クロス積（ベクトル積）

ベクトル積

2つの3次元ベクトル\(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3\)について

\[\begin{split} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left(\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right) = ( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \end{split}\]

をクロス積（cross product）あるいはベクトル積（vector product）あるいは外積という。

ベクトル積と行列式との関係

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \]

これは\(e_1=(1,0,0), \quad e_2=(0,1,0), \quad e_3=(0,0,1)\)を使って表現すると

2つのベクトル

\[\begin{split} \boldsymbol{a}=a_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 \boldsymbol{e}_2+a_3 \boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{b}=b_1 \boldsymbol{e}_1+b_2 \boldsymbol{e}_2+b_3 \boldsymbol{e}_3 \end{split}\]

に対して、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)のベクトル積は

\[\begin{split} \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}= \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & a_3 \end{array}\right| e_1-\left|\begin{array}{cc} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| e_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| e_3 \end{split}\]

これは次の行列式の第1行に関する余因子展開と考えられる

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lll} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right| \end{split}\]

\[\begin{split} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right| \end{split}\]

が成り立つ。

証明

行列式を第 3 行で展開すれば

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3 \end{split}\]

これは内積 \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})\) の成分による定義に他ならない。

また同じ行列式を第 1 行で展開すれば

\[\begin{split} a_1\left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| \end{split}\]

これは 内積 \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) の成分による定義に他ならない。

ベクトル積の性質

ベクトル積に関して、次の法則が成り立つ

1. \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}\)

2. \((\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\)

3. \(\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}\)

4. \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a}=\mathbf{0}\)

外積の直交性

3次元ベクトル \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) の外積 \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) は、 \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の両方と直交する

\[\begin{split} \langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \rangle = 0\\ \langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} \rangle = 0 \end{split}\]

証明

\[\begin{split} \begin{align} \langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \rangle &= (a_2 b_3 - a_3 b_2) a_1\\ &+ (a_3 b_1 - a_1 b_3) a_2\\ &+ (a_1 b_2 - a_2 b_1) a_3 \\ &= a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2\\ &+ a_2 a_3 b_1 - a_1 a_2 b_3\\ &+ a_1 a_3 b_2 - a_2 a_3 b_1 \\ &= (a_1 a_2 b_3 - a_1 a_2 b_3)\\ &+ (a_2 a_3 b_1 - a_2 a_3 b_1)\\ &+ (a_1 a_3 b_2 - a_1 a_3 b_2)\\ &= 0 \end{align} \end{split}\]

証明

\(\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)^T, \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)^T, \boldsymbol{c} = (c_1, c_2, c_3)^T\)とする。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right| \end{split}\]

を

第1行で展開すれば，

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| a_1 -\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| a_2 +\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| a_3 = \langle \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} \rangle \end{split}\]

第2行で展開すれば，

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| b_1 - \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| b_2 + \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| b_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} \rangle \end{split}\]

第3行で展開すれば,

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \end{split}\]

ベクトル三重積

ラグランジュの公式

ベクトル積について、結合法則（\((a\times b) \times c = a \times (b \times c)\)）は成り立たない

\[\begin{split} \begin{aligned} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \boldsymbol{c} \end{aligned} \end{split}\]

これを ラグランジュの公式 (Lagrange’s formula) という

\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a}\)の証明

\(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\)の各要素を

\[\begin{split} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{split}\]

とする。

\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}\)の第\(i\)要素を\(((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_i\)と書くことにすると、

\[\begin{split} \begin{align} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_1 &= (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 c_3 - (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 c_2\\ &= a_3 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_3 - a_1 b_2 c_2 + a_2 b_1 c_2\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1\\ &= (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1 \quad (a_1 b_1 c_1 - a_1 b_1 c_1を足した)\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_1 \end{align} \end{split}\]

同様に

\[\begin{split} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_2\\ ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_3\\ \end{split}\]

よって

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a} \]

\(\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \boldsymbol{c}\)の証明

まず、\(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\)は

\[\begin{split} \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2\\ b_3 c_1 - b_1 c_3\\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix} \end{split}\]

となる。

\(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\)の第\(i\)要素を\((\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_i\)と書くことにすると、

\[\begin{split} \begin{align} (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_1 &= a_2 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_3 - a_3 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_2\\ &= a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_3 c_1 - b_1 c_3)\\ &= a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (a_2 b_2 + a_3 b_3) c_1\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_1 \end{align} \end{split}\]

同様に

\[\begin{split} (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_2\\ (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_3\\ \end{split}\]

よって

\[ (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \boldsymbol{c} \]