不定積分

不定積分#

原始関数#

導関数のもとの関数を探す#

関数\(v(t)\)の導関数が、定数の\(g\)で

\[ \dot{v}(t)=\frac{d v(t)}{d t}=g \]

で与えられたとする。このとき関数\(v(t)\)はどのような形の関数だろうか。

微分を考えると

\[ v(t) = gt + C \quad (C: 定数) \]

と予想される。

※なぜもとの関数を見つけたいのか → 理工系では、さまざまな自然法則を微分方程式で表す事が多い。微分方程式が含む情報は、導関数のもとの関数を求めることで明らかにされる。

原始関数#

関数\(F(x)\)の導関数が\(f(x)\)に等しいとき、すなわち

\[ F'(x) = f(x) \]

であるとき、を\(f(x)\)の 原始関数 （primitive function）という。

\(F(x)\)が\(f(x)\)の原始関数ならば、任意の定数\(C\)に対して\(F(x)+C\)も原始関数である。

\[ \frac{d}{dx} (F(x) + C) = \frac{d}{dx} F(x) + 0 = f(x) \]

不定積分#

関数 \(f(x)\) の原始関数が存在するとき、原始関数全体を 記号

\[ \int f(x) dx \]

で表す。したがって\(f(x)\)の1つの原始関数を\(F(x)\)とすれば、

\[ \int f(x) d x=F(x)+C \]

\(\displaystyle \int f(x) dx\)を 不定積分 （indefinite integral）といい、定数\(C\)を 積分定数 （constant of integration）とよぶ。

関数\(f(x)\)の不定積分を求めることを 積分する といい、\(f(x)\)を 被積分関数 （integrand）という。

不定積分の基本的性質#

  1. \(\displaystyle \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x)\)

  2. \(\displaystyle \int F^{\prime}(x) d x=F(x)+C\)

  3. \(\displaystyle \int k f(x) d x=k \int f(x) d x \quad(k\) : 定数 \()\)

  4. \(\displaystyle \int(f+g) d x=\int f d x+\int g d x\)

積分の計算#

置換積分法#

変数\(x\)の代わりに新しい変数\(t\)を導入し、

\[ x = \varphi(t) \]

とおくと、積分が簡単に行える場合がある。

\[ F(x)=\int f(x) d x \]

ならば、合成関数の微分によって

\[ \frac{d}{d t} F(\varphi(t))=\frac{d}{d x} F(x) \frac{d x}{d t}=f(x) \varphi^{\prime}(t)=f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \]

であるため

\[ F(\varphi(t))=\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t \]

となるため

\[ \int f(x) d x=\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t \]

となる。これを 置換積分法 （integration by substitution） という。

例題
\[ \int \cos (a x+b) d x \]

\(t=a x+b\) とおく

\[\begin{split} \begin{aligned} \int \cos (a x+b) d x &=\int \cos t \frac{d t}{a}\\ &=\frac{1}{a} \int \cos t d t\\ &=\frac{1}{a} \sin t+C \\ & =\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C \end{aligned} \end{split}\]

部分積分法#

2つの微分可能な関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) に対して

\[ (f g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime} \]

が成り立つため、この両辺を積分して

\[ f(x) g(x)=\int f^{\prime}(x) g(x) d x+\int f(x) g^{\prime}(x) d x \]

から

\[ \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x \]

となる。これを 部分積分法 （integration by parts）という。

例
\[ \int \log x d x \]

を求める。\(f=\log x, g=x\)と考えて部分積分法を用いる。

\[\begin{split} \begin{aligned} \int \log x d x & =\int \log x \cdot(x)^{\prime} d x=\log x \cdot x-\int(\log x)^{\prime} x d x \\ & =x \log x-\int \frac{1}{x} x d x=x \log x-\int d x \\ & =x \log x-x+C \end{aligned} \end{split}\]

部分分数分解#

有理関数の不定積分は必ず求めることができる。

2つの多項式を\(f(x), g(x)\)として、有理関数\(F(x)\)は

\[ F(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \]

と表される。分子にある\(f(x)\)の字数が分母にある\(g(x)\)の次数より高いならば、

\[ \frac{x^3+4 x^2+2 x+1}{x^2+3}=x+4-\frac{x+11}{x^2+3} \]

のような変形により、「多項式」と「分子の次数が分母の次数より低い有理関数」の和に書くことができる。

このとき、すべての有理関数は\(\displaystyle\frac{1}{(x+a)^m}\)と\(\displaystyle\frac{A x+B}{\left[(x-a)^2+b^2\right]^m}\)の形の和に分解できる。

代表的な公式#

\[\begin{split} \begin{aligned} & \int x^\alpha d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C \quad(\alpha \neq-1) \\ & \int e^x d x=e^x+C \\ & \int a^x d x=\frac{1}{\log a} a^x+C \quad(a>0, a \neq 1) \\ & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+C \end{aligned} \end{split}\]

三角関数：

\[\begin{split} \begin{aligned} & \int \sin x d x=-\cos x+C \\ & \int \cos x d x=\sin x+C \\ & \int \frac{1}{\cos ^2 x} d x=\tan x+C \\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x=\sin ^{-1} x+C \\ & \int \frac{1}{1+x^2} d x=\tan ^{-1} x+C \end{aligned} \end{split}\]

2次の三角関数：

\[\begin{split} \begin{aligned} \int \sin ^2 x ~d x &= \int \frac{1-\cos 2 x}{2} ~d x\\ &= \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) ~dx\\ &= \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) +C\\ &= \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x + C\\ \end{aligned} \end{split}\]

2倍角の公式 \(\cos 2 \theta = 1-2 \sin ^2 \theta\) を変形したもの

\[ \cos 2 \theta = 1-2 \sin ^2 \theta \iff \sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} \]

をつかって次数を下げて解いている。

\[\begin{split} \begin{aligned} \int \cos^2 x ~dx &= \int \frac{ 1 + \cos 2 x }{ 2 } ~dx \\ &= \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) ~dx\\ &= \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C\\ &= \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x + C\\ \end{aligned} \end{split}\]
\[ \cos 2 \theta = 2 \cos ^2 \theta-1 \iff \cos ^2 \theta = \frac{ 1 + \cos 2 \theta }{ 2 } \]