確率#
可測集合族\(\mathcal{B}\)の元である可測集合\(A\)に対して実数を対応させる関数\(P(\cdot)\)で、次の3つの性質を満たすものを確率(probability)という。
すべての\(A \in \mathcal{B}\)に対して\(P(A) \geq 0\)
\(P(\Omega) = 1\) (\(\Omega\)は全事象もしくは標本空間といい、試行により起こりうるすべての結果)
\(A_k \in \mathcal{B}, k=1,2,...,\)が互いに排反でるとき、つまり \(A_i \cap A_j = \emptyset, i \neq j\)の場合、\(P(\cup^\infty_{k=1} A_k) = \sum^\infty_{n=1} P(A_k)\)
条件付き確率#
性別ごとにゲーム機の所持率を調査した結果、以下の表のようになったとする。
男性 |
女性 |
計 |
|
---|---|---|---|
所持 |
2/6 |
1/4 |
7/12 |
未所持 |
1/6 |
1/4 |
5/12 |
計 |
1/2 |
1/2 |
1 |
女性でゲーム機を所持している確率は
所持している場合に男性である確率は
となる。
独立性#
同時確率は条件付き確率の定義
を整理すると、
と表すことができる。
2つの事象AとBが独立であるとき、Aが起こる確率はBが起こったという事象とは関係ないため、\(P(A|B) = P(A)\)となるため、
ということになる。ここから、独立性の定義は次のようになる。
定義(独立性)
2つの事象AとBが
を満たすとき、AとBは独立であるという。
全確率の公式(Law of total probability)#
\(B_1, B_2, ...\)を互いに排反な事象の列とし、\(P(B_k)>0, P(U^\infty_{k=1} B_k) = \Omega\)を満たすとき、事象\(A\)の確率は次のように分解できる
ベイズ(Bayes)の定理#
\(B_1, B_2, ...\)を互いに排反な事象の列とし、\(P(B_k)>0, P(U^\infty_{k=1} B_k) = \Omega\)を満たすとする。このとき任意の事象Aに対してAを与えたときの\(B_j\)の条件付き確率\(P(B_j|A)\)は次のように表される。
参考#
久保川 達也(2017)『現代数理統計学の基礎』、共立出版。