練習問題メモ 9（余因子展開）
9.1
第 2 列に関する余因子展開を用いて、行列式
\(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|\) を計算せよ。
第\(j\)列に関する余因子展開は
\[
a_{1 j} \tilde{a}_{1 j}+ a_{2 j} \tilde{a}_{2 j} +\cdots+a_{n j} \tilde{a}_{n j} = \det(A)
\]
という形になるので
第2列に関する余因子展開は
\[\begin{split}
a_{12} \tilde{a}_{12}
+ a_{22} \tilde{a}_{22}
=
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
\end{split}\]
となる。
1次の行列（というかスカラー）の行列式はそのスカラーそのものであるため
\[\begin{split}
\tilde{a}_{12} = (-1)^3 a_{21} = -a_{21}\\
\tilde{a}_{22} = (-1)^4 a_{11} = a_{11}\\
\end{split}\]
よって
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
= a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{22} \tilde{a}_{22}\\
= a_{12} \times (-a_{21}) + a_{22} a_{11}\\
= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}
\end{split}\]
9.2
次の 1、2 の行列式を計算せよ。
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{lllll}
1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\
5 & 9 & 0 & 6 & 5
\end{array}\right|
\end{split}\]
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
100 & 99 & 99 & 99 \\
100 & 99 & 100 & 100 \\
100 & 100 & 99 & 100 \\
100 & 100 & 100 & 99
\end{array}\right|
\end{split}\]
\(
\left|\begin{array}{lllll}
1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\
5 & 9 & 0 & 6 & 5
\end{array}\right|
\)
3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
という操作をして1列目を\((1,1)\)要素以外0にする
定理より、
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{lllll}
5 & 4 & 3 & 6 & 7 \\
0 & 7 & 2 & 8 & 2 \\
0 & 6 & 1 & 9 & 1 \\
0 & 8 & 4 & 7 & 4 \\
0 & 9 & 5 & 6 & 5
\end{array}\right|
=
5
\left|\begin{array}{llll}
7 & 2 & 8 & 2 \\
6 & 1 & 9 & 1 \\
8 & 4 & 7 & 4 \\
9 & 5 & 6 & 5
\end{array}\right|
\end{split}\]
2列目と4列目が(2,1,4,5)で同じ値なので、定理より行列式はゼロになる
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{lllll}
1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\
5 & 9 & 0 & 6 & 5
\end{array}\right|
= 0
\end{split}\]
\(
\left|\begin{array}{cccc}
100 & 99 & 99 & 99 \\
100 & 99 & 100 & 100 \\
100 & 100 & 99 & 100 \\
100 & 100 & 100 & 99
\end{array}\right|
\)
まず、1列目を2～4列から引く
2~4行から1行目を引く
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}100 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]\end{split}\]
なので、行列式の性質より
\[\begin{split}
100 \times
\left|\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}\right|
\end{split}\]
となる
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}\right|
= (0 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0) = 2
\end{split}\]
なので
\[\begin{split}
100 \times
\left|\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}\right|
= 100 \times 2
\end{split}\]
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
100 & 99 & 99 & 99 \\
100 & 99 & 100 & 100 \\
100 & 100 & 99 & 100 \\
100 & 100 & 100 & 99
\end{array}\right|
= 200
\end{split}\]
9.3
\(n\) を 2 以上の自然数、 \(A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\) を \(n\) 次の正方行列とする。次の問いに答えよ。
\(A\) の \((i, j)\) 余因子の定義を書け。
\(A\) の余因子行列の定義を書け。
\(n=3\) のとき、 \(A\) の余因子行列を \(A\) の余因子を用いて表せ。
\(\tilde{A}\) を \(A\) 余因子行列とすると、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}\) が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。（※穴埋め問題）
\(A\) の \((i, j)\) 余因子の定義を書け。
\[
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}|
\]
\((i, j)\)余因子を\(\tilde{a}_{ij}\)とするとき、\((i, j)\)成分に余因子\(\tilde{a}_{ij}\)をもつ行列の転置行列
\[\begin{split}
\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n 1} \\
\tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tilde{a}_{1 n} & \tilde{a}_{2 n} & \cdots & \tilde{a}_{n n}
\end{array}\right)
\end{split}\]
を余因子行列（adjugate matrix）という。
\(n=3\) のとき、 \(A\) の余因子行列を \(A\) の余因子を用いて表せ。
\((i, j)\)余因子を\(\tilde{a}_{ij}\)とすると
\[\begin{split}
\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31}\\
\tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32}\\
\tilde{a}_{13} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33}\\
\end{array}\right)
\end{split}\]
\(\tilde{A}\) を \(A\) 余因子行列とすると、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}\) が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。
（※穴埋め問題）
前提となる定理1:
\(A\) を \(n\) 次の正方行列とすると、
\[
A \tilde{A}=\tilde{A} A=|A| E
\]
特に、 \(|A| \neq 0\) ならば、 \(A\) は正則で、
\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|} \tilde{A}
\]
前提となる定理 2:
\(A, B\) を \(n\) 次の正方行列とすると、
\[
|A B|=|B A|=|A||B|
\]
前提となる定理 3:
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc}
a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
\end{split}\]
証明:
上記の定理 1 より、
\[
A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1}
\]
\(|A|=0\) のとき、 9.1 式より、
\[
A \tilde{A}=O \tag{9.2}
\]
ここで、 \(\tilde{A}\) が正則であると仮定する。このとき、 \(\tilde{A}\) の逆行列 \(\tilde{A}^{-1}\) が存在する。 9.2 式の両辺に右から \(\tilde{A}^{-1}\) を掛けると、
\[
A=O
\]
なので、\(A\) の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 \(\tilde{A}=[1]\) 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 \(\tilde{A}\) は正則では ないので、 \(|\tilde{A}|=[2]\) 。したがって、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=[3]\) 。
\(|A| \neq 0\) のとき、定理 2 より、 \(|A \tilde{A}|=|A| [4]\) 。一方、 \(|A| E\) は対角成分がすべて \(|A|\) の \(n\) 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 \(\big||A|E\big|=|A| [5]\) 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 \(|A| [4] = |A| [5]\) 。
\(|A| \neq 0\) なので、
\[
|\tilde{A}|=|A|^{n-1}
\]
空欄：
\([1] = O\)
\([2] = 0\)
\([3] = 0\)
\([4]=|\tilde{A}|\)
\([5] = ^n\)
↓空欄を埋めてみたもの
証明：
上記の定理 1 より、
\[
A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1}
\]
\(|A|=0\) のとき、
9.1 式より、
\[
A \tilde{A}=O \tag{9.2}
\]
ここで、 \(\tilde{A}\) が正則であると仮定する。このとき、 \(\tilde{A}\) の逆行列 \(\tilde{A}^{-1}\) が存在する。 9.2 式の両辺に右から \(\tilde{A}^{-1}\) を掛けると、
\[
A=O
\]
なので、\(A\) の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 \(\tilde{A}=O\) 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 \(\tilde{A}\) は正則では ないので、 \(|\tilde{A}|=0\) 。したがって、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=0\) 。
\(|A| \neq 0\) のとき、
定理 2 より、 \(|A \tilde{A}|=|A| |\tilde{A}|\) 。一方、 \(|A| E\) は対角成分がすべて \(|A|\) の \(n\) 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 \(\big||A|E\big|=|A|^n\) 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 \(|A| |\tilde{A}| = |A| ^n\) 。
\(|A| \neq 0\) なので、
\[
|\tilde{A}|=|A|^{n-1}
\]
9.4
4 次の正方行列 \(A\) を
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{cccc}
a & -b & -c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & d & a & -b \\
d & -c & b & a
\end{array}\right)
\end{split}\]
により定める。
第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 \(A\) の行列式を求めよ。
\(|A| \neq 0\) のとき、連立 1 次方程式
\[\begin{split}
A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
\end{split}\]
の解をクラメルの公式を用いて求めよ。
第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 \(A\) の行列式を求めよ。
第\(1\)行に関する余因子展開: \(a_{1 1} \tilde{a}_{11}+ a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4} = |A|\)
第1項
\[\begin{split}
a_{11} = a
\\
\tilde{a}_{11} =
(-1)^{1+1}
\left|\begin{array}{ccc}
a & -d & c \\
d & a & -b \\
-c & b & a
\end{array}\right|
= a^3 - bcd + bcd + ac^2 + ad^2 + ab^2\\
= a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
第2項
\[\begin{split}
a_{12} = -b
\\
\tilde{a}_{12} =
(-1)^{1+2}
\left|\begin{array}{ccc}
b & -d & c \\
c & a & -b \\
d & b & a
\end{array}\right|
= -(a^2 b + b d^2 + b c^2 - acd + acd + b^3)\\
= -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
第3項
\[\begin{split}
a_{13} = -c
\\
\tilde{a}_{13} =
(-1)^{1+3}
\left|\begin{array}{ccc}
b & a & c \\
c & d & -b \\
d & -c & a
\end{array}\right|
