数学の初歩

数学の初歩#

数学の用語#

公理、定義、定理#

公理（axiom）：理由なく正しいとする文章。数学は演繹的に考えていく学問なので、ベースとなるルールを定めておく必要がある。それが公理。

定義（definition）：議論を進めるための取り決め。言葉の約束事。

定理（theorem）：公理から導出され、定義された言葉のみで正しさを証明できる文章

命題、補題、系#

命題（proposition）：

広義には、「公理のもとで正しいかどうかを判断できる文章」を命題や予想という。
狭義には、「公理のもとで正しいことが証明できる文章」で、定理ほど重要度が高くないもの。

補題（lemma）：定理を証明するために補助的に使う文章

系（corollary）：すでに証明された定理から比較的簡単に導き出される文章

数#

自然数： $1, 2, 3, \dots$ （0を含める流儀も、含めない流儀もある）
整数：自然数と $0, - 1, - 2, - 3, \dots$
有理数：整数 $p, q$ （ただし $p \neq 0$ ）を用いて $\frac{q}{p}$ と表される数
実数：数直線上に表される数
無理数：有理数でない実数（例： $\sqrt{2}, π, e$ ）
複素数：実数 $a, b$ を用いて、 $a + b i$ と表される数。ここで $i$ は虚数単位で、 $i^{2} = - 1$

論理式#

命題関数#

定義（命題関数）

文章中に変数を含み、その変数を定めるごとに広義の命題になる文章を命題関数という。

例えば

$a$ は整数である

という文章は、 $a$ の具体的な値が定まらなければ正しいかどうかを判断できない。

例えば、

$a = 1$ なら「 $a$ は整数である」という文章は「1は整数である」という正しい広義の命題。
$a = 3.7$ なら「 $a$ は整数である」という文章は「3.7は整数である」という正しくない広義の命題。

P (a) : a は 整 数 で あ る

というような記法もある。述語とも呼ばれる。

広義の命題が入る箱として文字を使う場合もある。

定義（定数的命題、変数的命題）

定まった1つの広義の命題を表すために文字 $p$ を用いた場合、 $p$ を定数的命題と呼び、広義の命題が入る箱として $q$ を用いた場合、 $q$ を変数的命題と呼ぶ。

変数的命題が取りうる値を網羅した表を真偽表という。

$p$	$q$	$p \land q$
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

論理式#

定義（論理式）

命題を表現し、文法に則っている記号列を論理式（formula）という。

論理演算子と構成命題#

記号	意味	定義
$\neg$	否定	「 $p$ ではない」を $\neg p$ と書き、否定命題と呼ぶ
$\land$	かつ	「 $p$ かつ $q$ 」を $p \land q$ と表し、論理積と呼ぶ
$\lor$	または	「 $p$ または $q$ 」を $p \lor q$ と表し、論理和と呼ぶ
$\Rightarrow$	ならば	「 $p$ ならば $q$ 」を $p \Rightarrow q$ と表す
$\Leftrightarrow$	同値	$(p \Rightarrow q) \land (p \Leftarrow q)$ を $p \Leftrightarrow q$ と書く
$\forall$	すべての	-
$\exists$	存在する	-

こうした記号を論理演算子といい、論理演算子を組み合わせて構成された広義の命題（例えば $(p \Rightarrow q) \land r$ など）を構成命題という。

対偶#

定義（逆）

$p, q$ を広義の命題とする。 $p \Rightarrow q$ という広義の命題に対して、 $q \Rightarrow p$ という広義の命題を「 $p$ ならば $q$ の逆の命題」もしくは「 $p$ ならば $q$ の逆」という。

例：「雨が降った $\Rightarrow$ 服が濡れている」と「服が濡れている $\Rightarrow$ 雨が降った」は互いに逆の命題。

定義（裏）

$p, q$ を広義の命題とする。 $p \Rightarrow q$ という広義の命題に対して、「 $p$ でないなら $q$ でない」という広義の命題

\neg p \Rightarrow \neg q

を「 $p$ ならば $q$ の裏の命題」もしくは「 $p$ ならば $q$ の裏」という。

例： $x^{2} + y^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 \land y = 0$ の裏は $x^{2} + y^{2} \neq 0 \Rightarrow \neg (x = 0 \land y = 0)$

定義（対偶）

$p, q$ を広義の命題とする。 $p \Rightarrow q$ に対して

\neg q \Rightarrow \neg p

を「 $p \Rightarrow q$ の対偶の命題」もしくは単に「 $p \Rightarrow q$ の対偶」という

例：「東京都に住んでいるならば日本に住んでいる」と「日本に住んでいないならば東京都に住んでいない」

同値#

定義（同値）

2つの構成命題の真偽表について、縦の真偽値の並びがおなじになっている時、2つの構成命題は同値であるという。仮に $p, q$ を変数的命題とし、 $A (p, q), B (p, q)$ を構成命題とすると、 $A (p, q)$ と $B (p, q)$ が同値であるとき、

A (p, q) \equiv B (p, q)

と書く。

例えば二重否定（「 $p$ でなくはない」）は元の命題と同値である。

定理（二重否定）

$p$ を変数的命題とする。このとき以下が成立する。

p \equiv \neg (\neg p)

