練習問題メモ 9（余因子展開）

9.1

第 2 列に関する余因子展開を用いて、行列式 \(\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|\) を計算せよ。

第\(j\)列に関する余因子展開は

\[ a_{1 j} \tilde{a}_{1 j}+ a_{2 j} \tilde{a}_{2 j} +\cdots+a_{n j} \tilde{a}_{n j} = \det(A) \]

という形になるので

第2列に関する余因子展開は

\[\begin{split} a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{22} \tilde{a}_{22} = \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \end{split}\]

となる。

1次の行列（というかスカラー）の行列式はそのスカラーそのものであるため

\[\begin{split} \tilde{a}_{12} = (-1)^3 a_{21} = -a_{21}\\ \tilde{a}_{22} = (-1)^4 a_{11} = a_{11}\\ \end{split}\]

よって

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{12} \tilde{a}_{12} + a_{22} \tilde{a}_{22}\\ = a_{12} \times (-a_{21}) + a_{22} a_{11}\\ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{split}\]

9.2

次の 1、2 の行列式を計算せよ。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right| \end{split}\]

\[\begin{split} \left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right| \end{split}\]

\( \left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right| \)

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from sympy import Matrix
A = Matrix([
    [1, 6, 0, 9, 1],
    [2, 7, 0, 8, 2],
    [3, 4, 5, 6, 7],
    [4, 8, 0, 7, 4],
    [5, 9, 0, 6, 5],
])
A

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 6 & 0 & 9 & 1\\2 & 7 & 0 & 8 & 2\\3 & 4 & 5 & 6 & 7\\4 & 8 & 0 & 7 & 4\\5 & 9 & 0 & 6 & 5\end{matrix}\right]\end{split}\]

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# 3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
x1 = A[:, 0].copy()
x3 = A[:, 2].copy()
A[:, 0] = x3
A[:, 2] = x1

# 3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）
x1 = A[0, :].copy()
x3 = A[2, :].copy()
A[0, :] = x3
A[2, :] = x1

A

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}5 & 4 & 3 & 6 & 7\\0 & 7 & 2 & 8 & 2\\0 & 6 & 1 & 9 & 1\\0 & 8 & 4 & 7 & 4\\0 & 9 & 5 & 6 & 5\end{matrix}\right]\end{split}\]

1. 3列目と1列目を入れ替える（これで行列式は-1倍）

2. 3行目と1行目を入れ替える（これで行列式は-1倍）

という操作をして1列目を\((1,1)\)要素以外0にする

定理より、

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lllll} 5 & 4 & 3 & 6 & 7 \\ 0 & 7 & 2 & 8 & 2 \\ 0 & 6 & 1 & 9 & 1 \\ 0 & 8 & 4 & 7 & 4 \\ 0 & 9 & 5 & 6 & 5 \end{array}\right| = 5 \left|\begin{array}{llll} 7 & 2 & 8 & 2 \\ 6 & 1 & 9 & 1 \\ 8 & 4 & 7 & 4 \\ 9 & 5 & 6 & 5 \end{array}\right| \end{split}\]

2列目と4列目が(2,1,4,5)で同じ値なので、定理より行列式はゼロになる

\[\begin{split} \left|\begin{array}{lllll} 1 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 2 & 7 & 0 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 8 & 0 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right| = 0 \end{split}\]

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# 検算
import numpy as np
A = np.array([
    [1, 6, 0, 9, 1],
    [2, 7, 0, 8, 2],
    [3, 4, 5, 6, 7],
    [4, 8, 0, 7, 4],
    [5, 9, 0, 6, 5],
])
np.linalg.det(A)

0.0

\( \left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right| \)

まず、1列目を2～4列から引く

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from sympy import Matrix
A = Matrix([
    [100, 99, 99, 99],
    [100, 99, 100, 100],
    [100, 100, 99, 100],
    [100, 100, 100, 99],
])

