練習問題メモ 9（余因子展開）

練習問題メモ 9（余因子展開）#

9.1#

第 2 列に関する余因子展開を用いて、行列式 $| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |$ を計算せよ。

第 $j$ 列に関する余因子展開は

a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j} = det (A)

という形になるので

第2列に関する余因子展開は

\begin{array}{r} a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{22} {\tilde{a}}_{22} = | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | \end{array}

となる。

1次の行列（というかスカラー）の行列式はそのスカラーそのものであるため

\begin{array}{r} {\tilde{a}}_{12} = (- 1)^{3} a_{21} = - a_{21} \\ {\tilde{a}}_{22} = (- 1)^{4} a_{11} = a_{11} \end{array}

よって

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{22} {\tilde{a}}_{22} \\ = a_{12} \times (- a_{21}) + a_{22} a_{11} \\ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{array}

9.2#

次の 1、2 の行列式を計算せよ。

\begin{array}{r} | \begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array} | \end{array}

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array} | \end{array}

$| \begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array} |$

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}] \end{array}

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 5 & 4 & 3 & 6 & 7 \\ 0 & 7 & 2 & 8 & 2 \\ 0 & 6 & 1 & 9 & 1 \\ 0 & 8 & 4 & 7 & 4 \\ 0 & 9 & 5 & 6 & 5 \end{array}] \end{array}

3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）

という操作をして1列目を $(1, 1)$ 要素以外0にする

定理より、

\begin{array}{r} | \begin{array}{lllll} 5 & 4 & 3 & 6 & 7 \\ 0 & 7 & 2 & 8 & 2 \\ 0 & 6 & 1 & 9 & 1 \\ 0 & 8 & 4 & 7 & 4 \\ 0 & 9 & 5 & 6 & 5 \end{array} | = 5 | \begin{array}{llll} 7 & 2 & 8 & 2 \\ 6 & 1 & 9 & 1 \\ 8 & 4 & 7 & 4 \\ 9 & 5 & 6 & 5 \end{array} | \end{array}

2列目と4列目が(2,1,4,5)で同じ値なので、定理より行列式はゼロになる

\begin{array}{r} | \begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array} | = 0 \end{array}

0.0

$| \begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array} |$

まず、1列目を2～4列から引く

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 100 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 100 & - 1 & 0 & 0 \\ 100 & 0 & - 1 & 0 \\ 100 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] \end{array}

2~4行から1行目を引く

A[1, :] -= A[0, :]
A[2, :] -= A[0, :]
A[3, :] -= A[0, :]
A

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 100 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}] \end{array}

なので、行列式の性質より

\begin{array}{r} 100 \times | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | \end{array}

となる

\begin{array}{r} | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | = (0 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0) = 2 \end{array}

なので

\begin{array}{r} 100 \times | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | = 100 \times 2 \end{array}

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array} | = 200 \end{array}

200.0000000000001

9.3#

$n$ を 2 以上の自然数、 $A = {(a_{i j})}_{n \times n}$ を $n$ 次の正方行列とする。次の問いに答えよ。

$A$ の $(i, j)$ 余因子の定義を書け。
$A$ の余因子行列の定義を書け。
$n = 3$ のとき、 $A$ の余因子行列を $A$ の余因子を用いて表せ。
$\tilde{A}$ を $A$ 余因子行列とすると、 $| \tilde{A} | = | A |^{n - 1}$ が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。（※穴埋め問題）

$A$ の $(i, j)$ 余因子の定義を書け。

{\tilde{a}}_{i j} = (- 1)^{i + j} | A_{i j} |

$A$ の余因子行列の定義を書け。

$(i, j)$ 余因子を ${\tilde{a}}_{i j}$ とするとき、 $(i, j)$ 成分に余因子 ${\tilde{a}}_{i j}$ をもつ行列の転置行列

\begin{array}{r} \tilde{A} = (\begin{array}{cccc} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{array}) \end{array}

を余因子行列（adjugate matrix）という。

$n = 3$ のとき、 $A$ の余因子行列を $A$ の余因子を用いて表せ。

$(i, j)$ 余因子を ${\tilde{a}}_{i j}$ とすると

\begin{array}{r} \tilde{A} = (\begin{array}{cccc} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & {\tilde{a}}_{31} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & {\tilde{a}}_{32} \\ {\tilde{a}}_{13} & {\tilde{a}}_{23} & {\tilde{a}}_{33} \end{array}) \end{array}

$\tilde{A}$ を $A$ 余因子行列とすると、 $| \tilde{A} | = | A |^{n - 1}$ が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。

