クロス積（ベクトル積）

クロス積（ベクトル積）#

2つの3次元ベクトル $a, b \in R^{3}$ について

\begin{array}{r} a \times b = (| \begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array} |, - | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array} |, | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array} |) = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \end{array}

をクロス積（cross product）あるいはベクトル積（vector product）あるいは外積という。

ベクトル積と行列式との関係

a \times b

これは $e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1)$ を使って表現すると

2つのベクトル

\begin{array}{r} a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3} \\ b = b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3} \end{array}

に対して、 $a$ と $b$ のベクトル積は

\begin{array}{r} a \times b = | \begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & a_{3} \end{array} | e_{1} - | \begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array} | e_{2} + | \begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array} | e_{3} \end{array}

これは次の行列式の第1行に関する余因子展開と考えられる

\begin{array}{r} | \begin{array}{lll} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} | \end{array}

\begin{array}{r} (a \times b, c) = (a, b \times c) = | \begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} | \end{array}

が成り立つ。

ベクトル積の性質

ベクトル積に関して、次の法則が成り立つ

外積の直交性

3次元ベクトル $a, b$ の外積 $a \times b$ は、 $a$ と $b$ の両方と直交する

\begin{array}{r} ⟨ a \times b, a ⟩ = 0 \\ ⟨ a \times b, b ⟩ = 0 \end{array}

ラグランジュの公式

ベクトル積について、結合法則（ $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ ）は成り立たない

\begin{array}{r} \begin{aligned} (a \times b) \times c & = ⟨ a, c ⟩ b - ⟨ b, c ⟩ a \\ a \times (b \times c) & = ⟨ a, c ⟩ b - ⟨ a, b ⟩ c \end{aligned} \end{array}

これを ラグランジュの公式 (Lagrange’s formula) という