行列式の幾何的な解釈：体積拡大率

行列式の幾何的な解釈：体積拡大率#

2つのベクトルが四角形を表すとみなす。この四角形を変形させる行列 $A$ があったとき、変換後の四角形の面積はもとの面積の $det (A)$ 倍である、と解釈できる

（行列式の値が正の値のとき。負の場合は軸が反転して裏返しになる。 $det (A) = 0$ ならぺちゃんこに潰れている状態）

例えば $I \in R^{2 \times 2}$ が構成する四角形に $A$ を乗じて $A I = A$ とするときの拡大率ともいえるし、 $A$ の面積とも言える

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適当な行列 $A$ で変換するとこうなる

A = np.array([
    [1, 1],
    [0, 1]
])
e0_ = A @ e0
e1_ = A @ e1
y_ = e0_ + e1_

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平行四辺形の面積は底辺×高さ。今回は底辺も高さも1なので、面積は変わっていない。

この行列 $A$ の行列式は1になる

np.linalg.det(A)

1.0

参考：Chapter 6 行列式 | 線形代数のエッセンス - YouTube

（例）次のような行列の場合は…？#

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 1 & 102 \\ 1 & 103 \end{array}) \\ det (A) = 3 - 2 = 1, det (B) = 103 - 102 = 1 \end{array}

A = np.array([
    [1, 2],
    [1, 3]
])
B = np.array([
    [1, 102],
    [1, 103]
])
fig, axes = plt.subplots(ncols=2, figsize=[8, 4], dpi=72)

for X, ax in zip([A, B], axes):
    x0_ = X[0]
    x1_ = X[1]
    y_ = x0_ + x1_
    ax.grid(True, alpha=.5)
    ax.arrow(0, 0, *x0_, width=0.01, color="black", length_includes_head=True)
    ax.arrow(0, 0, *x1_, width=0.01, color="black", length_includes_head=True)

    d = np.array([x0_, y_])
    ax.plot(d[:, 0], d[:, 1], color="black", linestyle="--")
    d = np.array([x1_, y_])
    ax.plot(d[:, 0], d[:, 1], color="black", linestyle="--")

    x = np.linspace(0, y_[0], 11)
    ax.set(title=f"det = {np.linalg.det(X)}")
fig.show()

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どうしてそうなるのか#

$a, b$ を平面 $R^{2}$ の 2 つのベクトルとする。 $O$ を座標の原点とし、 $A, B$ を $\vec{O A}$ $= a, \vec{O B} = b$ であるような点とする。 $O A, O B$ を 2 辺とする平行四辺形 $O A P B$ を、 $a, b$ を2辺とする平行四辺形という。その面積Sを求めたい。

もし $a, b$ が1次従属なら、OAPBは1つの線分になるので $S = 0$

$a, b$ が1次独立のとき、 $a, b$ のなす角を $θ$ とすれば、 $B$ から辺 $O A$ に下した垂線の長さは $‖ b ‖ \sin θ$ であるから、面積は底辺×高さで

S = ‖ a ‖ ‖ b ‖ \sin θ

両辺を2乗にする

S^{2} = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} \sin^{2} θ

$\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ であり $\cos θ = \frac{a \cdot b}{‖ a ‖ ‖ b ‖}$ なので

\begin{array}{r} \begin{aligned} S^{2} & = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} \sin^{2} θ \\ = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} (1 - \frac{(a \cdot b)^{2}}{‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2}}) \\ = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} - (a \cdot b)^{2} \end{aligned} \end{array}

$a = (a_{1}, a_{2})^{T}, b = (b_{1}, b_{2})^{T}$ とすれば、

\begin{array}{r} \begin{aligned} S^{2} = ‖ a ‖^{2} ‖ b ‖^{2} - (a \cdot b)^{2} & = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) - {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})}^{2} \\ = {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} \end{aligned} \end{array}

ゆえに

S = | a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |

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import numpy as np

np.sin(np.pi) - np.cos(np.pi)

1.0000000000000002

- np.cos(np.pi) + np.sin(np.pi) 

1.0000000000000002

行列式の幾何的な解釈：体積拡大率

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行列式の幾何的な解釈：体積拡大率#

（例）次のような行列の場合は…？#

どうしてそうなるのか#