極値

極値#

極大と極小#

ある関数y=f(x)があるとする。

ある点aでの値f(a)がその近くでのほかの値f(a+h),(h≠0)より大きい場合、f(x)はaで 極大 （maximum）になるといい、f(a)を 極大値 という。

ある点aでの値f(a)がその近くでのほかの値f(a+h),(h≠0)より小さい場合、f(x)はaで 極小 （minimum）になるといい、f(a)を 極小値 という。

極大値と極小値を総称して 極値 という。

極値の判定#

極値の条件#

極値の条件

関数 y=f(x) が c≦x≦e で微分可能であり、 点 x0(c<x0<e) で極大值または 極小値をとるならば、 f′(x0)=0 である。

証明

点x=x0でf(x)が極大値を取るとする。極値の定義から、f(x0+h)<f(x0)、すなわち

f(x0+h)−f(x0)<0(h≠0)

h>0 ならぱ

f(x0+h)−f(x0)h<0,f′(x0+0)=limh→+0f(x0+h)−f(x0)h≦0

h<0 ならば

f(x0+h)−f(x0)h>0,f′(x0−0)=limh→−0f(x0+h)−f(x0)h≧0

よって

f′(x0+0)=f′(x0−0)=f′(x0)

なので 0≦f′(x0)≦0 より、 f′(x0)=0

極値の判定法#

導関数のふるまいで極値を判定できる。まとめると次のようになる。

x が増加しながら x0 を通過するとき

  1. 導関数 f′(x) が正から 0 を通って負に符号をかえるならば、f(x) は x=x0 で極大值 f(x0) をもつ。

  2. 導関数 f′(x) が負から 0 を通って正に符号をかえるならば、f(x) は x=x0 で極小值 f(x0) をもつ。

  3. 導関数 f′(x) が符号をかえないならば、 f′(x0)=0 であっても、f(x) は x=x0 で極大にも極小にもならない

f′(x)の符号の判定に2次導関数f″(x)を使うことができる。

f′(x0)=0のとき、f″(x0)<0であることはf′(x)が減少状態であり、x=x0において正から0を通って負になることがわかる。

f′(x0)=0のとき、f″(x0)>0であることはf′(x)が増加状態であり、x=x0において負から0を通って正になることがわかる。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

def f(x):
    return np.sin(x)

def f1(x):
    return np.cos(x)

def f2(x):
    return -np.sin(x)


x = np.linspace(0, 6, 100)

fig, ax = plt.subplots(figsize=[7, 3])

ax.plot(x, f(x), label=r"$f(x)$", color="steelblue")
ax.plot(x, f1(x), label=r"$f'(x)$", color="dodgerblue", linestyle="--", alpha=0.6)
ax.plot(x, f2(x), label=r"$f''(x)$", color="deepskyblue", linestyle="-.", alpha=0.6)

x0 = np.pi/2
x1 = 3*np.pi/2
ax.axvline(x=x0, color="gray", alpha=0.5, linestyle=":")
ax.axvline(x=x1, color="gray", alpha=0.5, linestyle=":")
ax.axhline(y=0, color="gray", alpha=0.8)

ax.legend()
ax.set(xlabel="x", ylabel="y")
ax.text(x0, f(x0) - 0.15, "極大", color="steelblue", ha="center")
ax.text(x1, f(x1) + 0.15, "極小", color="steelblue", ha="center")
ax.text(x0, f1(x0) - 0.15, r"$f'(x)=0$", color="dodgerblue", ha="center")
ax.text(x1, f1(x1) - 0.15, r"$f'(x)=0$", color="dodgerblue", ha="center")
ax.text(x0, f2(x0) + 0.15, r"$f''(x)<0$", color="deepskyblue", ha="center")
ax.text(x1, f2(x1) - 0.2, r"$f''(x)>0$", color="deepskyblue", ha="center")
fig.show()
../../../_images/01d07afbcd6f95390bb5d31644a6b9c37413bb2f7b4c2e93af404b5076314d15.png

よって、きょくちのはんて

極値の判定法

(1) f′(x0)=0,f′′(x0)<0 ならば、 関数 f(x) は x=x0 で極大值 f(x0) をとる。

(2) f′(x0)=0,f′′(x0)>0 ならば、 関数 f(x) は x=x0 で極小値 f(x0) をとる。

最大値と最小値#

閉区間a≤x≤bで連続な関数f(x)の最大値と最小値を考える。

この場合、次の2点に注意する必要がある。

  1. 区間内に極大（または極小）になる点が複数あり得るため、それらを比べて最大値（最小値）を探索する必要がある

  2. 区間の端点a,bが最大値（最小値）になる可能性があるため、端点とも比較する必要がある

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