ベクトル

シンプルな定義

数を並べた組をベクトルという。

\[ % 太字のalias \newcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}} % \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) \]

もっと厳密な定義

任意の元\(x, y \in L\)と任意の実数\(a, b\)について実数倍\(ax, by\)とそれらの和\(ax + by\)が定義されており、 かならず\(ax + by \in L\)が成り立つような集合\(L\)を ベクトル空間（vector space） という。また\(L\)の元を ベクトル（vector） という

ベクトルの和とスカラー倍

2つの\(n\)次元ベクトル

\[\begin{split} \b{a} = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} , \hspace{2em} \b{b} = \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} \end{split}\]

とスカラー\(c\)があるとする。

足し算

ベクトル\(\b{a},\b{b}\)の足し算を次のように定義する

\[\begin{split} \b{a}+\b{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\ \vdots\\ a_n + b_n \end{pmatrix} \end{split}\]

スカラー倍

ベクトル\(\b{a}\)のスカラー\(c\)倍を次のように定義する

\[\begin{split} c \b{a} = \begin{pmatrix} c a_1\\ \vdots\\ c a_n \end{pmatrix} \end{split}\]

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import japanize_matplotlib

a = np.array([1, 1])
b = np.array([1, 2])
o = np.array([0, 0])
c = 3

fig, axes = plt.subplots(ncols=2, figsize=[6, 2.5])

# 和
ax = axes[0]
cmap = mpl.colormaps['tab10']
for i, (v, label) in enumerate([(a, "a"), (b, "b"), ((a+b), "a+b")]):
    ax.arrow(*o, *v, width=0.02, color=cmap(i), length_includes_head=True, alpha=0.5)
    ax.text(v[0], v[1], label, color=cmap(i))
longest_v = (a+b)
ax.set(xticks=range(longest_v[0]+1), yticks=range(longest_v[1]+1), title=r"ベクトルの和 $a+b$")
ax.grid(True, alpha=0.3)

# スカラー倍
ax = axes[1]
for i, (v, label) in enumerate([(a, "a"), (a * c, "ca")]):
    ax.arrow(*o, *v, width=0.02, color=cmap(i), length_includes_head=True, alpha=0.5)
    ax.text(v[0] - 0.1, v[1] + 0.1, label, color=cmap(i))
longest_v = c * a
ax.set(xticks=range(longest_v[0]+1), yticks=range(longest_v[1]+1), title=r"スカラー倍 $c a$")
ax.grid(True, alpha=0.3)

fig.show()