練習問題メモ 12（行列の指数関数）

https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2012-2016/2012/la1/120627la1.pdf

行列指数関数

\[\begin{split} \begin{aligned} \exp(A) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^n\\ &=I + A + \frac{A^2}{2 !} + \cdots \\ \end{aligned} \end{split}\]

定理：\(\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)\)

2つの\(n\)次正方行列\(A,B\)について、両者が可換ならば

\[ \exp(A+B) = \exp(A) \exp(B) \]

定理：\(\exp(A)^{-1} = \exp(-A)\)

\[\begin{split} \begin{align} \exp(A)\exp(-A) &= \exp(A - A)\\ &= \exp(O)\\ &= I\\ \end{align} \end{split}\]

よって

\[ \exp(A)^{-1} = \exp(-A) \]

定理：\(\exp(A)^{T} = \exp(A^T)\)

\(k=1,2,\dots\)について

\[ (A^T)^k = (A^k)^T \]

であるため

\[ \exp(A)^{T} = \exp(A^T) \]

問1

正方行列 \(\left(\begin{array}{ll}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)\) の指数関数を求めよ。

\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{split}\]

とする。

数学的帰納法により、

\[\begin{split} A^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1}\\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} \end{split}\]

であるため

証明

\(n=1\)のとき $\( A^1 = \begin{pmatrix} \lambda^1 & 1 \times \lambda^{0}\\ 0 & \lambda^1 \end{pmatrix} \)\( \)n = 2\(のとき \)$ A^2 = \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1\ 0 & \lambda \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \lambda^2 & 2 \lambda\ 0 & \lambda^2 \end{pmatrix} $\( \)n=k\(とおくと \)\( \begin{align} A^k &= A^{k-1} A\\ &= \begin{pmatrix} \lambda^{k-1} & k-1 \lambda^{k-2}\\ 0 & \lambda^{k-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1}\\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \end{align} \)\( \)n = k+1\(のとき \)\( \begin{align} A^{k+1} &= A^{k} A\\ &= \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1}\\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^{k+1} & (k+1) \lambda^{k}\\ 0 & \lambda^{k+1} \end{pmatrix} \end{align} \)\( よって \)\( A^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1}\\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} \)$

\(A\)の指数関数\(e^A\)は

\[\begin{split} \begin{aligned} e^A &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^n\\ &= I + A + \frac{A^2}{2 !} + \cdots \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} + \frac{1}{2!} \begin{pmatrix} \lambda^2 & 2\lambda\\ 0 & \lambda^2 \end{pmatrix} + \cdots\\ \end{aligned} \end{split}\]

\((1,1)\)要素と\((2,2)\)要素は

\[\begin{split} \begin{align} A_{11} = A_{22} &= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\\ &= e^\lambda \end{align} \end{split}\]

である。

\((1,2)\)要素もまた

\[\begin{split} \begin{align} A_{12} &= 0 + 1 + \frac{2\lambda}{2!} + \frac{3\lambda^2}{3!} + \cdots\\ &= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \cdots\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\\ &= e^\lambda \end{align} \end{split}\]

よって

\[\begin{split} e^A = \begin{pmatrix} e^{\lambda} & e^{\lambda}\\ 0 & e^{\lambda} \end{pmatrix} \end{split}\]

行列指数関数

\(n\)次正方行列\(X\)の指数関数\(e^X\)は以下のように定義される

\[ e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} X^n \]

例：

\[\begin{split} A=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right) \end{split}\]

のような対角行列なら

\[\begin{split} A^k = \begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 4^k \end{pmatrix} \end{split}\]

となるので、

\[\begin{split} \begin{aligned} e^A & =I+A+\frac{A^2}{2 !}+\cdots \\ & =\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right)+\frac{1}{2 !}\left(\begin{array}{cc} 3^2 & 0 \\ 0 & 4^2 \end{array}\right)+\cdots \\ & =\left(\begin{array}{cc} e^3 & 0 \\ 0 & e^4 \end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

• 行列指数関数 - Wikipedia

• 行列の指数関数とその性質 | 高校数学の美しい物語

別解

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2つの\(n\)次正方行列\(A,B\)について、両者が可換ならば

\[ \exp(A+B) = \exp(A) \exp(B) \]

という定理を使う方法。

\[\begin{split} N= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

とおいて、

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I + N \end{split}\]

として、

\[\begin{split} \begin{align} \exp \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} &= \exp(\lambda I + N)\\ &= \exp(\lambda I) \exp(N)\quad (\because \lambda IとNは可換)\\ &= (e^\lambda I) (I + N) \quad (\because N^2=O)\\ &= \begin{pmatrix} e^\lambda & e^\lambda\\ 0 & e^\lambda \end{pmatrix} \end{align} \end{split}\]

とする。

問2

\(A\) が交代行列ならば、\(\exp(A)\)は直交行列であることを示せ。

• 交代行列：\(A^T = -A\)

• 直交行列：\(A^T = A^{-1}\)

\(A\)が交代行列、すなわち\(A^T=-A\)であれば

\[\begin{split} \begin{align} \exp(A)^T &= \exp(A^T) \quad (\because 転置の定理 (AB)^T = B^T A^T より、 (A^n)^T = (A^T)^n )\\ &= \exp(-A) \quad (\because Aが交代行列という仮定) \\ &= \exp(A)^{-1} \quad (\because \exp(A)\exp(-A) = \exp(A-A) = I より \exp(-A) = \exp(A)^{-1}) \end{align} \end{split}\]

\((e^A)^T = 0\)とはならないのか？

\[\begin{split} \begin{align} (e^A)^T &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^n \right)^T\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \left( A^n \right)^T\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \left( -A \right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} (-1)^n A^n\\ &= \sum_{n \in \{x \in \mathbb{N}|xは偶数\} } \frac{1}{n !} A^n - \sum_{n \in \{x \in \mathbb{N}|xは奇数\} } \frac{1}{n !} A^n \\ \end{align} \end{split}\]

問3

次の文章の\(\boxed{ }\)を埋めよ。

\(A, B\) を \(n\) 次の正方行列とする。トレースについて、次の \(1 \sim 3\) が成り立つことを 示す。

1. \(\operatorname{tr}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\operatorname{tr} A\)

2. \(\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)\)

3. \(B\) が正則行列のとき、 \(\operatorname{tr}\left(B^{-1} A B\right)=\operatorname{tr} A\)

4. \(A^{\mathrm{T}}\) の \((i, i)\) 成分は \(A\) の \(\boxed{1}\) 成分に一致するから、トレースの定義より、 1 が成り立つ。

5. \(A, B\) の \((i, j)\) 成分をそれぞれ \(a_{i j}, b_{i j}\) とおくと、

\[ \operatorname{tr}(A B) =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \boxed{ 2 } = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n b_{j i} a_{i j} =\operatorname{tr}(\boxed{3}) \]

よって、2が成り立つ。

3. \(B\) が正則行列ならば、 \(B\) の逆行列 \(B^{-1}\) が存在し、

\[ \operatorname{tr}\left(B^{-1} A B\right) =\operatorname{tr}\left(B^{-1}(A B)\right) =\operatorname{tr}(\boxed{4}) =\operatorname{tr}(\boxed{5}) \]

よって、3が成り立つ。

• \(\boxed{1}: (i,i)\)

• \(\boxed{2}: a_{ij} b_{ji}\)

• \(\boxed{3}: BA\)

• \(\boxed{4}: (AB)B^{-1}\)

• \(\boxed{5}: A\)