練習問題メモ 11（行列式の幾何学的意味）

11.1

外積 \(\left(\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\) を計算せよ。

\[\begin{split} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left(\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right) = ( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \end{split}\]

なので

\[\begin{split} \left(\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} 15 - 12 \\ 6 - 12\\ 8 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6\\ 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

Show code cell source Hide code cell source

import numpy as np
a = [4, 5, 6]
b = [1, 2, 3]
np.cross(a, b)

array([ 3, -6,  3])

11.2

平面ベクトル

\[ \left(\begin{array}{ll} \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right), \left(\begin{array}{ll} \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right) \]

を二辺とする平行四辺形の面積を求めよ。

ベクトル\(a,b\)を2辺とする平行四辺形の面積は行列式\(|a,b|\)の絶対値に合致するという定理により

\[ a = \left(\begin{array}{ll} \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{ll} \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right) \]

とおくと、

\[\begin{split} \begin{align} |\text{det} (\begin{array}{ll} a & b \end{array})| &= |\cos \theta \times (-\cos \theta) - \sin^2 \theta|\\ &= |-\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|\\ &= |-(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)|\\ &= 1\\ \end{align} \end{split}\]

memo

高さを\(y\)、斜辺の長さを\(r\)とすると \(\sin \theta = y / r \to y = r \times \sin \theta\) より、高さは\(y = \|b\| \sin \theta\)となる

面積を\(S\)は底辺×高さなので

\[ S = \|a\| \|b\| \sin \theta \]

両辺を2乗すると

\[ S^2 = \|a\|^2 \|b\|^2 \sin^2 \theta \]

\[\begin{split} \begin{align} \sin^2 \theta &= 1 - \cos^2 \theta \quad (\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1) \\ \sin^2 \theta &= 1 - \left(\frac{ a \cdot b }{\|a\| \|b\|}\right)^2 \quad (\because \cos^2 \theta = \frac{ a \cdot b }{\|a\| \|b\|}) \\ \sin^2 \theta &= 1 - \frac{ (a \cdot b)^2 }{\|a\|^2 \|b\|^2}\\ \end{align} \end{split}\]

より、

\[\begin{split} \begin{align} S^2 &= \|a\|^2 \|b\|^2 \left(1 - \frac{ (a \cdot b)^2 }{\|a\|^2 \|b\|^2} \right)\\ &= \|a\|^2 \|b\|^2 - (a \cdot b)^2\\ &= (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2\\ &= a_1^2 b_1^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2 - (a_1 b_1)^2 - (a_2 b_2)^2 - 2 (a_1 b_1 a_2 b_2)\\ &= a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2 (a_1 b_1 a_2 b_2)\\ &= (a_1 b_2 - a_1 b_2)^2\\ \end{align} \end{split}\]

\[ S = a_1 b_2 - a_1 b_2 \]

11.3

\(a, b, c\) を互いに異なる数とする。空間ベクトル \(\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right)\) を三辺とする平行六面体の体積を求めよ。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = (c - a) (c - b) (b - a) \end{split}\]

\[ \langle a \times b, c \rangle \]

の形で平行六面体の体積を求めてもOK

11.4

\(a, b, c, d\) を空間ベクトルとする。次の 1、2 が成り立つことを示せ。

1. \(\langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}\rangle=\langle\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle\)

2. \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{b}-\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{a}\)

補足

1 や 2 から、さらに次の式を導くことができる。

\[\begin{split} \begin{array}{lc} (a \times b) \times c+(b \times c) \times a+(c \times a) \times b=0 & \text { (ヤコビの恒等式） } \\ \langle a \times b, c \times d\rangle=\langle a, c\rangle\langle b, d\rangle-\langle a, d\rangle\langle b, c\rangle \quad \text { (ラグランジュの公式） } \end{array} \end{split}\]

1. \(\langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}\rangle=\langle\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle\)

クロス積は3次のベクトルに定義される演算のようなので、\(\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)^T, \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)^T, \boldsymbol{c} = (c_1, c_2, c_3)^T\)とする。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right| \end{split}\]

を

第1行で展開すれば，

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| a_1 -\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| a_2 +\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| a_3 = \langle \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} \rangle \end{split}\]

第2行で展開すれば，

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| b_1 - \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| b_2 + \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| b_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} \rangle \end{split}\]

第3行で展開すれば,

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \end{split}\]

2. \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{b}-\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle \boldsymbol{a}\)

\(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\)の各要素を

\[\begin{split} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{split}\]

とする。

\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}\)の第\(i\)要素を\(((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_i\)と書くことにすると、

\[\begin{split} \begin{align} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_1 &= (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 c_3 - (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 c_2\\ &= a_3 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_3 - a_1 b_2 c_2 + a_2 b_1 c_2\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1\\ &= (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1 \quad (a_1 b_1 c_1 - a_1 b_1 c_1を足した)\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_1 \end{align} \end{split}\]

同様に

\[\begin{split} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_2\\ ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_3\\ \end{split}\]

よって

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a} \]

11.5

次の 1、 2 により与えられた、空間内の 2 点 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) を通る直線の方程式を求めよ。

1. \(\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4)\)

2. \(\mathrm{A}(3,2,1), \mathrm{~B}(9,6,3)\)

1. \(\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4)\)

点\(A,B\)の位置ベクトルを\(a,b\)とすると、直線の方程式は

\[ x = a + t (b - a) \]

となるため、

\[ \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{~B}(6,5,4) \]

は

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 6\\ 5\\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \right) \\ = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 1 + 5t\\ 2 + 3t\\ 3+t \end{pmatrix} \end{split}\]

tを消して

\[ \frac{x_1 - a_1}{b_1 - a_1} =\frac{x_2 - a_2}{b_2 - a_2} =\frac{x_3 - a_3}{b_3 - a_3} \]

の形式にした

\[\begin{split} \frac{x_1 - 1}{6 - 1} =\frac{x_2 - 2}{5 - 2} =\frac{x_3 - 3}{4 - 3}\\ \to \frac{x_1 - 1}{5} =\frac{x_2 - 2}{3} =x_3 - 3 \end{split}\]

でもよい

2. \(\mathrm{A}(3,2,1), \mathrm{~B}(9,6,3)\)

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6\\ 4\\ 2 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 3 + 6t\\ 2 + 4t\\ 1+2t \end{pmatrix} \end{split}\]

11.6

空間ベクトル \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\) を次の \(1 、 2\) のように定めると、これらのべクトルの終点は 同一直線状にはない。これらのべクトルの終点を通る平面の方程式を求めよ。

1. \(\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2\end{array}\right)\)

2. \(\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}\right)\)

1. \(\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2\end{array}\right)\)

まず、法線ベクトルを求める

\[ (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \times (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) = (-3,-3,-3) \]

点\(a\)を通る平面を構築する点の集合\(x\)は

\[\begin{split} \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} x - 1\\ y - 2\\ z - 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \times (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} = -3 (x - 1) - 3 (y - 2) - 3 (z - 3)\\ = -3 x + 3 - 3 y + 6 - 3z + 9 = 0\\ \to -3x - 3y -3z = -18\\ \to x + y + z = 6\\ \end{split}\]

2. \(\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}\right)\)

\[ x - 2y + z = 0 \]