一般化モーメント法と操作変数法#
母集団モーメントを利用する母回帰係数の表記
単回帰モデル\(Y_i = \alpha + \beta X + \gamma Z_i + u_i\)のとき、
\[
\beta_{IV} = \frac{Cov(Z_i, Y_i)}{ Cov(Z_i, X_i) }
, \hspace{2em}
\alpha_{IV} = E(Y_i) - \beta_{IV} E(X_i)
\]
モーメント条件から導出するOLS#
IV推定量（行列表記）#
同時方程式モデル
\[\begin{split}
Y_1 = \beta_1 Y_2 + \gamma_1 Z_1 + \varepsilon_1\\
Y_2 = \beta_2 Y_1 + \gamma_2 Z_2 + \varepsilon_2
\end{split}\]
があるとする。外生変数が\(Z\)である。
行列形式で\(\boldsymbol{\beta}_1 = (\beta_1, \gamma_1)^T\)のようにまとめて
\[\begin{split}
\newcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}}
\b{Y}_1 = [\b{Y}_2|\b{Z}_1] \b{\beta}_1 + \b{\varepsilon}_1 = \b{X}_1 \b{\beta}_1 + \b{\varepsilon}_1\\
\b{Y}_2 = [\b{Y}_1|\b{Z}_2] \b{\beta}_2 + \b{\varepsilon}_2 = \b{X}_2 \b{\beta}_2 + \b{\varepsilon}_2
\end{split}\]
と書くことにする。外生変数からなる行列を\(\b{Z} = [\b{Z}_1|\b{Z}_2]\)と表し、転置行列を左から掛けると
\[
\b{Z}^T \b{Y}_1 = \b{Z}^T \b{X}_1 \b{\beta}_1 + \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1
\]
\(\b{Z}^T \b{X}_1\)の逆行列の存在を仮定して掛けると
\[
(\b{Z}^T \b{X}_1)^{-1} \b{Z}^T \b{Y}_1 = \b{\beta}_1
+ (\b{Z}^T \b{X}_1)^{-1} \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1
\]
標本モーメントを使って表すと
\[
\left( \frac{ \b{ Z^T X}_1 }{n} \right) ^{-1}
\left( \frac{ \b{ Z^T Y}_1 }{n} \right)
= \b{\beta}_1
+ \left( \frac{ \b{ Z^T X}_1 }{n} \right)^{-1}
\left( \frac{ \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1 }{n} \right)
\]
\(\b{Z^T X}_1/n\)は定数に、\(\b{Z}^T \b{\varepsilon}_1/n\)は\(\b{Z}\)が誤差項\(\b{\varepsilon}\)と無相関であれば\(0\)に確率収束する。
\[
\b{b}_1^{(IV)} = (\b{ Z^T X}_1)^{-1} \b{ Z^T Y}_1
\]
を**操作変数推定量（instrumental variable estimator）**という。
\(\b{Y}_1 = \b{X}_1 \b{\beta}_1 + \b{\varepsilon}_1\)を代入すると
\[\begin{split}
\begin{align}
\b{b}_1^{(IV)}
&= (\b{ Z^T X}_1)^{-1} \b{Z}^T (\b{X}_1 \b{\beta}_1 + \b{\varepsilon}_1)\\
&= (\b{ Z^T X}_1)^{-1} \b{Z}^T \b{X}_1 \b{\beta}_1
+ (\b{ Z^T X}_1)^{-1} \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1\\
&= \b{\beta}_1 + (\b{ Z^T X}_1)^{-1} \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1\\
\end{align}
\DeclareMathOperator*{\plim}{plim}
\end{split}\]
となる。確率極限をとると\(\plim_{n\to\infty} \b{Z}^T \b{\varepsilon}_1/n = 0\)なので
\[
\DeclareMathOperator*{\plim}{plim}
\plim_{n\to\infty} \b{b}_1^{(IV)}
= \b{\beta}_1
\]
標本モーメントの確率極限
\(n\)を大きくしていったとき、標本平均\(\sum_i X_i / n\)は母平均\(\mu\)に一致する。これを確率極限といい、\(\text{plim}(\sum_i X_i / n) = \mu\)のように表す。
\[
\text{ plim }\left( \frac{\sum_i X_i^2}{n} \right)
= \text{ plim }\left( \frac{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}}{n} \right)
= \mu^2 - \sigma^2
\]
（\(Var[X] = E[X^2] - E[X]^2\)なので\(\mu^2\)が残っている)
2つの変数の2次の標本モーメントは
\[
\text{ plim }\left( \frac{\sum_i X_i Y_i}{n} \right)
= \text{ plim }\left( \frac{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{y}}{n} \right)
= \mu_X \mu_Y - \sigma_{XY}
\]
