練習問題 メモ 2

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練習問題 メモ 2#

2.1#

\[\begin{split} 3\left(\begin{array}{ll} 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \end{split}\]
\[\begin{split} \left(\begin{array}{ll} 12 & 21 \\ 15 & 24 \\ 18 & 27 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll} 12 & 22 \\ 16 & 26 \\ 20 & 27 \end{array}\right) \end{split}\]

2.2#

  1. \[\begin{split} \left(\begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3\cdot 0 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 & \hspace{1em} 3\cdot 1 + 4 \cdot 2 + 0 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 14 & 11 \end{pmatrix} \end{split}\]
  1. \[\begin{split} \left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \end{split}\]
\[\begin{split} \left(\begin{array}{l} a_1 \\ a_2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\\ \end{pmatrix} \end{split}\]

なので

\[\begin{split} \left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 & 3 \cdot 2\\ 4\cdot 1 & 4 \cdot 2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 4 & 8\\ \end{pmatrix} \end{split}\]
# 検算
import numpy as np
a = np.array([3,4])
b = np.array([1,2])
np.outer(a,b)

array([[3, 6],
       [4, 8]])
  1. \[\begin{split} \left(\begin{array}{ll} 7 & 8 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 5 \\ 6 \end{array}\right) \end{split}\]
\[ 7\cdot 5 + 8 \cdot 6 = 35 + 48 = 83 \]

2.3#

正方行列\(A=\left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\)はべき零行列であることを示せ。

冪零行列は、ある自然数\(k\)で冪乗して零（零行列）となる\(n\)次正方行列のこと

\[ A^k = O \]

Aは\(k=2\)のときは零にならないが、\(k\geq 3\)で零になる

\[\begin{split} \begin{aligned} A^3 = \left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & ac \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

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# 検算
from sympy import symbols, Matrix
a, b, c = symbols('a b c')
A = Matrix([
    [0, a, b],
    [0, 0, c],
    [0, 0, 0],
])

# 検算
A @ A
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & a c\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\end{split}\]
# 検算
A @ A @ A
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\end{split}\]

2.4#

次の問いに応えよ。

  1. 2 つの行列が可換であることの定義を書け。

2つの\(n\)次正方行列\(A, B\)について

\[ AB = BA \]

が成り立つこと

  1. 2 つの行列 \(\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & a^2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} a^2 & a \\ 0 & 1 \end{array}\right)\) が可換となるように a の値を求めよ。

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^2 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \end{split}\]

を満たす、つまり

\[\begin{split} \begin{pmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 2a^3 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \end{split}\]

よって

\[ 2a = 2a^3 \]

を解けばよい。

\[\begin{split} \begin{align} &2a = 2a^3\\ &\to a = a^3\\ &\to a - a^3 = 0\\ &\to a(a^2 - 1) = 0\\ &\end{align} \end{split}\]

よって\(a=0\)か\(a^2 - 1 = 0\)であり

\(a^2 - 1 = 0\)が成り立つのは\(a=-1, 1\)のときなので

\[ a = -1, 0, 1 \]

となる

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# 検算
from sympy import Symbol, Matrix
a = Symbol('a')
A = Matrix([
    [1, a],
    [0, a**2],
])
B = Matrix([
    [a**2, a],
    [0, 1],
])

A @ B
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}a^{2} & 2 a\\0 & a^{2}\end{matrix}\right]\end{split}\]

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# 検算
import numpy as np

for a in (0, -1, 1):
    A = np.array([
        [1, a],
        [0, a**2]
    ])
    B = np.array([
        [a**2, a],
        [0, 1],
    ])
    assert (A @ B == B @ A).all()

2.5#

n 次の正方行列 A, B に対して、\([A, B] = AB − BA\) とおき、これを A と B の交換子積という。 交換子積に関して、次の 1～3 が成り立つことを示せ。ただし、A, B, C はすべて n 次の正方行列で、O は n 次の零行列である。

  1. \([A, B] = −[B, A]\) （交代性または反対称性）

\[ [A, B] = AB - BA \]

は順番を入れ替えれば

\[ - BA + AB = - (BA - AB) = -[B, A] \]