A[:, 1] -= A[:, 0]
A[:, 2] -= A[:, 0]
A[:, 3] -= A[:, 0]
A

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}100 & -1 & -1 & -1\\100 & -1 & 0 & 0\\100 & 0 & -1 & 0\\100 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right]\end{split}\]

2~4行から1行目を引く

A[1, :] -= A[0, :]
A[2, :] -= A[0, :]
A[3, :] -= A[0, :]
A

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}100 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]\end{split}\]

なので、行列式の性質より

\[\begin{split} 100 \times \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| \end{split}\]

となる

\[\begin{split} \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = (0 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0) = 2 \end{split}\]

なので

\[\begin{split} 100 \times \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = 100 \times 2 \end{split}\]

\[\begin{split} \left|\begin{array}{cccc} 100 & 99 & 99 & 99 \\ 100 & 99 & 100 & 100 \\ 100 & 100 & 99 & 100 \\ 100 & 100 & 100 & 99 \end{array}\right| = 200 \end{split}\]

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# 検算
import numpy as np
A = np.array([
    [100, 99, 99, 99],
    [100, 99, 100, 100],
    [100, 100, 99, 100],
    [100, 100, 100, 99],
])
np.linalg.det(A)

200.0000000000001

9.3

\(n\) を 2 以上の自然数、 \(A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\) を \(n\) 次の正方行列とする。次の問いに答えよ。

1. \(A\) の \((i, j)\) 余因子の定義を書け。

2. \(A\) の余因子行列の定義を書け。

3. \(n=3\) のとき、 \(A\) の余因子行列を \(A\) の余因子を用いて表せ。

4. \(\tilde{A}\) を \(A\) 余因子行列とすると、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}\) が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。（※穴埋め問題）

1. \(A\) の \((i, j)\) 余因子の定義を書け。

\[ \tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}| \]

2. \(A\) の余因子行列の定義を書け。

\((i, j)\)余因子を\(\tilde{a}_{ij}\)とするとき、\((i, j)\)成分に余因子\(\tilde{a}_{ij}\)をもつ行列の転置行列

\[\begin{split} \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n 1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tilde{a}_{1 n} & \tilde{a}_{2 n} & \cdots & \tilde{a}_{n n} \end{array}\right) \end{split}\]

を余因子行列（adjugate matrix）という。

3. \(n=3\) のとき、 \(A\) の余因子行列を \(A\) の余因子を用いて表せ。

\((i, j)\)余因子を\(\tilde{a}_{ij}\)とすると

\[\begin{split} \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31}\\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32}\\ \tilde{a}_{13} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33}\\ \end{array}\right) \end{split}\]

4. \(\tilde{A}\) を \(A\) 余因子行列とすると、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}\) が成り立つことを次の□を埋めることにより証明せよ。

（※穴埋め問題）

前提となる定理1: \(A\) を \(n\) 次の正方行列とすると、

\[ A \tilde{A}=\tilde{A} A=|A| E \]

特に、 \(|A| \neq 0\) ならば、 \(A\) は正則で、

\[ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \tilde{A} \]

前提となる定理 2:

\(A, B\) を \(n\) 次の正方行列とすると、

\[ |A B|=|B A|=|A||B| \]

前提となる定理 3:

\[\begin{split} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \end{split}\]

証明:

上記の定理 1 より、

\[ A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1} \]

\(|A|=0\) のとき、 9.1 式より、

\[ A \tilde{A}=O \tag{9.2} \]

ここで、 \(\tilde{A}\) が正則であると仮定する。このとき、 \(\tilde{A}\) の逆行列 \(\tilde{A}^{-1}\) が存在する。 9.2 式の両辺に右から \(\tilde{A}^{-1}\) を掛けると、

\[ A=O \]

なので、\(A\) の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 \(\tilde{A}=[1]\) 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 \(\tilde{A}\) は正則では ないので、 \(|\tilde{A}|=[2]\) 。したがって、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=[3]\) 。

\(|A| \neq 0\) のとき、定理 2 より、 \(|A \tilde{A}|=|A| [4]\) 。一方、 \(|A| E\) は対角成分がすべて \(|A|\) の \(n\) 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 \(\big||A|E\big|=|A| [5]\) 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 \(|A| [4] = |A| [5]\) 。