= abd - abd - c^3 -cd^2 - a^2 c - b^2 c\\
= c (- c^2 - d^2 - a^2 - b^2)\\
= -c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
第4項
\[\begin{split}
a_{14} = -d
\\
\tilde{a}_{14} =
(-1)^{1+4}
\left|\begin{array}{ccc}
b & a & -d \\
c & d & a \\
d & -c & b
\end{array}\right|
= -(b^2 d + a^2 d + c^2 d + d^3 -acb + acb)\\
= -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{align}
|A| &= a_{1 1} \tilde{a}_{11} + a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4}\\
&= a^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
+ b^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
+ c^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
+ d^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\\
&= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2
\end{align}
\end{split}\]
\(|A| \neq 0\) のとき、連立 1 次方程式
\[\begin{split}
A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
\end{split}\]
の解をクラメルの公式を用いて求めよ。
\[\begin{split}
A=\left(\begin{array}{cccc}
a & -b & -c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & d & a & -b \\
d & -c & b & a
\end{array}\right)
\end{split}\]
\[\begin{split}
\Delta_1 =
\left|\begin{array}{cccc}
1 & -b & -c & -d \\
0 & a & -d & c \\
0 & d & a & -b \\
0 & -c & b & a
\end{array}\right|
= 1\times \tilde{a}_{11}
= a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
列の入れ替えで行列式は-1倍になるはずなので2~4は-1を掛ける
\[\begin{split}
\Delta_2
= -1 \times \tilde{a}_{12}
= -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\\
\Delta_3
= -1 \times \tilde{a}_{13}
= c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\\
\Delta_4
= -1 \times \tilde{a}_{14}
= -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\end{split}\]
\[
x_1 = \frac{\Delta_1}{|A|}
= \frac{a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2}
= \frac{a} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
\]
\[
x_2 = \frac{\Delta_2}{|A|}
= \frac{-b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2}
= \frac{-b} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
\]
\[
x_3 = \frac{\Delta_3}{|A|}
= \frac{-c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2}
= \frac{-c } {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
\]
\[
x_4 = \frac{\Delta_4}{|A|}
= \frac{-d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2}
= \frac{-d} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}
\]
9.5
\(n\)次対称行列\(A\)から\(i\)行\(j\)列を取り除いた\(n-1\)次の正方行列を\(A_{ij}\)と表すことにする。
\[
A_{ij}^T = A_{ji}
\]
であるため（要出典）
行列式の性質により\(|A^T|=|A|\)であるため
\[
|A_{ij}| = |A_{ji}|
\]
となる
よって\((i,j)\)余因子\(\tilde{a}_{ij}\)と\((j,i)\)余因子\(\tilde{a}_{ji}\)について以下が成り立つ
\[
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}|
= (-1)^{j+i} |A_{ij}|
= \tilde{a}_{ij}
\]
よって、対称行列の余因子行列は対称行列になる
回答例
\(n\) を 2 以上の自然数とし、 \(A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\) を \(n\) 次の対称行列とする。 \(A\) の第 \(i\) 行と 第 \(j\) 行を取り除いて得られる \((n-1)\) 次の正方行列を \(A_{i j}\) とおくと、 \(A\) は対称行列 なので
\[
A_{i j}^{T}=A_{j i} \tag{*}
\]
よって、\(\tilde{A}\) を \(A\) の余因子行列とすると、
\[\begin{split}
\begin{aligned}
(\tilde{A} \text{の} (j, i) \text { 成分 }) & =(A \text { の }(i, j) \text { 余因子 })(\because \text { 余因子行列の定義 }) \\
& =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}\right|(\because \text { 余因子の定義 }) \\
& =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}^{\mathrm{T}}\right|\left(\because A \text { を正方行列とすると、 }\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A| \text { の定理 }\right) \\
& =(-1)^{j+i}\left|A_{j i}\right|(\because(*)) \\
& =(A \text { の }(j, i) \text { 余因子) }(\because \text { 余因子の定義 }) \\
& =(\tilde{A} \text { の }(i, j) \text { 成分 })(\because \text { 余因子行列の)定義 })
\end{aligned}
\end{split}\]
したがって、
\[
\tilde{A}^T = \tilde{A}
\]
すなわち、対称行列の余因子行列は対称行列である.