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# 例えば n=2 のとき
from sympy import symbols, Matrix

a11, a12, a21, a22 = symbols("a_11, a_12, a_21, a_22")
b11, b12, b21, b22 = symbols("b_11, b_12, b_21, b_22")

A = Matrix([
    [a11, a12],
    [a21, a22]
])
B = Matrix([
    [b11, b12],
    [b21, b22]
])

(A @ B - B @ A) == (- 1 * (B @ A - A @ B))

True

  1. \([A, A] = O\)

\[ [A, A] = AA - AA = O \]

  1. \([[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = O\)（ヤコビの恒等式）

\[ [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] \]

を展開すると

\[\begin{split} \begin{align} (AB - BA) C &- C (AB - BA)\\ + (BC - CB) A &- A (BC - CB)\\ + (CA - AC) B &- B (CA - AC) \\ = ABC - BAC &- CAB + CBA\\ + BCA - CBA &- ABC + ACB\\ + CAB - ACB &- BCA + BAC \end{align} \end{split}\]
\[\begin{split} = (ABC - ABC)\\ + (BAC - BAC)\\ + (CAB - CAB)\\ + (CBA - CBA)\\ + (BCA - BCA)\\ + (ACB - ACB)\\ = 0 \end{split}\]

2.6#

2 次の正方行列 \(A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\) に対して、ケイリー-ハミルトンの定理

\(A^2-(a+d) A+(a d-b c) E\)

が成り立つことを示せ。（E は対角要素が 1 の単位行列である）

\[ A^2-(a+d) A+(a d-b c) E = O \]

ということ?

\[\begin{split} \begin{align} &A^2-(a+d) A+(a d-b c) E \\ &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - a \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - d \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} +(a d-b c) E \\ &= \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd\\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ac & ad \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} ad & bd \\ cd & d^2 \end{pmatrix} +(a d-b c) E \\ &= \begin{pmatrix} bc & bd\\ cd & bc + d^2 - ad \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} ad & bd \\ cd & d^2 \end{pmatrix} +(a d-b c) E \\ &= \begin{pmatrix} bc - ad & 0\\ 0 & bc - ad \end{pmatrix} +(a d-b c) E \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} \end{split}\]

2.7#

次の問いに答えよ。

  1. 対称行列の定義を書け。

以下が成り立つ\(n\)次正方行列\(A\)を対称行列という

\[ A^T = A \]

  1. 交代行列の定義を書け。

転置行列が元の行列の−1倍になる正方行列のこと。つまり

以下が成り立つ\(n\)次正方行列\(A\)を交代行列という

\[ A^T = -A \]

  1. 任意の正方行列は対称行列と交代行列の和で一意的に表されることを、次の（ア）、（イ）の手順で示せ。

（ア）正方行列 A が対象行列 X と交代行列 Y の和で、 \(A = X + Y \tag{2.1}\) と表されると仮定する。 このとき、式 2.1 の両辺の転置を取ることにより、 \(A^T = X − Y \tag{2.2}\) が成り立つ。

式 2.1 と式 2.2 を連立させることにより、X, Y を A および \(A^T\) を用いて表せ。

\[\begin{split} \begin{array}{rr} & A = X + Y\\ +\big{)}& A^T = X - Y\\ \hline & A + A^T = 2 X\\ & \to X = \frac{1}{2} (A + A^T) \end{array} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{array}{rr} & A = X + Y\\ -\big{)}& A^T = X - Y\\ \hline & A - A^T = 2 Y\\ & \to Y = \frac{1}{2} (A - A^T) \end{array} \end{split}\]

（イ） （ア）で \(A\) および \(A^T\) を用いて表した X, Y は、実際にそれぞれ対称行列、交代行列であることを示せ。

Xは対称行列

\[ X^T = \frac{1}{2} (A+A^T)^T = \frac{1}{2} (A^T + A) = X \]

Yは交代行列

\[\begin{split} \begin{align} Y^T &= \frac{1}{2} (A - A^T)^T\\ &= \frac{1}{2} (A^T - A)\\ &= -\frac{1}{2} (A + A^T)\\ &= -Y \end{align} \end{split}\]
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