極限

関数の極限

関数\(y=f(x)\)において、変数\(x\)が一定な数\(a\)に限りなく近づいていくとき、それにつれて関数\(f(x)\)の値が一定な値\(b\)に限りなく近づくとする。

このことを

\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき、関数\(f(x)\)には極限が存在して、その 極限値 は\(b\)である

あるいは

関数\(f(x)\)は\(b\)に 収束 する

という。そして

\[ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b \quad \text { または } \quad f(x) \rightarrow b \quad(x \rightarrow a) \]

と表す。

例：関数\(f(x)=x^2\)において、変数\(x\)が2に限りなく近づくとき、\(f(x)\)の値は4に限りなく近づく

変数\(x\)が数列

\[ 2.1,2.01,2.001, \cdots, 2+\left(\frac{1}{10}\right)^n, \cdots \]

の値を取り2に近づいていくとき、関数\(f(x)=x^2\)の値は

\[ 4.41,4.0401,4.004001, \cdots, 4+4\left(\frac{1}{10}\right)^n+\left(\frac{1}{10}\right)^{2 n}, \cdots \]

関数の極限の性質

関数の極限について、次のことが成り立つ

I. \(f(x)=C(C\) : 定数 \()\) ならば,

\[ \displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=C \]

II. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B\) ならば,

1. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k A \quad(k\) : 定数)

2. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\{f(x) \pm g(x)\}=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)=A \pm B\)

3. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\{f(x) \cdot g(x)\}=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)=A \cdot B\)

4. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}=\frac{A}{B} \quad(B \neq 0)\)

右極限、左極限

右極限、左極限

変数\(x\)が右から\(a\)に近づくとき\(x\to a+0\)、左から\(a\)に近づくとき\(x\to a-0\)と書き、それぞれの極限値を

\[ \lim _{x \rightarrow a+0} f(x), \quad \lim _{x \rightarrow a-0} f(x) \]

と表す。

とくに\(a=0\)のときは\(x\to +0\)、\(x\to -0\)と書く。

例：

\[ \lim _{x \rightarrow+0} \frac{|x|}{x}=1, \quad \lim _{x \rightarrow-0} \frac{|x|}{x}=-1 \]

絶対値の定義

\[\begin{split} |a| = \begin{cases} a & (a > 0)\\ -a & (a < 0) \end{cases} \end{split}\]

より、\(x > 0\)ならば\(\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1\) \(x < 0\)ならば\(\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1\) となるため。

この例では、関数\(f(x) = |x|/x\)は\(x=0\)では定義されていないことがわかる。ここからわかるように、\(\lim_{x\to a} f(x) = b\)は\(x=a\)のとき\(f(a)=b\)であることを主張しているわけではない。

正の無限大と負の無限大

変数 \(x\) の値が正で限りなく大きくなるとき 正の無限大 になるといい、 \(x \rightarrow+\infty\) (または単に \(x \rightarrow \infty\) ) と表わす。

変数 \(x\) が負でその絶対値が限りなく大きくなるとき 負の無限大 になるといい \(x \rightarrow-\infty\) で表わす.

変数\(x\)が一定な値\(a\)に限りなく近づくとき、関数\(f(x)\)の値が正で限りなく大きくなっていくならば\(x\)が\(a\)に近づいたときの関数\(f(x)\)の極限は 正の無限大 であるといい、

\[ \lim_{x\to a} f(x) = + \infty \]

で表す。極限が 負の無限大 になるなら

\[ \lim_{x\to a} f(x) = -\infty \]

で表す。

例：

\[ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = 0 \]

変数\(x\)が\(-1, -2, \cdots, -n, \cdots\)と絶対値が無限大に近づく場合、\(f(x)=1/x\)は\(-1, -1/2, \cdots, -1/n, \cdots\)と0に近づくため。

\(\varepsilon - \delta\)論法

関数の極限

\[ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b \]

が存在するためには\(f(x)\to b\)を\(x\to a\)で保証できればよいため、\(x\to a\)で\(|f(x) - b| < \varepsilon\)になることを保証できれば、関数の極限が存在することになる

よって、関数の極限についてのより厳密な定義は次のようになる

定義

任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して、\(0<|x-a|<\delta\) ならば \(|f(x)-b|<\varepsilon\) になるような \(\delta\) が存在する

例：

\[ \lim _{x \rightarrow 2} x^2=4 \]

を証明せよ。

解：

任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して \(0<|x-2|<\delta\) ならば \(\left|x^2-4\right|<\varepsilon\) となるような \(\delta\) を見つけなければならない。

\(0<|x-2|<\delta\) ならば

\[\begin{split} \begin{aligned} \left|x^2-4\right| & =|(x+2)(x-2)|=|(x-2)+4| \cdot|x-2| \\ & \leqq|x-2|^2+4|x-2|<\delta^2+4 \delta \end{aligned} \end{split}\]

