直積

直積#

2つのベクトル $a, b$ のテンソル積

\begin{array}{r} a \circ b = a \otimes b = a b^{T} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \dots & a_{n} b_{n} \end{array}) \end{array}

を直積（direct product）あるいは外積（outer product）という。

行列積と直積の関係

行列 $A, B$ の $i$ 番目の列ベクトルを $a_{i}, b_{i}$ とし、行ベクトルを $a_{i}^{T}, b_{i}^{T}$ とする。このとき、

A^{T} B = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}^{T}

が成り立つ。この形式は計量経済学（回帰分析）の漸近正規性の証明などで多用される。

（例） $A, B \in R^{2 \times 2}$ のとき、

\begin{array}{r} \begin{aligned} A^{T} B & = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{11} b_{11} + a_{21} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{21} b_{22} \\ a_{12} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{12} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

であり、

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{12} \end{array}), b_{1}^{T} = (\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} \end{array}) \end{array}

から

\begin{array}{r} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{2} a_{i} b_{i}^{T} & = (\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{12} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} \end{array}) + (\begin{array}{c} a_{21} \\ a_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{21} & b_{22} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} \\ a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \end{array}) + (\begin{array}{c} a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} \\ a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

であるため。

行列積との関係

行列の一部をベクトルで表して（＝ブロック行列）、通常の行列積の定義をベクトルの積の形で表すこともできる

$n$ 次元正方行列 $A, B$ の $i$ 番目の列ベクトルを $a_{i}, b_{i}$ とし、行ベクトルを $a_{i}^{T}, b_{i}^{T}$ とする。このとき、

\begin{array}{r} \begin{aligned} B A & = (\begin{array}{c} b_{1}^{T} \\ b_{2}^{T} \\ ⋮ \\ b_{n}^{T} \end{array}) (\begin{array}{c} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1}^{T} a_{1} & b_{1}^{T} a_{2} & \dots & b_{1}^{T} a_{n} \\ b_{2}^{T} a_{1} & b_{2}^{T} a_{2} & \dots & b_{2}^{T} a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n}^{T} a_{1} & b_{n}^{T} a_{2} & \dots & b_{n}^{T} a_{n} \end{array}) \end{aligned} \end{array}