$p$	$\neg p$	$\neg \neg p$
1	0	1
0	1	0

この表の $p$ と $\neg \neg p$ は真偽値の並びが等しい。よって同値である。

全称命題#

$\forall$ は「すべての～」「任意の～」という意味の記号で、全称記号という。

自由変数（命題関数に代入する変数）と全称記号がくっついた形は全称命題という。

定義（全称命題）

$P (x)$ を命題関数とする。このとき

\forall x, p (x)

という形の命題を全称命題と呼び、意味としては

すべての $x$ に対して $P (x)$ が成り立つ

という広義の命題を表す。

例えば

「任意の $x > 0$ に対して、 $x^{2} > 0$ が成り立つ」は

\forall x > 0, x^{2} > 0

と書くことができる

存在命題#

$\exists$ は「～を満たすものが存在する」「ある～が存在して、～が成り立つ」という意味である

例えば

\exists 村 s.t. ミ カ ン の な る 木 が 生 え て い る

は「ミカンのなる木が生えているような村が存在する」という意味になる（ $s.t.$ はsuch thatで「that以下のような」）

定義（存在命題）

$P (x)$ を命題関数とする。このとき

\exists x s.t. P (x)

という形の命題を存在命題と呼ぶ。

例えば

「ある $x \in R$ が存在して、 $x^{2} = 0$ が成り立つ」

は

\begin{array}{r} \exists x \in R, x^{2} = 0 \\ \exists x \in R s . t . x^{2} = 0 \end{array}

などと書くことができる。

参考：∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の使い方 | 数学の景色

ド・モルガンの法則#

定義（論理のド・モルガンの法則）

$p, q$ を変数的命題とする。このとき以下が成立する

\begin{array}{r} \neg (p \land q) \equiv (\neg p \lor \neg q) \\ \neg (p \lor q) \equiv (\neg p \land \neg q) \end{array}

証明#

証明とは、広義の命題について、真であるか偽であるかをあきらかにすること。

対偶法による証明の例#

$n$ を自然数とする。このとき $n^{2}$ が偶数ならば $n$ は偶数であることを証明せよ

（証明）

\begin{array}{r} a : n^{2} が 偶 数 で あ る \\ b : n が 偶 数 で あ る \end{array}

とおくと、証明しなければいけないのは $a \Rightarrow b$ 。

対偶 $\neg b \Rightarrow \neg a$ を考えると、

\begin{array}{r} \neg a : n^{2} が 偶 数 で な い （ ＝ 奇 数 で あ る ） \\ \neg b : n が 偶 数 で な い （ ＝ 奇 数 で あ る ） \end{array}

となり、奇数を扱う方法に変換できる。

奇数は $2 \times 自然数 + 1$ の形で表すことができる。 $n$ は $n = 2 k + 1 (k = 0, 1, 2, 3, \dots)$ と表すことができるため、 $n^{2}$ を計算すると

\begin{array}{r} \begin{aligned} n^{2} & = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 \\ = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1 \end{aligned} \end{array}

$2 k^{2} + 2 k$ は自然数なので、 $n^{2}$ も $2 \times 自然数 + 1$ の形になっている。よって $n$ が奇数なら $n^{2}$ は奇数である

証明の構造

上記の証明は次のように構造化できる

大前提（定理）：対偶の真偽は一致する
小前提（事実）：証明したい事柄の対偶が真であった
結論：証明したい事柄は真

数学の分野#

数学のさまざまな分野を概観する

伝統的なのは代数・解析・幾何の3分野の分け方になる。

代数学#

四則演算の技法を高める学問

四則演算（和と積）が定義できる要素の集合（代数系）について研究する。

群論：図形など数学的構造の対称性を研究する
体論：四則演算が成立する世界をいくつも考え出し、それらの間にある関係を群論を通して調べる
環論：簡単な説明は難しいが、線形代数学はここに入る
数論（整数論）：素数の性質を調べる分野
代数幾何学：多項式で表される図形を扱う

代数系：演算が定義された集合。群・環・体など、

群：1つの演算があり、対称性を記述するのに用いられる
環：加減乗法が定まっている代数系
体：四則演算が定まっている代数系
- ガロア理論も体論に含む

解析学#

極限操作を扱う数学

関数論：関数の解析を行う
関数解析学

幾何学#

空間図形を扱う数学

微分幾何学：面積や体積など量的な調べ方に基づく
位相幾何学（トポロジー）：図形の性質の違いに着目する幾何学

いずれも、多様体の構造を調べることが念頭にある（多様体論）

数学基礎論#

数学基礎論（数理論理学）は数学の証明の厳密性など、理論的な基盤を追求する学問

応用数学#

日常の現象や技術と結びついた数学。複数の分野にまたがる数学でもある。

数学の初歩

Contents

数学の初歩#

数学の用語#

公理、定義、定理#

命題、補題、系#

数#

論理式#

命題関数#

論理式#

論理演算子と構成命題#

対偶#

同値#

全称命題#

存在命題#

ド・モルガンの法則#

証明#

対偶法による証明の例#

数学の分野#

代数学#

解析学#

幾何学#

数学基礎論#

応用数学#