方向微分#

あるベクトル$\mathit{v}=(v_1,\dots ,v_n)$に沿った、スカラー関数

$$f(\mathit{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$

の 方向微分 （directional derivative）は、極限

$${\mathrm{\nabla }}_{\mathit{v}}f(\mathit{x})=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(\mathit{x}+h\mathit{v})-f(\mathit{x})}{h}$$

として定義される関数である。

方向微分は偏微分の概念を一般化するものである。

また、方向微分を一般化したものはガトー微分である（ガトー微分の特別な場合が方向微分）

関数$f$が$\mathit{x}$において微分可能であるなら、任意のベクトル$\mathit{v}$に沿った方向微分が存在し、

$${\mathrm{\nabla }}_{\mathit{v}}f(\mathit{x})=\mathrm{\nabla }f(\mathit{x})\cdot \mathit{v}$$

が成立する。ここで$\mathrm{\nabla }$は勾配を表し、$\cdot$はドット積を表す。

ガトー微分#

$X$ と $Y$ はノルム空間とする。$f:X\to Y$ の$x\in X$での$0\ne t\in X$に沿ったガトー微分は

$$D_{t}f(x):=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+ht)-f(x)}{h}$$

として右辺の極限が存在する限りにおいて定める。

ガトー微分とフレッシェ微分：方向微分と勾配の一般化 - 初級Mathマニアの寝言

通常の方向微分は $X,Y$ が有限次元のユークリッド空間になっているガトー微分