4 & 2 & 0
\end{array}\right)
\end{split}\]
問1.5
次の 1、2 の等式が成り立つように a, b, c の値を求めよ。
\(
\left(\begin{array}{ll}
a^2+b^2 & a b+b c \\
a b+b c & b^2+c^2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right)
\)
※行列を使うとかではないらしい
\[\begin{split}
a^2 + b^2 = 1\\
ab + bc = 0\\
b^2 + c^2 = 4
\end{split}\]
\(ab + bc = 0 \to b(a+c)=0\)
より、\(b = 0\) or \(a + c = 0\)の可能性がある
\[
ab = - bc
\]
のため
\(a+c=0\)について検討する
\[\begin{split}
(a^2 + b^2) - (b^2 + c^2) = 1 - 4\\
\to a^2 - c^2 = -3\\
\to \sqrt{ a^2 - c^2 } = \sqrt{ -3 }\\
\to a - c = \sqrt{ -3 }\\
\to a = \sqrt{ -3 } + c\\
\to a + c = \sqrt{ -3 } + 2c \neq 0\\
\end{split}\]
よって\(b = 0\)の可能性のみになるので、
\[\begin{split}
a^2 + b^2 = a^2 = 1 \to a = \pm 1\\
b^2 + c^2 = c^2 = 4 \to c = \pm 2\\
\end{split}\]
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{ccc}
a^2+b^2 & 1 & 2 a c \\
1 & 1 & 1 \\
2 c a & 1 & b^2+c^2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 b c & 1 \\
2 b c & c^2+a^2 & 2 a b \\
1 & 2 a c & 1
\end{array}\right)
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{cases}
\begin{align}
a^2 + b^2 &= 1\\
b^2 + c^2 &= 1\\
c^2 + a^2 &= 1\\
2ab &= 1\\
2ac &= 1\\
2bc &= 1\\
\end{align}
\end{cases}
\end{split}\]
という連立方程式とする
\[\begin{split}
\begin{align}
(a^2 + b^2) - (b^2 + c^2) &= 1 - 1\\
\to a^2 - c^2 &= 0 \\
\to a^2 = c^2
\\
(a^2 + b^2) - (a^2 + c^2) &= 1 - 1\\
\to b^2 - c^2 &= 0 \\
\to b^2 = c^2
\\
\therefore a^2 = b^2 = c^2
\end{align}
\end{split}\]
\[\begin{split}
a^2 + b^2 = 1\\
\to 2 a^2 = 1\\
\to a^2 = \frac{1}{2}\\
\end{split}\]
両辺に平方根をかけて
\[
\sqrt{a^2} = \sqrt{\frac{1}{2}}
\]
\(a\)の符号はわからないので
\[
|a| = \sqrt{\frac{1}{2}}
\]
平方根を単純化する
\[
|a| = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
有理化する
\[
|a| = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}
\]
したがって
\[
a = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}
\]
同様に
\[\begin{split}
a^2 = b^2 = c^2 = \frac{1}{2}\\
a = b = c = \pm \frac{\sqrt{2} }{2}\\
\end{split}\]
問1.6
A を (i, j) 成分が次の 1～4 により定められる 3 次の正方行列とする。A をそれぞれ具体的に表せ。
\(a_{i j}=i+j\)
\(a_{i j}=i j\)
\(a_{i j}=(-1)^{i+j}\)
\(a_{i j}=(-1)^{i j}\)
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
\end{split}\]
なので
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 6\\
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
3 & 6 & 9\\
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
-1 & 1 & -1\\
1 & -1 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1\\
1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
\end{split}\]
問1.7
転置してももとの行列と変わらない正方行列
\[
A = A^T
\]
次の（ア）、（イ）の行列が対象行列となるように a の値を求めよ。
\[\begin{split}\text { (ア) }\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
a^2 & a^3
\end{array}\right) \quad \text { (イ) }\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
a^3 & a^4 & a^5 \\
a^6 & a^7 & a^8
\end{array}\right)
\end{split}\]
（ア）
$\(
\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
a^2 & a^3
\end{array}\right)
= \left(\begin{array}{cc}
1 & a^2 \\
a & a^3
\end{array}\right)
\)$
で
\[\begin{split}
a^2 = a\\
\to a(a-1) = 0\\
\end{split}\]
\(a=0\)あるいは\(a-1=0 \to a=1\)
\[
\therefore a=0, 1
\]
（イ）
\[\begin{split}
a^3 = a\\
a^6 = a^2\\
a^7 = a^5
\end{split}\]
なので
\[\begin{split}
a^3 -a = 0\\
\to a (a^2 - 1) = 0\\
\to a = 0, 1, -1
\end{split}\]
問1.8
次の 1～3 の行列の (i, j) 成分をクロネッカーのデルタを用いて表せ。
\(\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)\)
行列の\((i,j)\)要素を\(a_{ij}\)と表すことにすると
\[
a_{ij} = i \times \delta_{ij}
\]
\(\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\)
\[
a_{ij} = \delta_{(i+1), j}
\]
\(\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\)
\[
a_{ij} = \delta_{i-1, j}
\]