確率

確率#

可測集合族 $B$ の元である可測集合 $A$ に対して実数を対応させる関数 $P (\cdot)$ で、次の3つの性質を満たすものを確率（probability）という。

すべての $A \in B$ に対して $P (A) \geq 0$
$P (Ω) = 1$ （ $Ω$ は全事象もしくは標本空間といい、試行により起こりうるすべての結果）
$A_{k} \in B, k = 1, 2, . . .,$ が互いに排反でるとき、つまり $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset, i \neq j$ の場合、 $P (\cup_{k = 1}^{\infty} A_{k}) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{k})$

条件付き確率#

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

同時確率の例

性別ごとにゲーム機の所持率を調査した結果、以下の表のようになったとする。

	男性	女性	計
所持	2/6	1/4	7/12
未所持	1/6	1/4	5/12
計	1/2	1/2	1

女性でゲーム機を所持している確率は

P (所 持 | 女 性) = \frac{P (所 持 \cap 女 性)}{P (女 性)} = \frac{1}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

所持している場合に男性である確率は

P (男 性 | 所 持) = \frac{P (男 性 \cap 所 持)}{P (所 持)} = \frac{2}{6} \div \frac{7}{12} = \frac{4}{7}

となる。

独立性#

同時確率は条件付き確率の定義

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

を整理すると、

P (A \cap B) = P (A | B) P (B)

と表すことができる。

2つの事象AとBが独立であるとき、Aが起こる確率はBが起こったという事象とは関係ないため、 $P (A | B) = P (A)$ となるため、

P (A \cap B) = P (A) P (B)

ということになる。ここから、独立性の定義は次のようになる。

定義（独立性）

2つの事象AとBが

P (A \cap B) = P (A) P (B)

を満たすとき、AとBは独立であるという。

全確率の公式（Law of total probability）#

$B_{1}, B_{2}, . . .$ を互いに排反な事象の列とし、 $P (B_{k}) > 0, P (U_{k = 1}^{\infty} B_{k}) = Ω$ を満たすとき、事象 $A$ の確率は次のように分解できる

P (A) = \sum_{k = 1}^{\infty} P (A | B_{k}) P (B_{k})

ベイズ（Bayes）の定理#

$B_{1}, B_{2}, . . .$ を互いに排反な事象の列とし、 $P (B_{k}) > 0, P (U_{k = 1}^{\infty} B_{k}) = Ω$ を満たすとする。このとき任意の事象Aに対してAを与えたときの $B_{j}$ の条件付き確率 $P (B_{j} | A)$ は次のように表される。

P (B_{j} | A) = \frac{P (A | B_{j}) P (B_{j})}{\sum_{k = 1}^{\infty} P (A | B_{k}) P (B_{k})}

参考#

久保川達也（2017）『現代数理統計学の基礎』、共立出版。

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Contents

確率#

条件付き確率#

独立性#

全確率の公式（Law of total probability）#

ベイズ（Bayes）の定理#

参考#