偏微分

2変数の関数

極限

定義（極限）

2つの変数\(x,y\)による関数\(f(x, y)\)があるとする。点P\((x,y)\)が点A\((a,b)\)と一致することなく点Aに近づくとする。このとき、関数\(f(x,y)\)の値が、その近づき方によらず同じ1つの値\(c\)に近づくならば、\(f(x,y)\)には 極限 が存在して、その 極限値 は\(c\)である、あるいは「\(f(x,y)\)は\(c\)に 収束する」といい

\[\begin{split} f(x, y) \rightarrow c \quad(x \rightarrow a, y \rightarrow b), \quad \lim _{\substack{x \rightarrow a, \\ y \rightarrow b}} f(x, y)=c, \quad \lim_{\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{A}} f(x, y)=c, \quad \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=c \end{split}\]

などと表す。

例：近づき方が異なるとき、極限は存在しない

関数 \(\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\) において, \(x \rightarrow 0, y \rightarrow 0\) の極限を調べる。

この関数の定義域は全平面から原点\(O\)を除外して得られる領域である。 点P\((x, y)\)が2つの方法でOに近づくとする。

(1) \(x\)軸に沿って原点に近づく場合

\(f(x, 0) = x^2 / (x^2 + 0) = 1\)なので

\[ \lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=\lim _{x \rightarrow 0} 1=1 \]

(2) \(y\)軸に沿って原点に近づく場合

\(f(0, y)=0 /(0+y^2)=0\)なので

\[ \lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=\lim _{y \rightarrow 0} 0=0 \]

したがって、原点への近づき方によって異なる値をとるため、極限値\(\displaystyle \lim_{P\to 0} f(x,y)\)は存在しない

連続

定義（連続）

点\(A(a,b)\)の近くで定義されている関数\(z=f(x,y)\)について、次の3つの条件を満たすとき、\(f(x,y)\)は\(A(a,b)\)において 連続 であるという。

1. \(f(a, b)\) が定義されている

2. \(\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow a \\ y \rightarrow b}} f(x, y)\) が存在する

3. \(\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow a \\ y \rightarrow b}} f(x, y)=f(a, b)\)

例

Q. 関数

\[\begin{split} f(x, y)= \begin{cases} \frac{x y}{x^2+y^2} & ((x, y) \neq(0,0)) \\ 0 & ((x, y)=(0,0)) \end{cases} \end{split}\]

の原点\((0,0)\)での連続性を調べよ。

\(f(0,0)\)は定義されている。

\(f(x,y)\)は\(x=0\)あるいは\(y=0\)のとき常に\(0\)であるから、\(x\)軸や\(y\)軸に沿って原点に近づくとき

\[\begin{split} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=0=f(0,0)\\ \lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=0=f(0,0) \end{split}\]

しかし直線\(y=mx(m\neq 0)\)に沿って原点に近づくと

\[ \lim _{x \rightarrow 0} f(x, m x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{m x^2}{x^2+m^2 x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{m}{1+m^2}=\frac{m}{1+m^2} \neq f(0,0) \]

となり、\(m\)の値によって（原点への近づけ方によって）異なる値になるため極限は存在せず、連続でもない

偏微分

関数\(z = f(x, y)\)があるとする。\(y\)を一定として\(x\)を変動させることを考えると、\(f(x, y)\)は\(x\)だけの関数になるので、その導関数

\[ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x} \]

が存在すれば、偏微分可能 であるという。また\(\frac{\partial f}{\partial x}\)を\(f(x,y)\)の\(x\)に関する 偏導関数 （partial derivative）という。

偏微分の記号

\(f(x,y)\)の\(x\)に関する偏導関数は、以下のような記号で表される。

\[ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \quad f_x, \quad f_x(x, y), \quad \frac{\partial z}{\partial x}, \quad z_x, \quad \left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right|_y \]

高階の偏微分

\[\begin{split} \begin{aligned} & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right)=f_{x x}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right)=f_{x y}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right)=f_{y y}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right)=f_{y x}(x, y) \end{aligned} \end{split}\]

定理：偏微分の順序を交換しても偏導関数は変わらない

\(f_{xy}\)と\(f_{yx}\)が連続ならば、

\[ f_{x y}=f_{y x} \]

陰関数の微分

\(y=f(x)\)のように、\(x\)に対応する\(y\)の具体的な表式が示されているとき、\(y\)は\(x\)の 陽関数 （explicit function）であるという。

\(F(x,y)=0\)のように関係式として定められているだけのとき、\(y\)は\(x\)の 陰関数 （inplicit function）であるという。

例

\(F(x,y)=0\)のとき、\(y\)による偏導関数\(F_y\)が\(F_y \neq 0\)ならば

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x(x, y)}{F_y(x,y)} = - \frac{\partial F(x,y) / \partial x} {\partial F(x,y) / \partial y} \]

証明

\(y\) は \(x\) の関数だから、 \(d y=\frac{d y}{d x} d x\)。

また\(F(x,y)=0\)だから、\(dF=0\)。

したがって

\[ d F=\frac{\partial F}{\partial x} d x+\frac{\partial F}{\partial y} d y=\left(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d x}\right) d x=0 \]

よって

\[ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d x}=0 \]

例

例題

\[ 3 x^2+4 y^2-5 z^2=20 \]

の\(\frac{\partial z}{\partial x}\)と\(\frac{\partial z}{\partial y}\)を求めよ。

\[ F(x,y,z) := 3x^2 + 4y^2 - 5z^2 - 20 = 0 \]

とおく。

\[ \frac{\partial F}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 8y, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = -10z \]

であり、\(\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0\)のため、定理

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F / \partial z} , \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial F/\partial y}{\partial F / \partial z} \]

より

\[\begin{split} \begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial F/\partial x}{\partial F / \partial z} = \frac{6x}{10z} = \frac{3x}{5z} \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\partial F/\partial y}{\partial F / \partial z} = \frac{8y}{10z} = \frac{4y}{5z} \end{align} \end{split}\]