偏微分

偏微分#

2変数の関数#

極限#

定義（極限）

2つの変数 $x, y$ による関数 $f (x, y)$ があるとする。点P $(x, y)$ が点A $(a, b)$ と一致することなく点Aに近づくとする。このとき、関数 $f (x, y)$ の値が、その近づき方によらず同じ1つの値 $c$ に近づくならば、 $f (x, y)$ には極限が存在して、その 極限値 は $c$ である、あるいは「 $f (x, y)$ は $c$ に 収束する」といい

\begin{array}{r} f (x, y) \to c (x \to a, y \to b), lim_{\begin{array}{c} x \to a, \\ y \to b \end{array}} f (x, y) = c, lim_{P \to A} f (x, y) = c, lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = c \end{array}

などと表す。

例：近づき方が異なるとき、極限は存在しない

関数 $f (x, y) = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ において, $x \to 0, y \to 0$ の極限を調べる。

この関数の定義域は全平面から原点 $O$ を除外して得られる領域である。点P $(x, y)$ が2つの方法でOに近づくとする。

(1) $x$ 軸に沿って原点に近づく場合

$f (x, 0) = x^{2} / (x^{2} + 0) = 1$ なので

lim_{x \to 0} f (x, 0) = lim_{x \to 0} 1 = 1

(2) $y$ 軸に沿って原点に近づく場合

$f (0, y) = 0 / (0 + y^{2}) = 0$ なので

lim_{y \to 0} f (0, y) = lim_{y \to 0} 0 = 0

したがって、原点への近づき方によって異なる値をとるため、極限値 $lim_{P \to 0} f (x, y)$ は存在しない

連続#

定義（連続）

点 $A (a, b)$ の近くで定義されている関数 $z = f (x, y)$ について、次の3つの条件を満たすとき、 $f (x, y)$ は $A (a, b)$ において連続であるという。

$f (a, b)$ が定義されている
$lim_{\begin{matrix} x \to a \\ y \to b \end{matrix}} f (x, y)$ が存在する
$lim_{\begin{matrix} x \to a \\ y \to b \end{matrix}} f (x, y) = f (a, b)$

例

Q. 関数

\begin{array}{r} f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} & ((x, y) \neq (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{cases} \end{array}

の原点 $(0, 0)$ での連続性を調べよ。

$f (0, 0)$ は定義されている。

$f (x, y)$ は $x = 0$ あるいは $y = 0$ のとき常に $0$ であるから、 $x$ 軸や $y$ 軸に沿って原点に近づくとき

\begin{array}{r} lim_{x \to 0} f (x, 0) = 0 = f (0, 0) \\ lim_{y \to 0} f (0, y) = 0 = f (0, 0) \end{array}

しかし直線 $y = m x (m \neq 0)$ に沿って原点に近づくと

lim_{x \to 0} f (x, m x) = lim_{x \to 0} \frac{m x^{2}}{x^{2} + m^{2} x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{m}{1 + m^{2}} = \frac{m}{1 + m^{2}} \neq f (0, 0)

となり、 $m$ の値によって（原点への近づけ方によって）異なる値になるため極限は存在せず、連続でもない

偏微分#

関数 $z = f (x, y)$ があるとする。 $y$ を一定として $x$ を変動させることを考えると、 $f (x, y)$ は $x$ だけの関数になるので、その導関数

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x, y) - f (x, y)}{Δ x}

が存在すれば、偏微分可能 であるという。また $\frac{\partial f}{\partial x}$ を $f (x, y)$ の $x$ に関する 偏導関数 （partial derivative）という。

偏微分の記号

$f (x, y)$ の $x$ に関する偏導関数は、以下のような記号で表される。

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}, f_{x}, f_{x} (x, y), \frac{\partial z}{\partial x}, z_{x}, {\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} |}_{y}

高階の偏微分#

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}) = f_{x x} (x, y) \\ \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f (x, y)}{\partial x}) = f_{x y} (x, y) \\ \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f (x, y)}{\partial y}) = f_{y y} (x, y) \\ \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f (x, y)}{\partial y}) = f_{y x} (x, y) \end{aligned} \end{array}

定理：偏微分の順序を交換しても偏導関数は変わらない

$f_{x y}$ と $f_{y x}$ が連続ならば、

f_{x y} = f_{y x}

陰関数の微分#

$y = f (x)$ のように、 $x$ に対応する $y$ の具体的な表式が示されているとき、 $y$ は $x$ の 陽関数 （explicit function）であるという。

$F (x, y) = 0$ のように関係式として定められているだけのとき、 $y$ は $x$ の 陰関数 （inplicit function）であるという。

例

$F (x, y) = 0$ のとき、 $y$ による偏導関数 $F_{y}$ が $F_{y} \neq 0$ ならば

\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x} (x, y)}{F_{y} (x, y)} = - \frac{\partial F (x, y) / \partial x}{\partial F (x, y) / \partial y}

例

例題

3 x^{2} + 4 y^{2} - 5 z^{2} = 20

の $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めよ。

F (x, y, z) := 3 x^{2} + 4 y^{2} - 5 z^{2} - 20 = 0

とおく。

\frac{\partial F}{\partial x} = 6 x, \frac{\partial F}{\partial y} = 8 y, \frac{\partial F}{\partial z} = - 10 z

であり、 $\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ のため、定理

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial z}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{\partial F / \partial y}{\partial F / \partial z}

より

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} & = \frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial z} = \frac{6 x}{10 z} = \frac{3 x}{5 z} \\ \frac{\partial z}{\partial y} & = \frac{\partial F / \partial y}{\partial F / \partial z} = \frac{8 y}{10 z} = \frac{4 y}{5 z} \end{aligned} \end{array}

偏微分

Contents

偏微分#

2変数の関数#

極限#

連続#

偏微分#

高階の偏微分#

陰関数の微分#