指数関数と対数関数

指数関数と対数関数#

指数関数#

（定義）指数関数

$a$ をある定数として、

y = a^{x}

を、 $a$ を底とする 指数関数（exponential function）という。

ネイピア数#

以下で定義される定数 $e$ をネイピア数という

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e = 2.7182818 \dots

（定義）自然指数関数

$e$ を底とする指数関数

y = e^{x}

を 指数関数（the exponential function）あるいは明示的に 自然指数関数という。

（英語だとtheがつくかどうかで底の違いを表現する。日本語だとややこしいが、標準的な指数関数は $e$ を底とする指数関数である）

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$x = 0$ のとき、 $e^{0} = 1$

$x = 1$ のとき、 $e^{1} = e$

$x = - 1$ のとき、 $e^{- 1} = \frac{1}{e} = 0.3678 \dots$

（定義）自然指数関数

指数関数にはいくつかの定義があり、オイラーによって最初に定義されたものは以下のものになる

\exp (x) = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}

マクローリン級数によって冪級数の形にした

\exp (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots

の定義もある

${(1 + \frac{x}{n})}^{n}$ を有限の範囲でいくつか試すと以下のようになる

x = 1
for n in range(1, 6):
    e = (1 + (x / n))**n
    print(f"{n=}, {e=:.3f}")

n=1, e=2.000
n=2, e=2.250
n=3, e=2.370
n=4, e=2.441
n=5, e=2.488

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指数(関数)の基本的性質（指数法則）#

指数法則

\begin{array}{r} \begin{aligned} a^{x} a^{y} & = a^{x + y} \\ {(a^{x})}^{y} & = a^{x y} \\ \frac{a^{x}}{a^{y}} & = a^{x - y} \\ {(\frac{a}{b})}^{x} & = \frac{a^{x}}{b^{x}} \end{aligned} \end{array}

例：

x^{- 1}

は？

$x^{- 1}$ と $x$ を乗じれば $x^{- 1} \times x^{1} = x^{- 1 + 1} = x^{0} = 1$ となる。

なので $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ となる。一般に $x^{- n}$ も同様。

例：

x^{\frac{1}{2}}

は？

$x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ を乗じれば $x^{\frac{1}{2}} \times x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x$ となる。

なので $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

対数関数#

指数関数の逆関数を 対数関数 （logarithmic function）という。

$a^{y} = x$ のとき、「 $y$ は $a$ を底とする $x$ の対数」といい

y = \log_{a} x

と表す。

（定義）対数

$a > 0, a \neq 1, M > 0$ について

a^{m} = M ⟺ m = \log_{a} M

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対数関数の性質#

$a > 0, a \neq 1, b > 0, M > 0, N > 0$ に対して

\begin{array}{r} \begin{aligned} \log_{a} 1 & = 0 \\ \log_{a} a & = 1 \\ \log_{a} \frac{x}{y} & = \log_{a} x - \log_{a} y \\ \log_{a} x y & = \log_{a} x + \log_{a} y \\ \log_{a} x^{y} & = y \log_{a} x \\ \log_{b} x & = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b} \end{aligned} \end{array}

例：

a^{x}

底が $a$ の対数を取る場合

\log_{a} (a^{x}) = x

自然対数を使う場合

\ln (a^{x}) = x \ln (a) (∵ \log x^{y} = y \log x の 性 質 よ り)

例：元本が2倍になる年数は？

年率5%の利益が複利で運用できるとして、元本が2倍になるには何年かかる？

利率 $r$ で $n$ 年間複利運用したときの利益率 $π$ は

(1 + r)^{n} = π

$r = 0.05$ とすると、 $π = 2$ になるのは

(1.05)^{n} = 2

両辺の対数をとると

\begin{array}{r} \log_{10} (1.05)^{n} = \log_{10} 2 \\ \to n \log_{10} 1.05 = \log_{10} 2 \\ \to n = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 1.05} \approx 14.2 \end{array}

なので約14年かかることになる。

import numpy as np
np.log10(2) / np.log10(1.05)

14.206699082890461