練習問題メモ 12（行列の指数関数）

練習問題メモ 12（行列の指数関数）#

https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2012-2016/2012/la1/120627la1.pdf

行列指数関数

\begin{array}{r} \begin{aligned} \exp (A) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{n} \\ = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \dots \end{aligned} \end{array}

定理： $\exp (A + B) = \exp (A) \exp (B)$

2つの $n$ 次正方行列 $A, B$ について、両者が可換ならば

\exp (A + B) = \exp (A) \exp (B)

定理： $\exp (A)^{- 1} = \exp (- A)$

\begin{array}{r} \begin{aligned} \exp (A) \exp (- A) & = \exp (A - A) \\ = \exp (O) \\ = I \end{aligned} \end{array}

よって

\exp (A)^{- 1} = \exp (- A)

定理： $\exp (A)^{T} = \exp (A^{T})$

$k = 1, 2, \dots$ について

(A^{T})^{k} = (A^{k})^{T}

であるため

\exp (A)^{T} = \exp (A^{T})

問1#

正方行列 $(\begin{array}{ll} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array})$ の指数関数を求めよ。

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array}) \end{array}

とする。

数学的帰納法により、

\begin{array}{r} A^{n} = (\begin{array}{c} λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & λ^{n} \end{array}) \end{array}

であるため

$A$ の指数関数 $e^{A}$ は

\begin{array}{r} \begin{aligned} e^{A} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{n} \\ = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \dots \\ = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array}) + \frac{1}{2!} (\begin{array}{c} λ^{2} & 2 λ \\ 0 & λ^{2} \end{array}) + \dots \end{aligned} \end{array}

$(1, 1)$ 要素と $(2, 2)$ 要素は

\begin{array}{r} \begin{aligned} A_{11} = A_{22} & = 1 + λ + \frac{λ^{2}}{2!} + \frac{λ^{3}}{3!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \\ = e^{λ} \end{aligned} \end{array}

である。

$(1, 2)$ 要素もまた

\begin{array}{r} \begin{aligned} A_{12} & = 0 + 1 + \frac{2 λ}{2!} + \frac{3 λ^{2}}{3!} + \dots \\ = 1 + λ + \frac{λ^{2}}{2!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \\ = e^{λ} \end{aligned} \end{array}

よって

\begin{array}{r} e^{A} = (\begin{array}{c} e^{λ} & e^{λ} \\ 0 & e^{λ} \end{array}) \end{array}

行列指数関数

$n$ 次正方行列 $X$ の指数関数 $e^{X}$ は以下のように定義される

e^{X} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} X^{n}

例：

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}) \end{array}

のような対角行列なら

\begin{array}{r} A^{k} = (\begin{array}{c} 3^{k} & 0 \\ 0 & 4^{k} \end{array}) \end{array}

となるので、

\begin{array}{r} \begin{aligned} e^{A} & = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \dots \\ = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + (\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}) + \frac{1}{2!} (\begin{array}{cc} 3^{2} & 0 \\ 0 & 4^{2} \end{array}) + \dots \\ = (\begin{array}{cc} e^{3} & 0 \\ 0 & e^{4} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

別解

https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2012-2016/2012/la1/120627la1.pdf

2つの $n$ 次正方行列 $A, B$ について、両者が可換ならば

\exp (A + B) = \exp (A) \exp (B)

という定理を使う方法。

\begin{array}{r} N = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) \end{array}

とおいて、

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array}) = λ I + N \end{array}

として、

\begin{array}{r} \begin{aligned} \exp (\begin{array}{c} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array}) & = \exp (λ I + N) \\ = \exp (λ I) \exp (N) (∵ λ I と N は 可 換) \\ = (e^{λ} I) (I + N) (∵ N^{2} = O) \\ = (\begin{array}{c} e^{λ} & e^{λ} \\ 0 & e^{λ} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

とする。

問2#

$A$ が交代行列ならば、 $\exp (A)$ は直交行列であることを示せ。

交代行列： $A^{T} = - A$
直交行列： $A^{T} = A^{- 1}$

$A$ が交代行列、すなわち $A^{T} = - A$ であれば

\begin{array}{r} \begin{aligned} \exp (A)^{T} & = \exp (A^{T}) (∵ 転 置 の 定 理 (A B)^{T} = B^{T} A^{T} よ り 、 (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n}) \\ = \exp (- A) (∵ A が 交 代 行 列 と い う 仮 定) \\ = \exp (A)^{- 1} (∵ \exp (A) \exp (- A) = \exp (A - A) = I よ り \exp (- A) = \exp (A)^{- 1}) \end{aligned} \end{array}

(e^{A})^{T} = 0

とはならないのか？

\begin{array}{r} \begin{aligned} (e^{A})^{T} & = {(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{n})}^{T} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(A^{n})}^{T} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- A)}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (- 1)^{n} A^{n} \\ = \sum_{n \in {x \in N | x は 偶 数}} \frac{1}{n!} A^{n} - \sum_{n \in {x \in N | x は 奇 数}} \frac{1}{n!} A^{n} \end{aligned} \end{array}

問3#

次の文章のを埋めよ。

$A, B$ を $n$ 次の正方行列とする。トレースについて、次の $1 \sim 3$ が成り立つことを示す。

$tr (A^{T}) = tr A$
$tr (A B) = tr (B A)$
$B$ が正則行列のとき、 $tr (B^{- 1} A B) = tr A$
$A^{T}$ の $(i, i)$ 成分は $A$ の $1$ 成分に一致するから、トレースの定義より、 1 が成り立つ。
$A, B$ の $(i, j)$ 成分をそれぞれ $a_{i j}, b_{i j}$ とおくと、

tr (A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} 2 = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{j i} a_{i j} = tr (3)

よって、2が成り立つ。

$B$ が正則行列ならば、 $B$ の逆行列 $B^{- 1}$ が存在し、

tr (B^{- 1} A B) = tr (B^{- 1} (A B)) = tr (4) = tr (5)

よって、3が成り立つ。

$1 : (i, i)$
$2 : a_{i j} b_{j i}$
$3 : B A$
$4 : (A B) B^{- 1}$
$5 : A$

練習問題メモ 12（行列の指数関数）

Contents

練習問題メモ 12（行列の指数関数）#

問1#

n=1のとき $A1=(λ11×λ00λ1)n = 2のときのとき$ A^2 = \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix}

問2#

問3#

$n = 1$ のとき $ $A^{1} = (\begin{matrix} λ^{1} & 1 \times λ^{0} \\ 0 & λ^{1} \end{matrix})$ n = 2 $のとき$ $ A^2 = \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix}