練習問題メモ 11（行列式の幾何学的意味）

練習問題メモ 11（行列式の幾何学的意味）#

11.1#

外積 $(\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}) \times (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array})$ を計算せよ。

\begin{array}{r} a \times b = (| \begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array} |, - | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array} |, | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array} |) = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \end{array}

なので

\begin{array}{r} (\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}) \times (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 - 12 \\ 6 - 12 \\ 8 - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \end{array}

array([ 3, -6,  3])

11.2#

平面ベクトル

(\begin{array}{ll} \cos θ & \sin θ \end{array}), (\begin{array}{ll} \sin θ & - \cos θ \end{array})

を二辺とする平行四辺形の面積を求めよ。

ベクトル $a, b$ を2辺とする平行四辺形の面積は行列式 $| a, b |$ の絶対値に合致するという定理により

a = (\begin{array}{ll} \cos θ & \sin θ \end{array}), b = (\begin{array}{ll} \sin θ & - \cos θ \end{array})

とおくと、

\begin{array}{r} \begin{aligned} | det (\begin{array}{ll} a & b \end{array}) | & = | \cos θ \times (- \cos θ) - \sin^{2} θ | \\ = | - \cos^{2} θ - \sin^{2} θ | \\ = | - (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) | \\ = 1 \end{aligned} \end{array}

11.3#

$a, b, c$ を互いに異なる数とする。空間ベクトル $(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}), (\begin{array}{lll} a & b & c \end{array}), (\begin{array}{lll} a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array})$ を三辺とする平行六面体の体積を求めよ。

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array} | = (c - a) (c - b) (b - a) \end{array}

11.4#

$a, b, c, d$ を空間ベクトルとする。次の 1、2 が成り立つことを示せ。

$⟨ a \times b, c ⟩ = ⟨ b \times c, a ⟩ = ⟨ c \times a, b ⟩$
$(a \times b) \times c = ⟨ a, c ⟩ b - ⟨ b, c ⟩ a$

補足

1 や 2 から、さらに次の式を導くことができる。

\begin{array}{r} \begin{array}{lc} (a \times b) \times c + (b \times c) \times a + (c \times a) \times b = 0 & (ヤコビの恒等式） \\ ⟨ a \times b, c \times d ⟩ = ⟨ a, c ⟩ ⟨ b, d ⟩ - ⟨ a, d ⟩ ⟨ b, c ⟩ (ラグランジュの公式） \end{array} \end{array}

$⟨ a \times b, c ⟩ = ⟨ b \times c, a ⟩ = ⟨ c \times a, b ⟩$

クロス積は3次のベクトルに定義される演算のようなので、 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})^{T}, b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})^{T}, c = (c_{1}, c_{2}, c_{3})^{T}$ とする。

\begin{array}{r} | \begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} | \end{array}

を

第1行で展開すれば，

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{array} | a_{1} - | \begin{array}{ll} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{array} | a_{2} + | \begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{array} | a_{3} = ⟨ b \times c, a ⟩ \end{array}

第2行で展開すれば，

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{array} | b_{1} - | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{array} | b_{2} + | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{array} | b_{3} = ⟨ a \times c, b ⟩ \end{array}

第3行で展開すれば,

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array} | c_{1} - | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array} | c_{2} + | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array} | c_{3} = ⟨ a \times b, c ⟩ \end{array}

$(a \times b) \times c = ⟨ a, c ⟩ b - ⟨ b, c ⟩ a$

$a \times b$ の各要素を

\begin{array}{r} (a \times b)_{1} = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ (a \times b)_{2} = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ (a \times b)_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}

とする。

$(a \times b) \times c$ の第 $i$ 要素を $((a \times b) \times c)_{i}$ と書くことにすると、

\begin{array}{r} \begin{aligned} ((a \times b) \times c)_{1} & = (a \times b)_{2} c_{3} - (a \times b)_{3} c_{2} \\ = a_{3} b_{1} c_{3} - a_{1} b_{3} c_{3} - a_{1} b_{2} c_{2} + a_{2} b_{1} c_{2} \\ = (a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) b_{1} - (b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3}) a_{1} \\ = (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) b_{1} - (b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3}) a_{1} (a_{1} b_{1} c_{1} - a_{1} b_{1} c_{1} を 足 し た) \\ = ⟨ a, c ⟩ b_{1} - ⟨ b, c ⟩ a_{1} \end{aligned} \end{array}

同様に

\begin{array}{r} ((a \times b) \times c)_{2} = ⟨ a, c ⟩ b_{2} - ⟨ b, c ⟩ a_{2} \\ ((a \times b) \times c)_{3} = ⟨ a, c ⟩ b_{3} - ⟨ b, c ⟩ a_{3} \end{array}

よって

(a \times b) \times c = ⟨ a, c ⟩ b - ⟨ b, c ⟩ a

11.5#

次の 1、 2 により与えられた、空間内の 2 点 $A, B$ を通る直線の方程式を求めよ。

$A (1, 2, 3), B (6, 5, 4)$
$A (3, 2, 1), B (9, 6, 3)$

$A (1, 2, 3), B (6, 5, 4)$

点 $A, B$ の位置ベクトルを $a, b$ とすると、直線の方程式は

x = a + t (b - a)

となるため、

A (1, 2, 3), B (6, 5, 4)

は

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t ((\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 + 5 t \\ 2 + 3 t \\ 3 + t \end{array}) \end{array}

$A (3, 2, 1), B (9, 6, 3)$

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 + 6 t \\ 2 + 4 t \\ 1 + 2 t \end{array}) \end{array}

11.6#

空間ベクトル $a, b, c$ を次の $1 、 2$ のように定めると、これらのべクトルの終点は同一直線状にはない。これらのべクトルの終点を通る平面の方程式を求めよ。

$a = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}), b = (\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \end{array}), c = (\begin{array}{lll} 3 & 1 & 2 \end{array})$
$a = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}), b = (\begin{array}{lll} 2 & 2 & 2 \end{array}), c = (\begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array})$

$a = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}), b = (\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \end{array}), c = (\begin{array}{lll} 3 & 1 & 2 \end{array})$

まず、法線ベクトルを求める

(b - a) \times (c - a) = (- 3, - 3, - 3)

点 $a$ を通る平面を構築する点の集合 $x$ は

\begin{array}{r} x - a = (\begin{array}{c} x - 1 \\ y - 2 \\ z - 3 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} (b - a) \times (c - a) \cdot x - a = - 3 (x - 1) - 3 (y - 2) - 3 (z - 3) \\ = - 3 x + 3 - 3 y + 6 - 3 z + 9 = 0 \\ \to - 3 x - 3 y - 3 z = - 18 \\ \to x + y + z = 6 \end{array}

$a = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}), b = (\begin{array}{lll} 2 & 2 & 2 \end{array}), c = (\begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array})$

x - 2 y + z = 0