数学の初歩#
数学の用語#
公理、定義、定理#
公理（axiom）：理由なく正しいとする文章。 数学は演繹的に考えていく学問なので、ベースとなるルールを定めておく必要がある。それが公理。
定義（definition）：議論を進めるための取り決め。言葉の約束事。
定理（theorem）：公理から導出され、定義された言葉のみで正しさを証明できる文章
命題、補題、系#
命題（proposition）：
広義には、「公理のもとで正しいかどうかを判断できる文章」を命題や予想という。
狭義には、「公理のもとで正しいことが証明できる文章」で、定理ほど重要度が高くないもの。
補題（lemma）：定理を証明するために補助的に使う文章
系（corollary）：すでに証明された定理から比較的簡単に導き出される文章
論理式#
命題関数#
定義 （命題関数）
文章中に変数を含み、その変数を定めるごとに広義の命題になる文章を命題関数という。
例えば
\(a\)は整数である
という文章は、\(a\)の具体的な値が定まらなければ正しいかどうかを判断できない。
例えば、
\(a=1\)なら「\(a\)は整数である」という文章は「1は整数である」という正しい広義の命題。
\(a=3.7\)なら「\(a\)は整数である」という文章は「3.7は整数である」という正しくない広義の命題。
というような記法もある。述語とも呼ばれる。
広義の命題が入る箱として文字を使う場合もある。
定義（定数的命題、変数的命題）
定まった1つの広義の命題を表すために文字\(p\)を用いた場合、\(p\)を定数的命題と呼び、 広義の命題が入る箱として\(q\)を用いた場合、\(q\)を変数的命題と呼ぶ。
変数的命題が取りうる値を網羅した表を真偽表という。
\(p\) |
\(q\) |
\(p \land q\) |
|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
論理式#
定義 （論理式）
命題を表現し、文法に則っている記号列を論理式（formula）という。
論理演算子と構成命題#
記号 |
意味 |
定義 |
|---|---|---|
\(\lnot\) |
否定 |
「\(p\)ではない」を\(\lnot p\)と書き、否定命題と呼ぶ |
\(\land\) |
かつ |
「\(p\)かつ\(q\)」を\(p\land q\)と表し、論理積と呼ぶ |
\(\lor\) |
または |
「\(p\)または\(q\)」を\(p \lor q\)と表し、論理和と呼ぶ |
\(\Rightarrow\) |
ならば |
「\(p\)ならば\(q\)」を\(p \Rightarrow q\)と表す |
\(\Leftrightarrow\) |
同値 |
\((p\Rightarrow q)\land (p \Leftarrow q)\)を\(p \Leftrightarrow q\)と書く |
\(\forall\) |
すべての |
- |
\(\exists\) |
存在する |
- |
こうした記号を論理演算子といい、論理演算子を組み合わせて構成された広義の命題（例えば\((p\Rightarrow q) \land r\)など）を構成命題という。
対偶#
定義 （逆）
\(p, q\)を広義の命題とする。\(p \Rightarrow q\)という広義の命題に対して、\(q \Rightarrow p\)という広義の命題を「\(p\)ならば\(q\)の逆の命題」もしくは「\(p\)ならば\(q\)の逆」という。
例：「雨が降った \(\Rightarrow\) 服が濡れている」と「服が濡れている \(\Rightarrow\) 雨が降った」は互いに逆の命題。
定義 （裏）
\(p, q\)を広義の命題とする。\(p \Rightarrow q\)という広義の命題に対して、「\(p\)でないなら\(q\)でない」という広義の命題
を「\(p\)ならば\(q\)の裏の命題」もしくは「\(p\)ならば\(q\)の裏」という。
例：\(x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \land y=0\) の裏は\(x^2 + y^2 \neq 0 \Rightarrow \lnot (x = 0 \land y=0)\)
定義 （対偶）
\(p, q\)を広義の命題とする。\(p \Rightarrow q\)に対して
を「\(p\Rightarrow q\)の対偶の命題」もしくは単に「\(p\Rightarrow q\)の対偶」という
例：「東京都に住んでいるならば日本に住んでいる」と「日本に住んでいないならば東京都に住んでいない」
同値#
定義（同値）
2つの構成命題の真偽表について、縦の真偽値の並びがおなじになっている時、2つの構成命題は同値であるという。 仮に\(p, q\)を変数的命題とし、\(A(p, q), B(p, q)\)を構成命題とすると、\(A(p, q)\)と\(B(p, q)\)が同値であるとき、
と書く。
例えば二重否定（「\(p\)でなくはない」）は元の命題と同値である。
定理（二重否定）
\(p\)を変数的命題とする。このとき以下が成立する。
\(p\) |
\(\lnot p\) |
\(\lnot \lnot p\) |
|---|---|---|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
この表の\(p\)と\(\lnot \lnot p\)は真偽値の並びが等しい。よって同値である。
全称命題#
\(\forall\)は「すべての～」「任意の～」という意味の記号で、全称記号という。
自由変数（命題関数に代入する変数）と全称記号がくっついた形は全称命題という。
定義（全称命題）
\(P(x)\)を命題関数とする。このとき
という形の命題を全称命題と呼び、意味としては
すべての\(x\)に対して\(P(x)\)が成り立つ
という広義の命題を表す。
例えば
「任意の\(x>0\)に対して、\(x^2>0\)が成り立つ」は
と書くことができる
存在命題#
\(\exists\)は「～を満たすものが存在する」「ある～が存在して、～が成り立つ」という意味である
例えば
は「ミカンのなる木が生えているような村が存在する」という意味になる（\(\text{s.t.}\)はsuch thatで「that以下のような」）
定義（存在命題）
\(P(x)\)を命題関数とする。このとき
という形の命題を存在命題と呼ぶ。
例えば
「ある\(x \in \mathbb{R}\)が存在して、\(x^2 = 0\)が成り立つ」
は
などと書くことができる。
ド・モルガンの法則#
定義（論理のド・モルガンの法則）
\(p, q\)を変数的命題とする。このとき以下が成立する
証明#
証明とは、広義の命題について、真であるか偽であるかをあきらかにすること。
対偶法による証明の例#
\(n\)を自然数とする。このとき\(n^2\)が偶数ならば\(n\)は偶数であることを証明せよ
（証明）
とおくと、証明しなければいけないのは\(a\Rightarrow b\)。
対偶\(\lnot b \Rightarrow \lnot a\)を考えると、
となり、奇数を扱う方法に変換できる。
奇数は\(2 \times \text{自然数} + 1\)の形で表すことができる。 \(n\)は\(n=2k+1 (k=0, 1,2,3,\cdots)\)と表すことができるため、\(n^2\)を計算すると
\(2k^2 + 2k\)は自然数なので、\(n^2\)も\(2 \times \text{自然数} + 1\)の形になっている。よって\(n\)が奇数なら\(n^2\)は奇数である
証明の構造
上記の証明は次のように構造化できる
大前提（定理）：対偶の真偽は一致する
小前提（事実）：証明したい事柄の対偶が真であった
結論：証明したい事柄は真