行列式の定義

2次・3次の正方行列に対する行列式

2次の正方行列

\[\begin{split} % 太字のalias \newcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}} % \DeclareMathOperator{\Ker}{\text{Ker}} \DeclareMathOperator{\Im}{\text{Im}} \DeclareMathOperator{\dim}{\text{dim}} \DeclareMathOperator{\rank}{\text{rank}} % A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{split}\]

に対して、行列式は次のように求めることができる。

\[ |A| = ad - bc \]

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4],
])

det = 1 * 4 - 2 * 3
assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -2

3次の正方行列\(A\)

\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \end{split}\]

に対して、行列式は次のようになる

\[\begin{split} |A| = \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| = a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} -a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{split}\]

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 10]
])
det = A[0,0] * A[1,1] * A[2,2] \
    + A[0,1] * A[1,2] * A[2,0] \
    + A[0,2] * A[1,0] * A[2,1] \
    - A[0,1] * A[1,0] * A[2,2] \
    - A[0,2] * A[1,1] * A[2,0] \
    - A[0,0] * A[1,2] * A[2,1]

assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -3

\(n\)次正方行列に対する行列式の定義

性質による定義

「この性質をもっていれば行列式」という条件を挙げるタイプの定義

（定義）行列式

\(n\) 次の正方行列 \(A=(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n)\) に対し、次の 3 条件をみたす ただ 1 つの式を \(n\) 次行列式とよび、\(\operatorname{det}(A),|A|,\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|\) などと書く.

(1) 線型性

\(\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|\) は、各列について線型である。

\[\begin{split} \begin{aligned} & \left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, c \boldsymbol{a}_k+c^{\prime} \boldsymbol{a}_k^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| \\ & \quad=c\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|+c^{\prime}\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| \end{aligned} \end{split}\]

(2) 交代性

第 \(i\) 列と第 \(j\) 列 \((i \neq j)\) を入れかえ、他はそのままとすると、値が符号だけ変わる

\[ \left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_i, \cdots, \boldsymbol{a}_j, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| = -|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \overbrace{\boldsymbol{a}_j}^{i}, \cdots, \overbrace{\boldsymbol{a}_i}^{j}, \cdots, \boldsymbol{a}_n| \]

いいかえれば、「異なる 2 つの列が従属 \(\left(\boldsymbol{a}_i=k \boldsymbol{a}_j\right)\) ならば、\(\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|=0\)」である。

(3) 規格化

単位行列 \(I=(\boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_n)\) に対しては

\[ |I|=1 \]

ライプニッツの明示公式

置換を用いて陽に定義したものとして、以下の明示公式がある

行列式に対するライプニッツの明示公式

\(n\)次の正方行列

\[\begin{split} A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)=\left(a_{i j}\right) \end{split}\]

に対して、Aの成分によって定義される次の数\(|A|\)を \(A\) の行列式という。

\[\begin{split} \begin{align} |A| &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}\\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod^n_{i=1} a_{i \sigma(i)} \end{align} \end{split}\]

ここで和は \(n !\) 個の置換 \(\sigma \in S_n\) すべてにわたる。

例：2次の正方行列の場合

\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{split}\]

とすると、\(M_2 = \{1,2\}\)の置換は\(2!=2\)個あり

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2\\ \end{pmatrix} = \varepsilon , \quad \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix} = (1, 2) \end{split}\]

であるため

\[\begin{split} \text{sgn} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2\\ \end{pmatrix} = 1 , \quad \text{sgn} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix} = -1 \end{split}\]

となり、

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\operatorname{sgn}\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) a_{11} a_{22}+\operatorname{sgn}\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right) a_{12} a_{21}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \end{split}\]