練習問題メモ 7（置換）

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練習問題メモ 7（置換）#

7.1#

次の 1,2 の置換 σ,τ に対して、積 στ および τσ を求めよ。

  1. σ=(123312),τ=(123321)

  2. σ=(12344123),τ=(12341432)

  1. σ=(123312),τ=(123321)

στ=(123σ(τ(1))σ(τ(2))σ(τ(3)))=(123213)
τσ=(123τ(σ(1))τ(σ(2))τ(σ(3)))=(123132)

  1. σ=(12344123),τ=(12341432)

στ=(12344321)
τσ=(12342143)

7.2#

次の 1、 2 の置換 σ の符号を求めよ。

  1. σ=(12345674516273)

  2. σ=(12345677415263)

  1. σ=(12345674516273)

σ=(14673)(25)=(13)(17)(16)(14)(25)

なので

sgn(σ)=(−1)5=−1

  1. σ=(12345677415263)

σ=(173)(245)=(13)(17)(25)(24)

なので

sgn(σ)=(−1)4=1

7.3#

σ が n 文字の置換であることを σ∈Sn と表す。 n 変数 x1,x2,⋯,xn の多項式 fσ(x1,x2,⋯,xn) および σ∈Sn に対して、多項式 fσ を

fσ(x1,x2,⋯,xn)=f(xσ(1),xσ(2),⋯,xσ(n))

により定める。 f および σ が次の 1∼3 により与えられるとき、 fσ を求めよ。

  1. f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3,σ=ϵ∈S3

  2. f(x1,x2,x3,x4)=(x1−x2)(x3−x4),σ=(12344213)∈S4

  3. f(x1,x2,x3,x4)=1+x1+x2x3+x43,σ=(142)∈S4

  1. f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3,σ=ϵ∈S3

ϵは恒等置換だと解釈し、xσ(i)はxをσで置換したものと考え、σf(⋅)=fσ(⋅)と解釈する

fσ(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3

  1. f(x1,x2,x3,x4)=(x1−x2)(x3−x4),σ=(12344213)∈S4

巡回置換ではあるが一度しかσを掛けないものとかんがえて

fσ(x1,x2,x3,x4)=(x4−x2)(x1−x3)

  1. f(x1,x2,x3,x4)=1+x1+x2x3+x43,σ=(142)∈S4

fσ(x1,x2,x3,x4)=1+x4+x1x3+x23
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