極限

極限#

関数の極限#

関数 $y = f (x)$ において、変数 $x$ が一定な数 $a$ に限りなく近づいていくとき、それにつれて関数 $f (x)$ の値が一定な値 $b$ に限りなく近づくとする。

このことを

$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、関数 $f (x)$ には極限が存在して、その 極限値 は $b$ である

あるいは

関数 $f (x)$ は $b$ に収束する

という。そして

lim_{x \to a} f (x) = b または f (x) \to b (x \to a)

と表す。

例：関数 $f (x) = x^{2}$ において、変数 $x$ が2に限りなく近づくとき、 $f (x)$ の値は4に限りなく近づく

変数 $x$ が数列

2.1, 2.01, 2.001, \dots, 2 + {(\frac{1}{10})}^{n}, \dots

の値を取り2に近づいていくとき、関数 $f (x) = x^{2}$ の値は

4.41, 4.0401, 4.004001, \dots, 4 + 4 {(\frac{1}{10})}^{n} + {(\frac{1}{10})}^{2 n}, \dots

関数の極限の性質

関数の極限について、次のことが成り立つ

I. $f (x) = C (C$ : 定数 $)$ ならば,

lim_{x \to a} f (x) = C

II. $lim_{x \to a} f (x) = A, lim_{x \to a} g (x) = B$ ならば,

$lim_{x \to a} k f (x) = k A (k$ : 定数)
$lim_{x \to a} {f (x) \pm g (x)} = lim_{x \to a} f (x) \pm lim_{x \to a} g (x) = A \pm B$
$lim_{x \to a} {f (x) \cdot g (x)} = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = A \cdot B$
$lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{A}{B} (B \neq 0)$

右極限、左極限#

右極限、左極限

変数 $x$ が右から $a$ に近づくとき $x \to a + 0$ 、左から $a$ に近づくとき $x \to a - 0$ と書き、それぞれの極限値を

lim_{x \to a + 0} f (x), lim_{x \to a - 0} f (x)

と表す。

とくに $a = 0$ のときは $x \to + 0$ 、 $x \to - 0$ と書く。

例：

lim_{x \to + 0} \frac{| x |}{x} = 1, lim_{x \to - 0} \frac{| x |}{x} = - 1

絶対値の定義

\begin{array}{r} | a | = {\begin{cases} a & (a > 0) \\ - a & (a < 0) \end{cases} \end{array}

より、 $x > 0$ ならば $\frac{| x |}{x} = \frac{x}{x} = 1$ $x < 0$ ならば $\frac{| x |}{x} = \frac{- x}{x} = - 1$ となるため。

この例では、関数 $f (x) = | x | / x$ は $x = 0$ では定義されていないことがわかる。ここからわかるように、 $lim_{x \to a} f (x) = b$ は $x = a$ のとき $f (a) = b$ であることを主張しているわけではない。

正の無限大と負の無限大

変数 $x$ の値が正で限りなく大きくなるとき 正の無限大 になるといい、 $x \to + \infty$ (または単に $x \to \infty$ ) と表わす。

変数 $x$ が負でその絶対値が限りなく大きくなるとき 負の無限大 になるといい $x \to - \infty$ で表わす.

変数 $x$ が一定な値 $a$ に限りなく近づくとき、関数 $f (x)$ の値が正で限りなく大きくなっていくならば $x$ が $a$ に近づいたときの関数 $f (x)$ の極限は 正の無限大 であるといい、

lim_{x \to a} f (x) = + \infty

で表す。極限が 負の無限大 になるなら

lim_{x \to a} f (x) = - \infty

で表す。

例：

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0, lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0

変数 $x$ が $- 1, - 2, \dots, - n, \dots$ と絶対値が無限大に近づく場合、 $f (x) = 1 / x$ は $- 1, - 1 / 2, \dots, - 1 / n, \dots$ と0に近づくため。

$ε - δ$ 論法#

関数の極限

lim_{x \to a} f (x) = b

が存在するためには $f (x) \to b$ を $x \to a$ で保証できればよいため、 $x \to a$ で $| f (x) - b | < ε$ になることを保証できれば、関数の極限が存在することになる

よって、関数の極限についてのより厳密な定義は次のようになる

定義

任意の正の数 $ε$ に対して、 $0 < | x - a | < δ$ ならば $| f (x) - b | < ε$ になるような $δ$ が存在する

例：

lim_{x \to 2} x^{2} = 4

を証明せよ。

解：

任意の正の数 $ε$ に対して $0 < | x - 2 | < δ$ ならば $| x^{2} - 4 | < ε$ となるような $δ$ を見つけなければならない。