よって\(\delta\) として, 1 か \(\varepsilon / 5\) の小さい方をとれば

• \(\varepsilon \geqq 5\) ならば \(\delta=1\) で, \(\left|x^2-4\right|<\delta^2+4 \delta=5 \leqq \varepsilon\)

• \(\varepsilon \leqq 5\) ならば \(\delta=\varepsilon / 5\) で, \(\left|x^2-4\right|<\delta^2+4 \delta<5 \delta=\varepsilon\)

すなわち\(|x^2 - 4| < \varepsilon\)となる。したがって\(\lim_{x\to2} x^2 = 4\)

実際に数値を入れて確かめるとする。

\(|x^2 - 4| < 0.1\)とするには、\(\delta = \varepsilon / 5 = 0.1 / 5 = 0.02\)

\(0<|x-2|<0.02\)より、\(1.98 < x < 2.02\)だから、\(3.9204<x^2<4.0804\)のため\(-0.0796 < x^2 - 4 < 0.0804\)であり\(|x^2 - 4|<0.1\)が成り立っている

連続

連続

点\(x=a\)の近くで定義されている関数\(y=f(x)\)において、次の3つの条件が成り立つとき、\(y=f(x)\)は\(x=a\)で 連続 （continuous）であるといい、1つでも成り立たないときは 不連続（discontinuous）であるという。

1. \(f(a)\)が定義されている

2. \(\lim_{x\to a} f(x)\)が存在する

3. \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)

例：

\(f(x)=x^2\)は\(x=2\)で連続である。なぜなら、\(\lim_{x\to 2} f(x) = 4 = f(2)\)であるため。

別の言い方をすると

任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して、適当な \(\delta\) をとって、\(|x-a|<\delta\) であるすべての \(x\) について \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\) が成り立つ

連続関数の性質

性質(1)

(1) 関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) が \(x=a\) で連続ならば、

\[ f(x) \pm g(x), \quad f(x) g(x), \quad \frac{f(x)}{g(x)} \]

は \(x=a\) で連続である。ただし最後の式では \(g(a) \neq 0\) とする。

例えば 多項式（polynomial）

\[ a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad (n: \text{自然数}) \]

は \(-\infty < x < \infty\)で連続である。

また、有理関数（rational function）

\[ \frac{a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n}{b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m} \quad(m, n: \text { 自然数 }) \]

は分母が0になる点を覗いていたるところで連続である

性質(2)：連続関数の合成関数は連続

(2) 関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続で、関数 \(g(x)\) が \(f(a)\) で連続ならば、合成関数 \(g(f(x))\) は \(x=a\) で連続である。

すなわち、連続関数を変数とする連続関数は 連続である。

例えば \(\sin (x^2)\) や \(\sin (\sin x)\) は \(-\infty<x<\infty\) で連続である

性質(3)

関数 \(f(x)\) が \(a \leqq x \leqq b\) で連続で単調増加（単調減少）であれば、 逆関数 \(f^{-1}(x)\) は 1価連続で単調増加（単調减少）である。

例：\(y=2x\)と\(y=x/2\)

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 1, 50)
y1 = 2*x
y2 = x/2

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2])
ax.plot(x, y1, label=r"$y = 2x$")
ax.plot(x, y2, label=r"$y = x/2$")
ax.legend()
fig.show()

性質(4)：中間値の定理

\(f(a)=A,\ f(b)=B\) とする。 もし \(A<B\) であれば、 \(A<\) \(C<B\) を満足する任意の数 \(C\) に対して、 \(f(c)=C\) となる数 \(c\) が開区間 \(a<x<b\) に少なくとも 1つ存在する。

同様に、もし \(A>B\) であれば、 \(A>C>B\) を満足する任意の数 \(C\) に対して、\(f(c)=C\) となる数 \(c\) が \(a<x<b\) に少なくとも 1つ存在する。

言いかえると、 \(x\) が \(a\) から \(b\) まで連続的に動くとき、連続関数は、\(f(a)\) と \(f(b)\) の間の値を少なくとも一度は通過する。

性質(5)：中間値の定理の特別な場合

\(f(a)\)と\(f(b)\)が異なる符号を持つならば、\(f(c)=0 (a<c<b)\)を満足する数\(c\)が少なくとも1つ存在する。

性質(6)

関数 \(f(x)\) は \(a \leq x \leq b\) で最大値と最小値をとる。

性質(7)

区間内のある点 \(c\) で \(f(c)>0\) とする。 このとき、 \(c-\delta<x<c+\delta\) であれば \(f(x)>0\) であるような正の数 \(\delta\) が存在する。

すなわち、連続関数 \(f(x)\) で \(f(c)>0\) ならば その近くではやはり \(f(x)>0\) である。