（※穴埋め問題）

前提となる定理1: $A$ を $n$ 次の正方行列とすると、

A \tilde{A} = \tilde{A} A = | A | E

特に、 $| A | \neq 0$ ならば、 $A$ は正則で、

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \tilde{A}

前提となる定理 2:

$A, B$ を $n$ 次の正方行列とすると、

| A B | = | B A | = | A | | B |

前提となる定理 3:

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = a_{11} | \begin{array}{ccc} a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

証明:

上記の定理 1 より、

\begin{matrix} (9.1) & A \tilde{A} = | A | E \end{matrix}

$| A | = 0$ のとき、 9.1 式より、

\begin{matrix} (9.2) & A \tilde{A} = O \end{matrix}

ここで、 $\tilde{A}$ が正則であると仮定する。このとき、 $\tilde{A}$ の逆行列 ${\tilde{A}}^{- 1}$ が存在する。 9.2 式の両辺に右から ${\tilde{A}}^{- 1}$ を掛けると、

A = O

なので、 $A$ の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 $\tilde{A} = [1]$ 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 $\tilde{A}$ は正則ではないので、 $| \tilde{A} | = [2]$ 。したがって、 $| \tilde{A} | = | A |^{n - 1} = [3]$ 。

$| A | \neq 0$ のとき、定理 2 より、 $| A \tilde{A} | = | A | [4]$ 。一方、 $| A | E$ は対角成分がすべて $| A |$ の $n$ 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 $| | A | E | = | A | [5]$ 。よって、 9.1 式の両辺の行列式をとると、 $| A | [4] = | A | [5]$ 。

$| A | \neq 0$ なので、

| \tilde{A} | = | A |^{n - 1}

空欄：#

$[1] = O$

余因子は全てゼロなら余因子は零行列

$[2] = 0$

$[3] = 0$

正則ではないので $| \tilde{A} | = 0$

$[4] = | \tilde{A} |$

$| A \tilde{A} | = | A | | \tilde{A} |$ か？
- $| \tilde{A} |$ を使うなら $[3]$ を代入？
それとも $A \tilde{A} = | A | E$ なので $| | A | E | = | A |^{n - 1}$ か？

$[5] =^{n}$

$| | A | E | = | A |^{n}$

↓空欄を埋めてみたもの

証明：

上記の定理 1 より、

\begin{matrix} (9.1) & A \tilde{A} = | A | E \end{matrix}

$| A | = 0$ のとき、

9.1 式より、

\begin{matrix} (9.2) & A \tilde{A} = O \end{matrix}

ここで、 $\tilde{A}$ が正則であると仮定する。このとき、 $\tilde{A}$ の逆行列 ${\tilde{A}}^{- 1}$ が存在する。 9.2 式の両辺に右から ${\tilde{A}}^{- 1}$ を掛けると、

A = O

なので、 $A$ の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 $\tilde{A} = O$ 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 $\tilde{A}$ は正則ではないので、 $| \tilde{A} | = 0$ 。したがって、 $| \tilde{A} | = | A |^{n - 1} = 0$ 。

$| A | \neq 0$ のとき、

定理 2 より、 $| A \tilde{A} | = | A | | \tilde{A} |$ 。一方、 $| A | E$ は対角成分がすべて $| A |$ の $n$ 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 $| | A | E | = | A |^{n}$ 。よって、 9.1 式の両辺の行列式をとると、 $| A | | \tilde{A} | = | A |^{n}$ 。

$| A | \neq 0$ なので、

| \tilde{A} | = | A |^{n - 1}

9.4#

4 次の正方行列 $A$ を

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{array}) \end{array}

により定める。

第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 $A$ の行列式を求めよ。
$| A | \neq 0$ のとき、連立 1 次方程式

\begin{array}{r} A x = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 $A$ の行列式を求めよ。

第 $1$ 行に関する余因子展開: $a_{11} {\tilde{a}}_{11} + a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{13} {\tilde{a}}_{13} + a_{14} {\tilde{a}}_{14} = | A |$

第1項

\begin{array}{r} a_{11} = a \\ {\tilde{a}}_{11} = (- 1)^{1 + 1} | \begin{array}{ccc} a & - d & c \\ d & a & - b \\ - c & b & a \end{array} | = a^{3} - b c d + b c d + a c^{2} + a d^{2} + a b^{2} \\ = a (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