\(|A| \neq 0\) なので、

\[ |\tilde{A}|=|A|^{n-1} \]

空欄：

\([1] = O\)

• 余因子は全てゼロなら余因子は零行列

\([2] = 0\)

\([3] = 0\)

• 正則ではないので\(|\tilde{A}|=0\)

\([4]=|\tilde{A}|\)

• \(|A \tilde{A}| = |A||\tilde{A}|\)か？

  • \(|\tilde{A}|\)を使うなら\([3]\)を代入？

• それとも\(A \tilde{A}=|A|E\)なので\(\big| |A|E \big|=|A|^{n-1}\)か？

\([5] = ^n\)

• \(||A| E|=|A|^n\)

↓空欄を埋めてみたもの

証明：

上記の定理 1 より、

\[ A \tilde{A}=|A| E \tag{9.1} \]

\(|A|=0\) のとき、

9.1 式より、

\[ A \tilde{A}=O \tag{9.2} \]

ここで、 \(\tilde{A}\) が正則であると仮定する。このとき、 \(\tilde{A}\) の逆行列 \(\tilde{A}^{-1}\) が存在する。 9.2 式の両辺に右から \(\tilde{A}^{-1}\) を掛けると、

\[ A=O \]

なので、\(A\) の余因子はすべて 0 となることに注意すると、余因子行列の定義より、 \(\tilde{A}=O\) 。零行列は正則ではないから、これは矛盾である。よって、 \(\tilde{A}\) は正則では ないので、 \(|\tilde{A}|=0\) 。したがって、 \(|\tilde{A}|=|A|^{n-1}=0\) 。

\(|A| \neq 0\) のとき、

定理 2 より、 \(|A \tilde{A}|=|A| |\tilde{A}|\) 。一方、 \(|A| E\) は対角成分がすべて \(|A|\) の \(n\) 次のスカラー行列なので、定理 3 より、 \(\big||A|E\big|=|A|^n\) 。よって、 9.1 式の 両辺の行列式をとると、 \(|A| |\tilde{A}| = |A| ^n\) 。

\(|A| \neq 0\) なので、

\[ |\tilde{A}|=|A|^{n-1} \]

証明の雰囲気をつかめればよい

• 場合分け

• 仮定してから矛盾を指摘してそっちのルートを消す

など

9.4

4 次の正方行列 \(A\) を

\[\begin{split} A=\left(\begin{array}{cccc} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{array}\right) \end{split}\]

により定める。

1. 第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 \(A\) の行列式を求めよ。

2. \(|A| \neq 0\) のとき、連立 1 次方程式

\[\begin{split} A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{split}\]

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

1. 第 1 行に関する余因子展開を用いることにより、 \(A\) の行列式を求めよ。

第\(1\)行に関する余因子展開: \(a_{1 1} \tilde{a}_{11}+ a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4} = |A|\)

第1項

\[\begin{split} a_{11} = a \\ \tilde{a}_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{ccc} a & -d & c \\ d & a & -b \\ -c & b & a \end{array}\right| = a^3 - bcd + bcd + ac^2 + ad^2 + ab^2\\ = a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

第2項

\[\begin{split} a_{12} = -b \\ \tilde{a}_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc} b & -d & c \\ c & a & -b \\ d & b & a \end{array}\right| = -(a^2 b + b d^2 + b c^2 - acd + acd + b^3)\\ = -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

第3項

\[\begin{split} a_{13} = -c \\ \tilde{a}_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{ccc} b & a & c \\ c & d & -b \\ d & -c & a \end{array}\right| = abd - abd - c^3 -cd^2 - a^2 c - b^2 c\\ = c (- c^2 - d^2 - a^2 - b^2)\\ = -c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

