生存分析#
生存確率に関わる要因を調べたいときなどに使う
死亡したらそれ以降その個体のデータは得られなくなる（脱落する）
ハザード関数#
生存率関数#
ある患者の生存時間を表す確率変数を\(T\)とする（\(T>0\)）。
\(T\)の確率密度関数（PDF）を\(f(t)\)とする。\(f(t)\)は「期間tが経過した時点で死亡する確率」を意味する。
\(T\)の累積分布関数（CDF）は
\[
F(t) = P(T \leq t) = \int^t_0 f(u) du
\]
\(F(t)\)は「期間tが経過するまでに死亡している確率」である。
\(F(t)\)をベースに、「期間tが経過するまで死亡していない確率」を意味する 生存率関数 （survival rate function）\(S(t)\)を考えることができる
\[
S(t) = P(T > t) = 1 - F(t)
= \int_t^\infty f(u) du
\]
\[
f(t) = - \frac{d S(t)}{d t}
\]
という関係になる
ハザード関数#
ハザード関数 （hazard function）は、「ある時点まで生存していたことを前提にして、その時点に於いて死亡する確率」という条件付き確率
\[
h(t) = \lim_{dt\to 0} \frac{P(T \leq t + dt| T > t)}{dt}
\]
例えば10歳での生存率と90歳の生存率を比べると、90歳の生存率はかなり低くなると考えられる。
そこを「89歳まで生存していた人が90歳に死亡する確率」と条件付きにすることで、真に測りたい率を得る。
整理すると
\[\begin{split}
\begin{align}
h(t)
&= \lim_{dt\to 0} \frac{P(T \leq t + dt| T > t)}{dt}\\
&= \lim_{dt\to 0} \frac{P(t < T \leq t + dt)}{P(T > t) dt} \quad (\because \frac{P(T > t)}{P(T > t)}を乗じて分子を同時確率にした)\\
&= \lim_{dt\to 0} \frac{P(t + dt) - P(t)}{dt} \times \frac{1}{P(T > t)}\\
&= \frac{d F(t)}{d t} \times \frac{1}{P(T > t)}\\
&= \frac{f(t)}{S(t)}\\
\end{align}
\end{split}\]
なので
\[
h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}
= \frac{\text{t期に死亡する確率} }{\text{t期まで生存している確率} }
\]
という関係になる