$0 < | x - 2 | < δ$ ならば

\begin{array}{r} \begin{aligned} | x^{2} - 4 | & = | (x + 2) (x - 2) | = | (x - 2) + 4 | \cdot | x - 2 | \\ ≦ | x - 2 |^{2} + 4 | x - 2 | < δ^{2} + 4 δ \end{aligned} \end{array}

よって $δ$ として, 1 か $ε / 5$ の小さい方をとれば

$ε ≧ 5$ ならば $δ = 1$ で, $| x^{2} - 4 | < δ^{2} + 4 δ = 5 ≦ ε$
$ε ≦ 5$ ならば $δ = ε / 5$ で, $| x^{2} - 4 | < δ^{2} + 4 δ < 5 δ = ε$

すなわち $| x^{2} - 4 | < ε$ となる。したがって $lim_{x \to 2} x^{2} = 4$

実際に数値を入れて確かめるとする。

$| x^{2} - 4 | < 0.1$ とするには、 $δ = ε / 5 = 0.1 / 5 = 0.02$

$0 < | x - 2 | < 0.02$ より、 $1.98 < x < 2.02$ だから、 $3.9204 < x^{2} < 4.0804$ のため $- 0.0796 < x^{2} - 4 < 0.0804$ であり $| x^{2} - 4 | < 0.1$ が成り立っている

連続#

連続

点 $x = a$ の近くで定義されている関数 $y = f (x)$ において、次の3つの条件が成り立つとき、 $y = f (x)$ は $x = a$ で連続（continuous）であるといい、1つでも成り立たないときは 不連続（discontinuous）であるという。

$f (a)$ が定義されている
$lim_{x \to a} f (x)$ が存在する
$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

例：

$f (x) = x^{2}$ は $x = 2$ で連続である。なぜなら、 $lim_{x \to 2} f (x) = 4 = f (2)$ であるため。

別の言い方をすると

任意の正の数 $ε$ に対して、適当な $δ$ をとって、 $| x - a | < δ$ であるすべての $x$ について $| f (x) - f (a) | < ε$ が成り立つ

連続関数の性質#

性質(1)

(1) 関数 $f (x)$ と $g (x)$ が $x = a$ で連続ならば、

f (x) \pm g (x), f (x) g (x), \frac{f (x)}{g (x)}

は $x = a$ で連続である。ただし最後の式では $g (a) \neq 0$ とする。

例えば 多項式（polynomial）

a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n} (n : 自然数)

は $- \infty < x < \infty$ で連続である。

また、有理関数（rational function）

\frac{a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n}}{b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + \dots + b_{m}} (m, n : 自然数)

は分母が0になる点を覗いていたるところで連続である

性質(2)：連続関数の合成関数は連続

(2) 関数 $f (x)$ が $x = a$ で連続で、関数 $g (x)$ が $f (a)$ で連続ならば、合成関数 $g (f (x))$ は $x = a$ で連続である。

すなわち、連続関数を変数とする連続関数は連続である。

例えば $\sin (x^{2})$ や $\sin (\sin x)$ は $- \infty < x < \infty$ で連続である

性質(3)

関数 $f (x)$ が $a ≦ x ≦ b$ で連続で単調増加（単調減少）であれば、逆関数 $f^{- 1} (x)$ は 1価連続で単調増加（単調减少）である。

例： $y = 2 x$ と $y = x / 2$

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性質(4)：中間値の定理

$f (a) = A, f (b) = B$ とする。もし $A < B$ であれば、 $A <$ $C < B$ を満足する任意の数 $C$ に対して、 $f (c) = C$ となる数 $c$ が開区間 $a < x < b$ に少なくとも 1つ存在する。

同様に、もし $A > B$ であれば、 $A > C > B$ を満足する任意の数 $C$ に対して、 $f (c) = C$ となる数 $c$ が $a < x < b$ に少なくとも 1つ存在する。

言いかえると、 $x$ が $a$ から $b$ まで連続的に動くとき、連続関数は、 $f (a)$ と $f (b)$ の間の値を少なくとも一度は通過する。

性質(5)：中間値の定理の特別な場合

$f (a)$ と $f (b)$ が異なる符号を持つならば、 $f (c) = 0 (a < c < b)$ を満足する数 $c$ が少なくとも1つ存在する。

性質(6)

関数 $f (x)$ は $a \leq x \leq b$ で最大値と最小値をとる。

性質(7)

区間内のある点 $c$ で $f (c) > 0$ とする。このとき、 $c - δ < x < c + δ$ であれば $f (x) > 0$ であるような正の数 $δ$ が存在する。

すなわち、連続関数 $f (x)$ で $f (c) > 0$ ならばその近くではやはり $f (x) > 0$ である。

極限

Contents

極限#

関数の極限#

右極限、左極限#

ε−δ論法#

連続#

連続関数の性質#

$ε - δ$ 論法#