不定積分

不定積分#

原始関数#

導関数のもとの関数を探す#

関数 $v (t)$ の導関数が、定数の $g$ で

\dot{v} (t) = \frac{d v (t)}{d t} = g

で与えられたとする。このとき関数 $v (t)$ はどのような形の関数だろうか。

微分を考えると

v (t) = g t + C (C : 定 数)

と予想される。

※なぜもとの関数を見つけたいのか → 理工系では、さまざまな自然法則を微分方程式で表す事が多い。微分方程式が含む情報は、導関数のもとの関数を求めることで明らかにされる。

原始関数#

関数 $F (x)$ の導関数が $f (x)$ に等しいとき、すなわち

F^{'} (x) = f (x)

であるとき、を $f (x)$ の 原始関数 （primitive function）という。

$F (x)$ が $f (x)$ の原始関数ならば、任意の定数 $C$ に対して $F (x) + C$ も原始関数である。

\frac{d}{d x} (F (x) + C) = \frac{d}{d x} F (x) + 0 = f (x)

不定積分#

関数 $f (x)$ の原始関数が存在するとき、原始関数全体を記号

\int f (x) d x

で表す。したがって $f (x)$ の1つの原始関数を $F (x)$ とすれば、

\int f (x) d x = F (x) + C

$\int f (x) d x$ を 不定積分 （indefinite integral）といい、定数 $C$ を 積分定数 （constant of integration）とよぶ。

関数 $f (x)$ の不定積分を求めることを 積分する といい、 $f (x)$ を 被積分関数 （integrand）という。

不定積分の基本的性質#

$\frac{d}{d x} \int f (x) d x = f (x)$
$\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$
$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x (k$ : 定数 $)$
$\int (f + g) d x = \int f d x + \int g d x$

積分の計算#

置換積分法#

変数 $x$ の代わりに新しい変数 $t$ を導入し、

x = φ (t)

とおくと、積分が簡単に行える場合がある。

F (x) = \int f (x) d x

ならば、合成関数の微分によって

\frac{d}{d t} F (φ (t)) = \frac{d}{d x} F (x) \frac{d x}{d t} = f (x) φ^{'} (t) = f (φ (t)) φ^{'} (t)

であるため

F (φ (t)) = \int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

となるため

\int f (x) d x = \int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

となる。これを 置換積分法 （integration by substitution）という。

例題

\int \cos (a x + b) d x

$t = a x + b$ とおく

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int \cos (a x + b) d x & = \int \cos t \frac{d t}{a} \\ = \frac{1}{a} \int \cos t d t \\ = \frac{1}{a} \sin t + C \\ = \frac{1}{a} \sin (a x + b) + C \end{aligned} \end{array}

部分積分法#

2つの微分可能な関数 $f (x)$ と $g (x)$ に対して

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

が成り立つため、この両辺を積分して

f (x) g (x) = \int f^{'} (x) g (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x

から

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x

となる。これを 部分積分法 （integration by parts）という。

例

\int \log x d x

を求める。 $f = \log x, g = x$ と考えて部分積分法を用いる。

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int \log x d x & = \int \log x \cdot (x)^{'} d x = \log x \cdot x - \int (\log x)^{'} x d x \\ = x \log x - \int \frac{1}{x} x d x = x \log x - \int d x \\ = x \log x - x + C \end{aligned} \end{array}

部分分数分解#

有理関数の不定積分は必ず求めることができる。

2つの多項式を $f (x), g (x)$ として、有理関数 $F (x)$ は

F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

と表される。分子にある $f (x)$ の字数が分母にある $g (x)$ の次数より高いならば、

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 3} = x + 4 - \frac{x + 11}{x^{2} + 3}

のような変形により、「多項式」と「分子の次数が分母の次数より低い有理関数」の和に書くことができる。

このとき、すべての有理関数は $\frac{1}{(x + a)^{m}}$ と $\frac{A x + B}{{[(x - a)^{2} + b^{2}]}^{m}}$ の形の和に分解できる。

代表的な公式#

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C (α \neq - 1) \\ \int e^{x} d x = e^{x} + C \\ \int a^{x} d x = \frac{1}{\log a} a^{x} + C (a > 0, a \neq 1) \\ \int \frac{1}{x} d x = \log | x | + C \end{aligned} \end{array}

三角関数：

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int \sin x d x = - \cos x + C \\ \int \cos x d x = \sin x + C \\ \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \sin^{- 1} x + C \\ \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \tan^{- 1} x + C \end{aligned} \end{array}

2次の三角関数：

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int \sin^{2} x d x & = \int \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + C \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{aligned} \end{array}

2倍角の公式 $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ を変形したもの

\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ ⟺ \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{2}

をつかって次数を下げて解いている。

\begin{array}{r} \begin{aligned} \int \cos^{2} x d x & = \int \frac{1 + \cos 2 x}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + C \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{aligned} \end{array}

\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 ⟺ \cos^{2} θ = \frac{1 + \cos 2 θ}{2}

不定積分

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原始関数#

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代表的な公式#