となる。平均がゼロで\(X\)と無相関の\(\varepsilon\)との2次の標本モーメントは
\[
\text{ plim }\left( \frac{\sum_i X_i \varepsilon_i}{n} \right)
= \text{ plim }\left( \frac{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\varepsilon}}{n} \right)
= \mu_X \mu_{\varepsilon} - \sigma_{X \varepsilon}
= 0
\]
となる
# Generate Data
import numpy as np
np.random.seed(0)
n = 10
b = np.array([0.3, 0.5])
z = np.array([])
x = np.array([])
y = np.array([])
for i in range(10):
z_ = np.random.uniform(low=0, high=100, size=n)
if i == 0:
x_ = np.zeros(shape=(n,))
else:
x_ = y_
y_ = b[0] * x_ + b[1] * z_ + np.random.normal(size=n)
z = np.concatenate([z, z_])
x = np.concatenate([x, x_])
y = np.concatenate([y, y_])
Z = z.reshape(n*10, -1)
X = x.reshape(n*10, -1)
import seaborn as sns
import pandas as pd
df = pd.DataFrame(dict(y=y, x=x, z=z))
sns.pairplot(df, height=1.5, y_vars=["y", "x"])
<seaborn.axisgrid.PairGrid at 0x7fdd001de620>
np.linalg.inv(Z.T @ X) @ (Z.T @ y)
array([1.4245943])
# Generate Data
import numpy as np
n = 500
np.random.seed(0)
b_zx = 0.5
b_xy = 0.8
z = np.random.uniform(low=0, high=100, size=n)
u = np.random.normal(scale=10, size=n) # unobserved variable
x = u + b_zx * z + np.random.normal(scale=5, size=n) # Z -> X
y = u + b_xy * x + np.random.normal(size=n) # X -> Y; U -> {X, Y}
X = x.reshape(n, -1)
Z = z.reshape(n, -1)
import seaborn as sns
import pandas as pd
df = pd.DataFrame(dict(y=y, x=x, z=z, u=u, e=e))
sns.pairplot(df, height=1.5, y_vars=["y", "x"])
---------------------------------------------------------------------------
NameError Traceback (most recent call last)
Cell In[3], line 18
16 import seaborn as sns
17 import pandas as pd
---> 18 df = pd.DataFrame(dict(y=y, x=x, z=z, u=u, e=e))
19 sns.pairplot(df, height=1.5, y_vars=["y", "x"])
NameError: name 'e' is not defined
# OLS
np.linalg.inv(X.T @ X) @ (X.T @ y)
array([0.87772517])
# IV
z2y = np.linalg.inv(Z.T @ Z) @ (Z.T @ y)
z2x = np.linalg.inv(Z.T @ Z) @ (Z.T @ x)
z2y / z2x
array([0.77019506])
z2x
array([0.49124653])
# IV
np.linalg.inv(Z.T @ X) @ (Z.T @ y)
array([0.77019506])
from linearmodels.iv import IV2SLS
model = IV2SLS.from_formula("y ~ [x ~ z]", df).fit()
model
| Dep. Variable: | y | R-squared: | 0.8714 |
|---|---|---|---|
| Estimator: | IV-2SLS | Adj. R-squared: | 0.8711 |
| No. Observations: | 500 | F-statistic: | 2402.9 |
| Date: | Sun, Jul 30 2023 | P-value (F-stat) | 0.0000 |
| Time: | 02:17:35 | Distribution: | chi2(1) |
| Cov. Estimator: | robust | ||
| Parameter | Std. Err. | T-stat | P-value | Lower CI | Upper CI | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 0.7702 | 0.0157 | 49.020 | 0.0000 | 0.7394 | 0.8010 |
Endogenous: x
Instruments: z
Robust Covariance (Heteroskedastic)
Debiased: False
id: 0x7fe0f2d91f10
2SLS推定量とIV推定量の同値性#
2SLS推定量とIV推定量は同値である（『新しい計量経済学』p.216）