行列式の定義

行列式の定義#

2次・3次の正方行列に対する行列式#

2次の正方行列

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}) \end{array}

に対して、行列式は次のように求めることができる。

| A | = a d - b c

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4],
])

det = 1 * 4 - 2 * 3
assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -2

3次の正方行列 $A$

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

に対して、行列式は次のようになる

\begin{array}{r} | A | = | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} \end{array}

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 10]
])
det = A[0,0] * A[1,1] * A[2,2] \
    + A[0,1] * A[1,2] * A[2,0] \
    + A[0,2] * A[1,0] * A[2,1] \
    - A[0,1] * A[1,0] * A[2,2] \
    - A[0,2] * A[1,1] * A[2,0] \
    - A[0,0] * A[1,2] * A[2,1]

assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -3

$n$ 次正方行列に対する行列式の定義#

性質による定義#

「この性質をもっていれば行列式」という条件を挙げるタイプの定義

（定義）行列式

$n$ 次の正方行列 $A = (a_{1}, \dots, a_{n})$ に対し、次の 3 条件をみたすただ 1 つの式を $n$ 次行列式とよび、 $\det (A), | A |, | a_{1}, \dots, a_{n} |$ などと書く.

(1) 線型性

$| a_{1}, \dots, a_{n} |$ は、各列について線型である。

\begin{array}{r} \begin{aligned} | a_{1}, \dots, c a_{k} + c^{'} a_{k}^{'}, \dots, a_{n} | \\ = c | a_{1}, \dots, a_{k}, \dots, a_{n} | + c^{'} | a_{1}, \dots, a_{k}^{'}, \dots, a_{n} | \end{aligned} \end{array}

(2) 交代性

第 $i$ 列と第 $j$ 列 $(i \neq j)$ を入れかえ、他はそのままとすると、値が符号だけ変わる

| a_{1}, \dots, a_{i}, \dots, a_{j}, \dots, a_{n} | = - | a_{1}, \dots, \overset{i}{\overset{⏞}{a_{j}}}, \dots, \overset{j}{\overset{⏞}{a_{i}}}, \dots, a_{n} |

いいかえれば、「異なる 2 つの列が従属 $(a_{i} = k a_{j})$ ならば、 $| a_{1}, \dots, a_{n} | = 0$ 」である。

(3) 規格化

単位行列 $I = (e_{1}, \dots, e_{n})$ に対しては

| I | = 1

ライプニッツの明示公式#

置換を用いて陽に定義したものとして、以下の明示公式がある

行列式に対するライプニッツの明示公式

$n$ 次の正方行列

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}) = (a_{i j}) \end{array}

に対して、Aの成分によって定義される次の数 $| A |$ を $A$ の行列式という。

\begin{array}{r} \begin{aligned} | A | & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{n σ (n)} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i σ (i)} \end{aligned} \end{array}

ここで和は $n!$ 個の置換 $σ \in S_{n}$ すべてにわたる。

例：2次の正方行列の場合

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) \end{array}

とすると、 $M_{2} = {1, 2}$ の置換は $2! = 2$ 個あり

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}) = ε, (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}) = (1, 2) \end{array}

であるため

\begin{array}{r} sgn (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}) = 1, sgn (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}) = - 1 \end{array}

となり、

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = sgn (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}) a_{11} a_{22} + sgn (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}) a_{12} a_{21} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{array}