第4項

\[\begin{split} a_{14} = -d \\ \tilde{a}_{14} = (-1)^{1+4} \left|\begin{array}{ccc} b & a & -d \\ c & d & a \\ d & -c & b \end{array}\right| = -(b^2 d + a^2 d + c^2 d + d^3 -acb + acb)\\ = -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{align} |A| &= a_{1 1} \tilde{a}_{11} + a_{1 2} \tilde{a}_{1 2} + a_{1 3} \tilde{a}_{1 3} + a_{1 4} \tilde{a}_{1 4}\\ &= a^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + b^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + c^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + d^2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\\ &= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 \end{align} \end{split}\]

2. \(|A| \neq 0\) のとき、連立 1 次方程式

\[\begin{split} A \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{split}\]

の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

\[\begin{split} A=\left(\begin{array}{cccc} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{array}\right) \end{split}\]

\[\begin{split} \Delta_1 = \left|\begin{array}{cccc} 1 & -b & -c & -d \\ 0 & a & -d & c \\ 0 & d & a & -b \\ 0 & -c & b & a \end{array}\right| = 1\times \tilde{a}_{11} = a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

列の入れ替えで行列式は-1倍になるはずなので2~4は-1を掛ける

\[\begin{split} \Delta_2 = -1 \times \tilde{a}_{12} = -b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \\ \Delta_3 = -1 \times \tilde{a}_{13} = c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \\ \Delta_4 = -1 \times \tilde{a}_{14} = -d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \end{split}\]

\[ x_1 = \frac{\Delta_1}{|A|} = \frac{a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{a} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} \]

\[ x_2 = \frac{\Delta_2}{|A|} = \frac{-b (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-b} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} \]

\[ x_3 = \frac{\Delta_3}{|A|} = \frac{-c (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-c } {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} \]

\[ x_4 = \frac{\Delta_4}{|A|} = \frac{-d (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2} = \frac{-d} {(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} \]

9.5

対称行列の余因子行列は対称行列であることを示せ。

\(n\)次対称行列\(A\)から\(i\)行\(j\)列を取り除いた\(n-1\)次の正方行列を\(A_{ij}\)と表すことにする。

\[ A_{ij}^T = A_{ji} \]

であるため（要出典）

行列式の性質により\(|A^T|=|A|\)であるため

\[ |A_{ij}| = |A_{ji}| \]

となる

よって\((i,j)\)余因子\(\tilde{a}_{ij}\)と\((j,i)\)余因子\(\tilde{a}_{ji}\)について以下が成り立つ

\[ \tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |A_{ij}| = (-1)^{j+i} |A_{ij}| = \tilde{a}_{ij} \]

よって、対称行列の余因子行列は対称行列になる

回答例

\(n\) を 2 以上の自然数とし、 \(A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\) を \(n\) 次の対称行列とする。 \(A\) の第 \(i\) 行と 第 \(j\) 行を取り除いて得られる \((n-1)\) 次の正方行列を \(A_{i j}\) とおくと、 \(A\) は対称行列 なので

\[ A_{i j}^{T}=A_{j i} \tag{*} \]

よって、\(\tilde{A}\) を \(A\) の余因子行列とすると、

\[\begin{split} \begin{aligned} (\tilde{A} \text{の} (j, i) \text { 成分 }) & =(A \text { の }(i, j) \text { 余因子 })(\because \text { 余因子行列の定義 }) \\ & =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}\right|(\because \text { 余因子の定義 }) \\ & =(-1)^{i+j}\left|A_{i j}^{\mathrm{T}}\right|\left(\because A \text { を正方行列とすると、 }\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A| \text { の定理 }\right) \\ & =(-1)^{j+i}\left|A_{j i}\right|(\because(*)) \\ & =(A \text { の }(j, i) \text { 余因子) }(\because \text { 余因子の定義 }) \\ & =(\tilde{A} \text { の }(i, j) \text { 成分 })(\because \text { 余因子行列の)定義 }) \end{aligned} \end{split}\]

したがって、

\[ \tilde{A}^T = \tilde{A} \]

すなわち、対称行列の余因子行列は対称行列である.