第2項

\begin{array}{r} a_{12} = - b \\ {\tilde{a}}_{12} = (- 1)^{1 + 2} | \begin{array}{ccc} b & - d & c \\ c & a & - b \\ d & b & a \end{array} | = - (a^{2} b + b d^{2} + b c^{2} - a c d + a c d + b^{3}) \\ = - b (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

第3項

\begin{array}{r} a_{13} = - c \\ {\tilde{a}}_{13} = (- 1)^{1 + 3} | \begin{array}{ccc} b & a & c \\ c & d & - b \\ d & - c & a \end{array} | = a b d - a b d - c^{3} - c d^{2} - a^{2} c - b^{2} c \\ = c (- c^{2} - d^{2} - a^{2} - b^{2}) \\ = - c (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

第4項

\begin{array}{r} a_{14} = - d \\ {\tilde{a}}_{14} = (- 1)^{1 + 4} | \begin{array}{ccc} b & a & - d \\ c & d & a \\ d & - c & b \end{array} | = - (b^{2} d + a^{2} d + c^{2} d + d^{3} - a c b + a c b) \\ = - d (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} | A | & = a_{11} {\tilde{a}}_{11} + a_{12} {\tilde{a}}_{12} + a_{13} {\tilde{a}}_{13} + a_{14} {\tilde{a}}_{14} \\ = a^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + b^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + c^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + d^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \\ = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2} \end{aligned} \end{array}

$| A | \neq 0$ のとき、連立 1 次方程式

$\begin{array}{r} A x = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}$

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} Δ_{1} = | \begin{array}{cccc} 1 & - b & - c & - d \\ 0 & a & - d & c \\ 0 & d & a & - b \\ 0 & - c & b & a \end{array} | = 1 \times {\tilde{a}}_{11} = a (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

列の入れ替えで行列式は-1倍になるはずなので2~4は-1を掛ける

\begin{array}{r} Δ_{2} = - 1 \times {\tilde{a}}_{12} = - b (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \\ Δ_{3} = - 1 \times {\tilde{a}}_{13} = c (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \\ Δ_{4} = - 1 \times {\tilde{a}}_{14} = - d (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{array}

x_{1} = \frac{Δ_{1}}{| A |} = \frac{a (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}} = \frac{a}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}

x_{2} = \frac{Δ_{2}}{| A |} = \frac{- b (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}} = \frac{- b}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}

x_{3} = \frac{Δ_{3}}{| A |} = \frac{- c (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}} = \frac{- c}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}

x_{4} = \frac{Δ_{4}}{| A |} = \frac{- d (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}} = \frac{- d}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}

9.5#

対称行列の余因子行列は対称行列であることを示せ。

$n$ 次対称行列 $A$ から $i$ 行 $j$ 列を取り除いた $n - 1$ 次の正方行列を $A_{i j}$ と表すことにする。

A_{i j}^{T} = A_{j i}

であるため（要出典）

行列式の性質により $| A^{T} | = | A |$ であるため

| A_{i j} | = | A_{j i} |

となる

よって $(i, j)$ 余因子 ${\tilde{a}}_{i j}$ と $(j, i)$ 余因子 ${\tilde{a}}_{j i}$ について以下が成り立つ

{\tilde{a}}_{i j} = (- 1)^{i + j} | A_{i j} | = (- 1)^{j + i} | A_{i j} | = {\tilde{a}}_{i j}

よって、対称行列の余因子行列は対称行列になる

回答例

$n$ を 2 以上の自然数とし、 $A = {(a_{i j})}_{n \times n}$ を $n$ 次の対称行列とする。 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を取り除いて得られる $(n - 1)$ 次の正方行列を $A_{i j}$ とおくと、 $A$ は対称行列なので

\begin{matrix} (*) & A_{i j}^{T} = A_{j i} \end{matrix}

よって、 $\tilde{A}$ を $A$ の余因子行列とすると、

\begin{array}{r} \begin{aligned} (\tilde{A} の (j, i) 成分) & = (A の (i, j) 余因子) (∵ 余因子行列の定義) \\ = (- 1)^{i + j} | A_{i j} | (∵ 余因子の定義) \\ = (- 1)^{i + j} | A_{i j}^{T} | (∵ A を正方行列とすると、 | A^{T} | = | A | の定理) \\ = (- 1)^{j + i} | A_{j i} | (∵ (*)) \\ = (A の (j, i) 余因子) (∵ 余因子の定義) \\ = (\tilde{A} の (i, j) 成分) (∵ 余因子行列の)定義) \end{aligned} \end{array}

したがって、

{\tilde{A}}^{T} = \tilde{A}

すなわち、対称行列の余因子行列は対称行列である.