離散確率分布

離散確率分布#

離散確率分布（discrete probability distribution） は、0でない確率をとる確率変数値が高々可算個の確率分布のこと。

離散一様分布#

離散型確率変数 $X$ が

P (X = x | N) = \frac{1}{N}, x = 1, 2, . . ., N

なる確率関数をもつとき、 $X$ は離散一様分布（discrete uniform distribution）に従うという。

E [X] = \frac{1}{N} \sum_{x = 1}^{N} x = \frac{N + 1}{2}

V [X] = \frac{(N + 1) (N - 1)}{12}

ベルヌーイ分布#

ベルヌーイ試行とは、 $p$ の確率で「成功」、 $1 - p$ の確率で「失敗」する実験を行うことをいう。

確率変数 $X$ が成功のとき1、失敗のとき0をとるものとすると、確率関数は

\begin{array}{r} P (X = x | p) = {\begin{cases} p & (x = 1) \\ 1 - p & (x = 0) \end{cases} \end{array}

と書ける。これをベルヌーイ分布（Bernoulli distribution）という。

\begin{array}{r} \begin{aligned} E [X] & = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p \\ V [X] & = (1 - p)^{2} \times p + (0 - p)^{2} \times (1 - p) = p (1 - p) \end{aligned} \end{array}

二項分布#

ベルヌーイ試行を独立に $n$ 回行ったときの「成功」の回数の分布

$i = 1, 2, . . ., n$ に対して確率変数 $X_{i}$ を成功のとき1、失敗のとき0をとるものとすると、「成功」の回数は $Y = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ と表すことができる。

$Y = k$ となる確率は以下のようになる。

P (Y = k) =_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

例： $Y = 2$ となる確率の場合

成功が2回、失敗が $n - 2$ 回とする。

「成功」の事象を $A_{i}$ 、「失敗」の事象を $A_{i}^{c}$ とすると、最初の2回が「成功」となる事象の確率は

P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}^{c} \cap \dots \cap A_{n}^{c})

と表すことができる。

試行の独立性と $P (A_{i}) = p, P (A_{i}^{c}) = 1 - p$ から

\begin{array}{r} \begin{aligned} P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}^{c} \cap \dots \cap A_{n}^{c}) \\ = P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3}^{c}) \times \dots \times P (A_{n}^{c}) \\ = p^{2} (1 - p)^{n - 2} \end{aligned} \end{array}

と書くことができる。

$n$ 回試行して2回成功する事象の組み合わせは $A_{1} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3} \cap \dots \cap A_{n}^{c}$ や $A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3} \cap \dots \cap A_{n}$ など他にも考えられ、その場合の数は組み合わせの数になるため $_{n} C_{2}$ となる。

したがって、 $Y = 2$ となる確率は

P (Y = 2) =_{n} C_{2} p^{2} (1 - p)^{n - 2}

となり、この $2$ を $k$ にすれば上記のものになる

\begin{array}{r} E [X] = n p \\ V [X] = n p (1 - p) \end{array}

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離散確率分布

Contents

離散確率分布#

離散一様分布#

ベルヌーイ分布#

二項分布#